2. Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης αυξουσα φθίνουσα αυξουσα Τ.Μ Τ.Ε.
3.
4. Παράδειγμα Αν f(x) = x 2 – 6x τότε f ΄( x) = 2x - 6 άρα η f είναι Και ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ Όμως η f ΄( x) δεν είναι μόνο θετική ή μόνο αρνητική για κάθε x Το ζήτημα λοιπόν είναι να βρούμε που η f είναι αύξουσα και πού η f είναι φθίνουσα Δηλαδή να βρούμε που η f ‘ είναι θετική και πού είναι αρνητική Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ- 6 >0 άρα όταν 2χ >6 άρα όταν χ > 3 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) <0 άρα όταν 2χ- 6 <0 άρα όταν 2χ <6 άρα όταν χ < 3
5. Συγκεντρωτικά λοιπόν f ΄( x) >0 όταν χ > 3 και f ΄( x) <0 όταν χ < 3 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα + - Άρα όταν χ > 3 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ < 3 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f 3 -∞ +∞ f ΄ f 3
6. Παράδειγμα Να μελετήσετε την μονοτονία της f(x) = x 2 + 4x +5 Αν f(x) = x 2 + 4x +5 τότε f ΄( x) = 2x +4 Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ+4 >0 άρα όταν 2χ > - 4 άρα όταν χ > -2 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ +4 <0 άρα όταν 2χ < - 4 άρα όταν χ < -2 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα - + Άρα όταν χ > -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ < -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f -2
7. Παράδειγμα Να μελετήσετε την μονοτονία της f(x) = -3 x 2 -12 x +8 Αν f(x) = -3 x 2 -12 x + 8 τότε f ΄( x) = -6χ -12 Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν -6χ-12 >0 άρα όταν -6χ > 12 άρα όταν χ < -2 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν -6χ -12 <0 άρα όταν -6χ < 12 άρα όταν χ > -2 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα + - Άρα όταν χ < -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ > -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f -2
8. Συγκεντρωτικά τι θα κάνουμε όταν μας ζητούν την μονοτονία μιας συνάρτησης f : α) βρίσκω f ‘ (x) β) βρίσκω το πρόσημο της f ‘ (x) ( Λύνω τις ανισώσεις f’ (x) >0 και f ‘ (x) < 0) γ) κάνω πινακάκι δ) αναφέρω σε ποια διαστήματα η f είναι αύξουσα και σε ποια είναι φθίνουσα.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. f(x) = x 3 – 6x 2 +9 χ f ΄( x) = 3χ 2 -12χ+9 Όμως η παράγωγος είναι τριώνυμο , άρα για να βρω το πρόσημό της πρέπει να βρω το πρόσημο τριωνύμου…. α = 3 , β = -12, γ =9 Δ = β 2 – 4.α.γ = (-12) 2 – 4.3.9 =144- 108 =36 Άρα χ 1,2 = Θυμάμαι…… εντός των ριζών ετερόσημο του α 1 3 f ’ f - + +