Bab VIII membahas fungsi transenden seperti fungsi invers, logaritma asli, eksponen asli, logaritma umum dan eksponen umum. Fungsi invers merupakan fungsi yang menghubungkan nilai asal dengan nilai target secara satu-ke-satu. Grafik fungsi invers diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi asli terhadap garis y=x.

1. BAB VIII
FUNGSI TRANSENDEN
Fungsi elementer dapat dikelompokkan atas fungsi aljabar dan
fungsi transenden. Fungsi aljabar diperoleh melalui sejumlah
berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan dan , sedangkan
fungsi transenden dikenal sebagai fungsi elementer yang bukan
fungsi aljabar.
Fungsi transenden yang dipelajari pada bagian ini adalah:
• Fungsi invers
• Fungsi logaritma Asli
• Invers dari fungsi logaritma asli yaitu fungsi eksponen Asli
• Fungsi eksponen umun
• Invers dari fungsi eksponen umum adalah fungsi logaritma
umum

2. 8.1 FUNGSI INVERS
Eksistensi invers suatu fungsi dijamin bila pengkaitan
unsur-unsurnya berbentuk satu lawan satu, yang dikenal
sebagai fungsi satu-ke-satu. Fungsi satu-ke-satu atau disebut
juga fungsi injeksi atau fungsi monik. Fungsi satu kesatu
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 8.1
Fungsi dinamakan satu-ke-satu jika prapeta dari
setengah unsur di terdiri dari tepat satu unsur. Atau fungsi
dinamakan satu-ke-satu jika berlaku

3. Definisi 8.2
Fungsi disebut fungsi satu-ke-satu apabila tidak pernah
mencapai nilai yang sama dua kali, yakni :
jika

4. 8.1.1 Arti Geometri Fungsi satu-ke-satu
Setiap garis sejajar sumbu akan memotong grafik fungsi satu-
ke-satu paling banyak di satu titik. Ilustrasinya dapat dilihat
pada contoh fungsi , beserta grafik pada Gambar 8.4.

5. Definisi 8.3 Fungsi Invers
Misalkan fungsi satu-ke-satu dengan daerah asal dan
daerah nilai , maka fungsi invers dari , yaitu mempunyai
daerah asal dan daerah nilai dan didefinisikan oleh:
, untuk setiap di B.
Teorema 8.1
Jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f
mempunyai invers :

7. Catatan:
Suatu fungsi tidak semua mempunyai invers, agar fungsi
tersebut mempunyai invers pada daerah asal , dapat dibuat
fungsi satu-ke-satu dengan membatasi daerah asalnya.
Sebagai Ilustrasi dapat dilihat pada contoh 8.3 berikut:

9. Contoh 8.4:
Diketahui
a. Periksa apakah f mempunyai invers
b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab :

10. Definisi 8.4 Grafik Fungsi Invers
Jika fungsi f : satu-ke-satu dan adalah
invers fungsinya, maka berlaku:
yang berarti bahwa:
Karena titik dan simetri terhadap garis maka grafik
fungsi f akan simetri dengan grafik fungsi inversnya
dan simetri terhadap garis
Dengan demikian grafik fungsi diperoleh dengan cara
mencerminkan grafik fungsi f terhadap garis seperti pada
gambar 8.5 dibawah:

12. 8.1.2 Turunan Fungsi Invers
Teorema 8.2
Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

13. Soal latihan
Tentukan fungsi invers (bila ada) dari

14. 8.2 FUNGSI LOGARITMA ASLI (NATURAL)
Definisi 8.5
Fungsi logaritma Asli disingkat , adalah fungsi yang
didefinisikan sebagai:
Ditulis
Keberadaan fungsi ini bergantung pada fakta bahwa integral
fungsi kontinu senantiasa ada. Jika maka dapat
ditafsirkan secara geometris sebagai luas daerah dibawah
hiperbola dari t = 1 ke t = x seperti pada Gambar 8.6

15. • Untuk , diperoleh
• Untuk
• Sehingga adalah minus luas daerah yang
diperlihatkan pada Gambar 8.7

16. • 8.2.1 Fungsi Turunan dari Logaritma Asli
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II , aturan
rantai dan turunan fungsi nilai mutlak, rumus
fungsi turunan dapat dibuktikan.
Teorema 8.3
Bukti :
• Misalkan :

17. Jika
Jadi
dari sini diperoleh
ln | |, 0y x x= ≠
ln , 0
ln( ) , 0
x x
x x
>
= 
− <
1
ln 'y x y
x
= → =
1 1
ln( ) 'y x y
x x
−
= − → = =
−
1
(ln | |) , 0.
d
x x
dx x
= ≠
1
ln | |dx x C
x
= +∫

18. Teorema 8.4 Sifat-sifat Ln
(i). ln 1 = 0
(ii). ln(ab) = ln a + ln b
(iii). ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
(iv). ln ln
Contoh 8.6
1.Diberikan
Maka
( ) ln(sin(4 2))f x x= +
1
'( ) (sin(4 2)) 4cot(4 2)
sin(4 2)
xf x D x x
x
= + = +
+

19. 2.
3.

20. • 8.2.2 Integral dari Fungsi Logaritma Asli

23. 8.3 FUNGSI EKSPONEN ASLI
• Karena maka fungsi logaritma asli
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi
berlaku hubungan.
• Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x = ln(exp(x))
Definisi 8.6
Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1.
Oleh karena ln e = 1, maka exp 1 = e. Seperti bilangan e adalah
bilangan tak rasional. Dari teorema 8.4 dan sifat exp(ln x) = x,
diperoleh :

24. 8.3.1 Grafik Fungsi Eksponen Asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi
logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh
dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli
terhadap garis y = x.

25. 8.3.2 Turunan Fungsi Eksponen Asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Perhatikan hubungan