1.  Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve
en Línea Recta
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o
[a,) o (-,a), (-,)) si es derivable en todo número del intervalo.
Velocidad
Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica.
L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t esta dada por:
V(t)= ds /dt = f ´(t)
La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo
de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7
Donde s se mide en centímetros y t en segundos
Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5
Solución
Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8)
Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)
y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)
Aceleración
Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica.
La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:
a(t)= dv /dt =f"(t)
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1
Donde s se mide en metros y t en segundos.
a. ¿En qué instante la aceleración es cero?
b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.
Solución
Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t
a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0
b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg.
 Derivación Implícita

2. No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva que
presenta la ecuación: x2+y2=16 es una circunferencia y no representa una función.
Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la
semicircunferencia inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a
partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas.
La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0,0), y radio 4 su ecuación es
entonces:
x2 + y2 = 16
Esto quiere decir que un punto (x,y) está en la circunferencia, si y sólo si, satisface la
ecuación. Por ejemplo: (0,-4) pertenece a la circunferencia porque:
02 + (-4)2 = 0 + 16 = 16
Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la ecuación:
x2 + y2 = 16 implica y2 = 16 - x2
Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una ecuación dada,
aunque sepamos que hay dos o más funciones implícitas definidas. Y, aún así, podríamos estar
interesados en, por ejemplo, determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en algunos
de sus puntos.
Resulta que es posible derivar una función implícita aun cuando no podamos despejarla de
la ecuación que la define. Basta sencillamente con derivar ambos miembros de la ecuación que
la define, teniendo en cuenta, eso sí, que una de las variables es función de la otra. El siguiente
ejemplo ilustra el método llamadoderivación implícita.
Ejemplo 1
Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia
Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2 + y2 = 16
Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos
lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x: x2 + y2=16
(x2+y2)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros)
2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n)'=n[f(x)]n-1·f'(x))
2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y
Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-3/7.
Ejemplo 2
Cálculo de las Rectas Tangente y Normal en una Hipérbola
Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva x2-y2= 9 en el
punto (5,4). Esta curva se llama hipérbola.

3. Solución: Por derivación implícita: x2-y2= 9
(x2-y2)'= (9)' 2x-2y·y'= 0 y'= x/y
La pendiente m de la recta tangente es y' evaluada en x = 5, y = 4, entonces:
m = 5/4 y b = 4-5/4 · 5 = 4-25/4 =- 9/4.
La ecuación de la recta tangente es y=5/4 · x-9/4.
Ahora, la pendiente m0 de la normal es m0=-1/m, es decir m0=-1/(5/4)=-4/5 y la
intersección sería:
b0=4-(-4/5)(5)=4+4=8.
De manera que la ecuación de la normal es y=-4/5·x+8}
Cálculo de la Derivada en una Ecuación
Determinar y' si y está dada implícitamente por la ecuación 2xy2+y3=x3+2.
Solución: Procedemos por derivación implícita derivando ambos miembros de la ecuación
2xy2 + y3 = x3+2
(2xy2+y3)' = (x3+2)',
(2xy2)' + (y3)' = (x3)' + (2)'
(2x)'y2 + (2x)(y2)' + 3y2 · y' = 3x2
2y2 + (2x)(2y · y') + 3y2 · y' = 3x2
2y2 + (4xy+3y2)y' = 3x2
(4xy+3y2)y' = 3x2 - 2y2
y' = 3x2 - 2y2/(4xy + 3y2)
 Derivada de Orden Superior: Definición

4. Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv ,........... , fn Tal que:
f"(x)=[f´(x)]´
f´´´(x)=[f"(x)]´
f iv (x)=[f´´´(x)]´
.
.
.
f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .
Para ver algunos ejemplos, por favor revise los libros de Cálculo con Geometría Analítica de
Louis Leithold, Calculo diferencial de Jorge Saenz, o cualquiera que encuentres en Biblioteca
 funciones Crecientes y Decrecientes: Definición
i. Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2),
siempre que x1< x2 donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.
ii. Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y
sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en
el intervalo.
Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento:
1. f(x)=3x+8
Solución f´(x)=3
Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R.
2. f(x)=x2+2x-3
Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f´(x)=0, donde
la función f no es creciente ni decreciente.
2x+2=0
x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el
comportamiento de la derivada antes y después de x=-1 f´(x)=2(x+1).
Intervalo F´(X) La Función es
(- ,1) - Decreciente
(-1,+  ) + Creciente
Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo
abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo.
Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo
abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo.

5.  Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos
Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el
intervalo abierto (a,b):
i. Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
ii. Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]
Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos
Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a
c, y supongamos que f´( x) existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:
i. Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c
como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene
un valor máximo relativo en c.
ii. Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c
como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene
un valor mínimo relativo en c.
Máximos y Mínimos Absolutos
Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
i. F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función.
ii. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.
Teorema del Valor Extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo
en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es
el valor mínimo.
Punto Crítico

6. Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
i. f´(c)=0 ii). f´(c) no existe
Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función
Solución
f´(x)=0 si y sólo si 2(x-1)=0 si y sólo si x=1. Además vemos que f´(x) no está definida en x=0
y en x=2.
Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1, 0 y 2.
 Concavidad y Criterio de la derivada Segunda: Definición
La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica,
en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado.
Definición. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica,
en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado.
Teorema
Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:
1. Si f" (x)>0 , x  (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
2. Si f" (x)<0 ,  x  (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f, se
denomina punto de inflexión de la gráfica de f.
Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f"(c),
entonces f"(c)=0.
Ejemplo. Determinar las concavidades y puntos de inflexión de las gráfica de la función f(
x)=x3+3x2-3x-3
Solución. Hallaremos aquellos valores de x en donde f(x)=0 o no existe
f´(x)=3x2+6x-3; f"(x)=6x+6

7. f"(x)=6(x+1); hacemos 6x+6=0 (f"(x) existe para toda x)
luegox= -1.
Estudiaremos las concavidades en los intervalos (- ,-1) y (-1,+  ), con el signo de f"(x) en
cada intervalo.
Si x (- ,-1) f"(x)<0. La función es cóncava hacia abajo.
Si x (-1,+  ) f"(x)<0. La función es cóncava hacia arriba.
En consecuencia el punto (-1,f(-1))=(-1,2) es un punto de inflexión.
 Problemas Máximos y Mínimos
El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial
Hubble. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue
en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se
expresa mediante:
V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores
máximos y mínimos absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el
desprendimiento de los cohetes auxiliares.
Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la
función aceleración. De modo que primero debemos derivar para hallar la aceleración:
A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61
Ahora el método cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126
Su derivada es a`(t)=0.007812t-0.18058
El único número crítico ocurre cuando a`(t)=0
t1=0.18058/0.007812  23.12
Al evaluar a(t) en el número crítico y los extremos tenemos:
a(0)=23.61 a(t1) 21.52 a(126)  62.87
De modo que la aceleración máxima es aproximadamente 62.87 pies/s2 y la aceleración
mínima es como de 21.52 pies/s2.
 Formas Indeterminadas
Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:

8. Entonces decimos que es indeterminada.
Si se tiene,
En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso,
cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de
L´Hopital. Teorema:
Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el
número a en I, y supongamos que para toda x  a en I, g`(x)  0. Entonces, si límite cuando x
tiende a de f(x) es más o menos infinito y límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos
infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las respectivas derivadas de las
funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo
valor.
Nota: Esta regla es aplicable a formas 0/0 ó  / .
Aplicación de la regla para determinar el valor de la forma 0 / 0 ó  / :
Se halla la derivada del numerador para obtener un nuevo numerador, se halla la derivada
del denominador para obtener un nuevo denominador. El valor de esa nueva fracción, para el
valor asignado de la variable, será el valor límite de la primera fracción.
Ejemplo V-4
1. Demostrar los siguientes límites:
a. Demostrar que el Notamos que es de la forma 0/0. Por lo tanto, podemos
aplicar L´Hopital. Derivando el numerador y luego derivando el denominador nos queda:
Obsérvese que no se deriva como un cociente.
b. , es de la forma 0/0, se puede aplicar L´Hopital:
podemos volver a aplicar L`Hopital .
Aplicando L´Hopital de nuevo: . Como se observa esta regla se puede
aplicar todas las veces que sea necesario, siempre y cuando quede de la forma 0/0 ó  / .
Si la forma indeterminada es 0* .

9. Si una función f(x)*g(x) toma la forma 0* para un cierto valor de la variable, se puede
reescribir de la siguiente manera:
con el fin de obtener alguna de las formas que permitan aplicar L´Hopital.
Ejemplo V-5
Demostrar: es de la forma 0*
es de la forma entonces = aplicando
L`Hopital:
Si la forma indeterminada es  - 
En este caso se hacen transformaciones algebraicas de tal manera que se pueda expresar
como
0 / 0;  /  .
Ejemplo V-6
Demostrar que el Es de la forma  - 
aplicando L´Hopital de nuevo,
aplicando la regla de nuevo:
Si la forma indeterminada es: 00; 1 ;  0.
Si la función y = f(x) g(x) toma para algún valor de x cualquiera de las formas 00;
1 ;  0 entonces se toma logaritmo natural en ambos miembros:
Ln y = g(x) ln f(x) y puede tomar la forma 0.  que con algunas transformaciones algebraicas
podemos convertirlas en la forma 0/0 ó  /  .
Recordemos que si ln y = a entonces y = ea
Ejemplo V-7

10. Demuestre los siguientes límites
a- xx = 1: es de la forma 00, sea y = xx, ln y = x ln x que es de la forma 0(- )
entonces
b-
sea ln y = es de la forma  .0
.