Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
2. Integral lipat dua pada persegi panjang
Integral lipat dua pada daerah sembarang
Perubahan urutan pengintegralan
Integral lipat dua dalam koordinat polar
Aplikasi Integral Lipat Dua : Luas Permukaan
07/12/18Kalkulus2-Unpad
2
3. 1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n
bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada
[xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
1. Bentuk jumlah Riemann.
2. Jika n ∞ (|P| 0) diperoleh limit jumlah
Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan
Riemann pada R, ditulis
07/12/18Kalkulus2-Unpad
3
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
∆xk
∆yk
)y,x( kk
1 1
( , )
n n
k k k
i i
f x y A
= =
∆∑∑
1 1
lim ( , )
n n
k k k
n
i i
f x y A
→∞
= =
∆∑∑
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi
panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
1 1
( , ) lim ( , )
n n
k k k
n
i iR
f x y dA f x y A
→∞
= =
= ∆∑∑∫∫
)y,x( kk
4. Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang
terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
07/12/18Kalkulus2-Unpad
4
∑=
→
∆
n
k
kkk
P
Ayxf
1
0
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )
R R
f x y dA f x y dxdy=∫∫ ∫∫
=∫∫R
dAyxf ),( ∑=
→
∆
n
k
kkk
P
Ayxf
1
0
),(lim
disebut integral lipat dua f pada R. ditulis sebagai
:
( , )
R
f x y dx dy =∫∫ 0
1
lim ( , )
n
k k k k
P
k
f x y x y
→
=
∆ ∆∑
atau ANIMASI
5. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
5
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) ≥ 0 pada persegpanjang R,
maka ( , )
R
f x y dA∫∫ menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
6. Jika f(x,y) ≥ 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan
metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
07/12/18Kalkulus2-Unpad
6
y
x
z z= f(x,y)
c
a
b
d
a b
z
x
A(y)
( ) ( , )
b
a
A y f x y dx= ∫
A(y)
7. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
7
( , ) ( )
d
R c
f x y dA A y dy=∫∫ ∫
( , )
d b
c a
f x y dx dy
=
∫ ∫
( , )
d b
c a
f x y dxdy= ∫∫
Maka
( , )
R
f x y dA∫∫ ( , )
d b
c a
f x y dxdy= ∫∫
8. (ii) Sejajar bidang YOZ
07/12/18Kalkulus2-Unpad
8
y
x
z z= f(x,y)
c
a
b
d
c d
z
y
A(x)
( ) ( , )
d
c
A x f x y dy= ∫
A(x)
9. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
9
( , ) ( )
b
R a
f x y dA A x dx=∫∫ ∫
( , )
b d
a c
f x y dy dx
=
∫ ∫
( , )
b d
a c
f x y dy dx= ∫∫
Maka
( , )
R
f x y dA∫∫ ( , )
b d
a c
f x y dy dx= ∫∫
10. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
10
1. Hitung integral lipat dua berikut
ini :
( )2 2
2
R
x y dA+∫∫
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y
≤ 4}
Jawab:
( )2 2
2
R
x y dA+∫∫ ( )
6 4
2 2
0 0
2x y dy dx= +∫∫
6 4
2 3
00
2
3
x y y dx
= + ÷
∫
6
2
0
128
4
3
x dx
= + ÷
∫
6
3
0
4 128
3 3
x x= + 288 256 544= + =
R
6
4
y
x
11. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
11
2. Hitung integral lipat dua berikut
ini :
( )sin
R
x y dA+∫∫
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤π/2, 0 ≤ y ≤
π/2}
R
π/2
π/2
y
x
Jawab:
( )sin
R
x y dA+∫∫ ( )
/2 /2
0 0
sin x y dy dx
π π
= +∫ ∫
/ 2 /2
00
cos( )x y dx
π π
= − + ÷
∫
( )
6
0
cos cos
2
y y dx
π
= − + + ÷ ÷
∫
/ 2
/2
0
0
sin sin
2
y y
π
π π
= − + ÷
( )sin sin sin 2
2 2
π π
π
= − + = ÷ ÷
12. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
12
2 2
1 1
0 0
. x y
a xy e dy dx+
∫∫
( )
2 1
2
0 1
.b xy dy dx
−
∫ ∫
1 2
2
0 0
.
1
y
c dy dx
x +∫∫
1. Hitung
2. ( ),
R
f x y dx dy∫∫ untuk
2 2
. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R= + = ×
2
. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R= + = − ×
13. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. ( ) ( ), ,
R R
k f x y dA k f x y dA=∫∫ ∫∫
2. ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫
3. Jika
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫
4. Jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka
( ) ( ), ,
R R
f x y dA g x y dA≤∫∫ ∫∫
1 2R R R= ∪ maka
15. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
15
Ada dua jenis daerah
1. Jenis 1 ( x konstan )
{ })()(,|),( 21 xgyxgbxayxD ≤≤≤≤=
2. Daerah jenis 2 ( y konstan )
{ }dycyhxyhyxD ≤≤≤≤= ,)()(,|),( 21
16. Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
07/12/18Kalkulus2-Unpad
16
D
a b
x
q(x)
p(x)
y
∫ ∫∫∫ =
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
x
y
{ })()(,|),( 21 xgyxgbxayxD ≤≤≤≤=
17. Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
07/12/18Kalkulus2-Unpad
17
( )
( )
( , ) ( , )
s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy=∫∫ ∫ ∫
x
y
D
c
d
r (y) s (y)
x
{ }dycyhxyhyxD ≤≤≤≤= ,)()(,|),( 21
18. • Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah
urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan
dengan perubahan urutan pengintegralan akan
memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat
menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita
dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada
sketsa daerah integrasi yang sama.
07/12/18Kalkulus2-Unpad
18
ANIMASI
19. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
19
1. Hitung ( )2 x
R
ye dA∫∫ ,R dibatasi x= y2
, y =1, sumbu y
x
R
( )2 x
R
y e dA∫∫ ( )
2
1
0 0
2
y
x
y e dx dy= ∫ ∫
21
0
0
2
yx
y e dy= ∫
( )2
1
0
2 1y
y e dy= −∫
( )2
1
2
0
1 1 2y
e y e e= − = − − = −
x
y
x = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 ≤ x ≤ y2
, 0 ≤ y ≤ 1}
20. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
20
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
( )2 x
R
y e dA∫∫ ( )
1 1
0
2 x
x
ye dy dx= ∫ ∫
1
12
0
x
x
e y dx= ∫
1
0
x x
e xe dy= −∫
( )
1
0
x x x
e xe e= − +
R = {(x,y)| 0 ≤ x ≤ 1, √x ≤ y ≤ 1}
y x
y
x = y2
1
1
2 (1 1) 2e e e= − − + = −
21. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
21
2
2
4 2
0
2.
x
y
e dy dx∫∫
Daerah integrasinya
Jawab:
x R
x
y
y = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya,
yaitu:x=2y
( , ) |0 4, 2
2
x
R x y x y
= ≤ ≤ ≤ ≤
{ }( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y= ≤ ≤ ≤ ≤
23. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
23
3
33
1
1.
y
y
y
xe dx dy
−
∫ ∫
2
0 0
sin
2. cos
x
y x dy dx
π
∫ ∫
2
1 1
0
3. y
x
e dy dx−
∫∫
( )
2
2 4
0 0
6.
x
x y dy dx
−
+∫ ∫
2
0 0
cos
7. sin
x
y x dy dx
π
∫ ∫
A
2 1
2
0 / 2
4. cos( )
y
x dx dy∫ ∫
∫ ∫
4
0
2
3
.5
y
x
dxdye
24. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
24
B
1.Hitung integral berikut
2
. ( 2 ) ,
S
a x y dA S+∫∫ daerah antara
2
y x dan y x= =
. ,
S
b xdA S∫∫ daerah antara
3
y x dan y x= =
2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda
1
0 0
. ( , )
x
a f x y dydx∫∫
1
0
. ( , )
y
y
b f x y dxdy
−
∫ ∫
26. Hitung
07/12/18Kalkulus2-Unpad
26
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Polar
θ
r
P(r,θ)
x
y
θ=0
(sumbu polar)
Hubungan Kartesius – Polar
{ }4|),((; 2222
≤+=∫∫
+
yxyxDAde
D
yx
=
=
θ
θ
sin
cos
ry
rx 2 2 2
x y r→ + =
= −
x
y1
tanθ
27. Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D
07/12/18Kalkulus2-Unpad
27
( , ) ?
D
f x y dA =∫∫
Sumbu Polar
∆Ak
r=b
r=a
θ=β
θ=α
D
∆Ak
rk-1
rk
∆θ
Pandang satu partisi persegi
panjang polar ∆Ak
Luas juring lingkaran dengan
sudut pusat θ adalah ½ r2
θ
∆Ak = ½ rk
2
∆ θ- ½ rk-1
2
∆θ
= ½ (rk
2
- rk-1
2
) ∆θ
= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)∆θ
= r ∆r ∆θ
Jika |P| 0, maka dA = r dr dθ (|P| panjang diagonal ∆Ak)
{ }βθαθ ≤≤≤≤= ,|),( brarD
28. 1. Hitung
07/12/18Kalkulus2-Unpad
28
Sehingga
( , ) ( cos , sin )
k pD D
f x y dA f r r r dr dθ θ θ=∫∫ ∫∫
Contoh:
2. Hitung
D
y dA∫∫ , D adalah daerah di kuadran I di dalam
{ }4|),((; 2222
≤+=∫∫
+
yxyxDAde
D
yx
422
=+ yxlingkaran dan diluar 2 2
1x y+ =
29. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
29
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat
(0,0) jari-jari 2.
Sehingga
2 2
x y
D
e dA+
∫∫
2
2 2
0 0
r
e r dr d
π
θ= ∫ ∫
( )4
1eπ= −
2
22
00
1
2
r
e d
π
θ
= ÷ ÷
∫
2
4
0
1 1
2 2
e d
π
θ
= − ÷
∫
2
2
x
y
D r
θ
Jawab.
{ }
2 2
2 2
1. ; (( , ) | 4x y
D
e dA D x y x y+
= + ≤∫∫
{ }( , ) | 0 2,0 2D r rθ θ π= ≤ ≤ ≤ ≤
31. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
31
2.
D
y dA∫∫
Sehingga
D
y dA∫∫
/2 2
0 1
sinr r dr d
π
θ θ= ∫ ∫
( )/ 2
0
7 7
cos
3 3
π
θ= − =
2/ 2
3
10
1
sin
3
r d
π
θ θ
= ÷ ÷
∫
( )
/2
0
1
8 1 sin
3
d
π
θ θ= − ∫
21 x
y
D
r θ
≤≤≤≤=
2
0,21|),(
π
θθ rrD
32. 1. Hitung
07/12/18Kalkulus2-Unpad
32
2
1 1
2 2
0 0
4
x
x y dy dx
−
− −∫ ∫
2. Hitung
2
11
2 2
0 0
sin( )
y
x y dx dy
−
+∫ ∫
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah
paraboloid z = x2
+y2
dan di dalam tabung x2
+ y2
= 9
dengan menggunakan koordinat kutub/polar.
34. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
34
1 2
1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan
pusat di (1,0) dan berjari-jari 1DD
Jadi, (x – 1)2
+ y2
= 1
x2
– 2x + 1 + y2
= 1
x2
+ y2
= 2x
r2
= 2r cos θ
r2
– 2r cos θ =0
r (r – 2 cos θ )=0
r = 0 atau r = 2 cos θ
Untuk batas θ (dari gambar) θ =–π /2 θ= π/2
Sehingga,
≤≤−≤≤=
22
,cos20|),(
π
θ
π
θθ rrD
35. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
35
θ=π/4
1 2 x
y
D
x = 1 x = 2
y = 0 2
2y x x= −
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulai
x = 1 r cos θ = 1 r = sec θ
Untuk batas θ (dari gambar) θ =0 θ= π/4
hingga r = 2 cos θ
2 2
2y x x= − 2 2
2 0x x y− + =
2 2
( 1) 1x y− + =
( , ) | sec 2cos ,0 .
4
D r r
π
θ θ θ θ
= ≤ ≤ ≤ ≤
36. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
36
1. Hitung
2
2 2
2 2
1 0
1
x x
dydx
x y
−
+
∫ ∫
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x = 1 x = 2
y = 0
2
2y x x= −
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
θ=π/4
1 2 x
y
D
D dalam koordinat polar adalah:
2 2
2y x x= −
2 2
2 0x x y− + =
2 2
( 1) 1x y− + =
.cos2sec,
4
0|),(
≤≤≤≤= θθ
π
θθ rrD
39. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
39
1. Hitung
S
r dr dθ∫∫ , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosθ
dan di luar r = 2
2. Hitung
3. Hitung 2 2
4
D
x y dA− −∫∫ , D daerah kuadran I dari
2
11
2 2
0 0
sin( )
y
x y dxdy
−
+∫ ∫
lingkaran
2 2
4x y+ = antara y = 0 dan y = x.
40. Misalkan permukaan G : z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z
07/12/18Kalkulus2-Unpad
40
k
∇F
γ
γ γ
∆Ri
∆Ti
∆Si
∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γi
∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi
∆Ti = luas bidang singgung yang
terletak diatas Ri
γi = sudut antara Ri dan Ti
G
b
a
c d
Gi
R
Ri
41. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
41
2 2 2 2
2 2
2 2
ˆ.
ˆˆ ˆcos ,
ˆ
1 1
cos
1 1
sec 1
1
i x y
i
x y x y
i x y
i x y i
F k
dengan F f i f j k
F k
f f f f
f f
Jadi S f f R
γ
γ
γ
∇
= ∇ = + −
∇
−
= =
+ + + +
= + +
∆ = + + ∆
r
r
r
sec ,k k kS T R γ≈ =V V V kkFkF γcos
∇=•∇
Jadi luas permukaan G:
2 2
1x yS
f f dA+ +∫∫
42. Hitung luas permukaan G : z = x2
+ y2
dibawah bidang z=4
07/12/18Kalkulus2-Unpad
42
Z
x
y
G
z = 4
S
Jawab.
Bagian G yang dimaksud diproyeksikan
pada daerah S (daerah yang dibatasi
oleh lingkaran x2
+y2
=4).
x2
+y2
=4
yfxfyxyxf yx 2;2),( 22
==⇒+=
{ }πθθ 20,20),( ≤≤≤≤= rrS
43. 07/12/18Kalkulus2-Unpad
43
Sehingga luas permukaan G:
2 2
2 2
0 0
1x yf f r dr d
π
θ= + +∫ ∫
2 2
2
0 0
4 1r r dr d
π
θ= +∫ ∫
2 2
2 1/ 2 2
0 0
1
(4 1) (4 1)
8
r d r d
π
θ= + +∫ ∫
2
2 3/ 2 2
00
1
(4 1)
12
r d
π
θ= +∫ ( )
2
3/ 2
0
1
(17) 1
12
d
π
θ= −∫
3/2 2
0
1
(17 1)
12
π
θ= − 3/ 2
(17 1)
6
π
= −
2 2
4 4 1
G S
dS x y dA= + +∫∫ ∫∫
44. 1. Hitung luas permukaan G : z = x2
+ y2
dibawah bidang z =4
07/12/18Kalkulus2-Unpad
44
2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada
2
4z y= −
di atas bujur sangkar dengan titik sudut (1,0),(2,0),
(2,1),(1,1)
3. Hitung luas permukaan G : silinder z2
+ x2
= 16 di oktan I
yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3
4. Hitung luas permukaan G : silinder z2
+ y2
= 9 di oktan I
antara y =x, y = 3x