1. TRIGONOMETRY
SINE &
TRIGONOMETRY TRIGONOMETRY COSINE
RATIOS IDENTITY RULE
TRIANGLE
AREA

2. A. Trigonometri ratios
hypotenuse
Right-angle side

Right-angle side S
opposite side O
Sine  =
hypotenuse h c
cosine =
adjacent side a t
hypotenuse
h o
tan = opposite side
a
adjacent side

3. Secant
( sec )
 =
hypotenuse
adjacent side
Cosecant 
( csc/cosec )
=
hypotenuse
opposite side
Cotangen
( cot )  =
adjacent side
opposite side

4. Sisi miring
sisi depan

Sisi samping
de
sisi depan
Sinus  =
sisi miring
mi
Cosinus  =
sisi samping sa
sisi miring
sisi depan
mi
tangen = de
sisi samping
sa

5. sisi miring
Secan  = 1 =
( sec ) cos  sisi samping
Cosecan  = 1
sin 
=
sisi miring
( csc ) sisi depan
Cotangen
( cot / ctg )  =
cos 
sin 
=
sisi samping
sisi depan

6. Example 1 :
It is known that triangle ABC is right angled on point B with
AB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC = 
Determine the value of :
a. Sine  d. sec 
b. Cos  e. csc 
c. Tan  f. cot 
Solution :
C
AC2 = AB2 + BC2
4 cm 5 = 32 + 42
= 9 + 16
 A = 25
B 3 cm
AC = 25
AC = 5

7. a. sin  =
4
5
b. cos  =
3
5
c. Tan  = 4
3
d. sec  = 5
3
e. csc  =
5
4
f. cot  =
3
4

8. Example 2 :
=
1
If sine then determine the value of :
d. sec 
3
a. Sine 
b. Cosine  e. csc 
c. tangen  f. Cot 
Solution :

8
b. cosine =
3
tangen 
3 1 1 2 1
1 c. =  8 2 2
8 8 8 4

8
d. Sec  =
3
=
3
2
8 4
e. csc  = 3 f. cot  =
8
1

9. Example 3 :
Determine other trigonometric ratios values if it is known
that cos 
= 0,4 . 
is an acute angle
Solution : 21 1
sin  =  21
5 5
5 21 1
21 tan  =  21
2 2
 5
2 sec  =
2
5 5
4 2 csc  =  21
0,4 =  21 21
10 5
2 2
cot  =  21
21 21

10. Perbandingan Trigonometri
sudut-sudut khusus
( sudut istimewa = Extraordinary angles )
Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah :
00, 300, 450, 600, 900
Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900
Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.

11. P(x,y) Titik P (x,y) terletak pada lingkaran
satuan.
y Garis OP membentuk sudut 
o dengan sumbu x.
N x
Panjang ON adalah x satuan,
panjang PN adalah y satuan dan
y panjang OP adalah 1 satuan ( krn
OP jari-jari lingkaran )
 ONP adalah segitiga siku – siku
.
Perbandingan trigonometri untuk sudut  adalah sbb :
sin  =
y
1
= y, cos  =
x
= x, tan  =
y
x
1

12. Jika  = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x,
dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :
Sin 00 = y = 0
Cos 00 = x = 1
y 0
Tan 00 =  0
x 1
Jika  = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,
dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :
Sin 900 = y = 1
Cos 900 = x = 0
y 1
Tan 900 =   tak terdefnisi
x 0

13. Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini:
B  ABC siku – siku di C,
600
c  BAC = 300 dan  ABC = 600
a
300  ADC merupakan pencerminan
A b 900 C
dari  ABC terhadap AC
Karena setiap sudut pada  ABD
= 600, maka  ABD= sama sisi
D sehingga AB = AD = BD = 2a
atau c = 2a
Dalam  ABC berlaku teorema Pythagoras :
c2 = a2 + b2
(2a)2 = a2 + b2
b2 = 4a2 – a2
b = 3a 2 a 3

14. Kita peroleh :
a a = 1 b a 3 1
sin 300 = = Sin 600 = = = 3
c 2a 2 c 2a 2
b a 3 1 a a 1
cos 300 = = = 3 Cos 600 = =
=
c 2a 2 c 2a 2
1 a b a 3
a= Tan 600 = = = 3
Tan 300 = = 3 a a
b a 3 3

15. Untuk sudut 450
Perhatikan gambar dibawah ini :
B
 ABC siku siku di C dan  BAC = 450
c Karena  BAC = 450 maka
a
 ABC = 450 sehingga  ABC
450 merupakan segitiga siku-siku sama
A b C kaki ( a = b )
c2 = a2 + b2
= a2 + a2
= 2a2
c = 2a 2 = a 2

16. B
Kita peroleh :
a 2 Sin 450 =
a =
1
a 2
a 2 2
450
C
A a
a 1
Cos 450 = = 2
a 2 2
a
Tan 450 = = 1
a
Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kita
dapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadi
a = b = 1 dan c = 2

17. Tabel perbandingan trigonometri sbb :
Trigonometry ratios Extraordinary angles = sudut – sudut istimewa
00 300 450 600 900
1 1
sine  0
1
2 2
2
2
3 1
1
cosine  1
2
3 1
2
1
2
0
2
tan  0 1
3 1 3 undefined
3

18. Example 1 :
Determine the value of :
a. sin 30  cos 45  tan 45
0 0 0
b. sin 30
2 0
 cos 302
Solution :
a. sin 30  cos 45  tan 45
0 0 0
= 1 1 – 1
+ 2
2 2
1 1
= 2–
2 2

19. b. sin 30  cos 30
2 0 2
= sin 30   cos 30 
0 2 0 2
2
1
2
=   + 1 
 3
2 2 
1 3
=   +
 
4 4
= 1

20. cos 450. cos 300  sin 450. sin 600
c.
tan 300. tan 600
1 1 1 1
2. 3 2. 3
= 2 2 2 2
1
3. 3
3
1 1 1
6.  6 6
= 4 4 = 2
1 1
.3
3
1
= 6
2

21. B. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Teorema Phytagoras :
y
x2 + y2 = r2
Jika dibagi dengan r2 maka :
x2 y2 r2
B
2
 2  2
r r r
r 2 2 2
y  x  y r
      
 r  r  r
x O x A
cos   sin   1
2 2

22. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2
Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka :
2 2 2
2 2 2 x y r
x y r
 2  2 2
 2  2
x 2
x x y y y
2 2 2
 x  y r
2 2 2
 x  y r 
             
 y  y  y
 x  x  x      
1+tan2  = sec2  cot   1  csc 
2 2

23. contoh Buktikan :
cos 
2
1.  1  sin 
1  sin 
Ruas kiri
=
cos 2
1  sin 
=
1  sin 2 
 a b
2 2
 a  ba  b
1  sin 
1  sin  1  sin  
=
1  sin 
= 1 sin 

24. 2.
cos A  sin Acos A  sin A  1  2 sin 2
A
ruas kiri :
= cos A  sin Acos A  sin A
= cos 2 A  sin 2 A
= 1  sin A  sin A
2 2
= 1 2 sin 2 A

25. 3.
4

cos  1  tan   cos  2
 2
ruas kiri
=
4

cos  1  tan  2

= cos  sec 
4
 2

 1 
= cos  
4

 cos  
2
 1 
= cos  . cos  
2 2

 cos  
2
= cos 
2

26. 4. 1  cot   csc 
2 2
Ruas kiri :
= 1 cot  2
sin 2  cos 2 
= 
sin 
2
sin 2 
= sin 2   cos 2 
sin 
2
=
1 = csc 2

sin 2

27. 5 1  tan  1  cos    tan
2 2 2

Ruas kiri :
= sec  . sin 
2 2
1
= . sin 
2
cos 
2
= sin  2
cos 
2
= tan 
2

28. KOORDINAT KUTUB / POLAR
P(x,y) P(r,  )
r r
y y
 
O O
x x
Koordinat cartesius Koordinat polar/kutub
sin  = y r= x2  y2
r
y = r sin  tan  =
y
x x
cos  = r y
 = arc tan
x = r cos  x

29. Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :
1. P ( 5, 450 )  Pr ,  
x = r cos  y = r sin 
= 5 cos 450 = 5 sin 450
= 5.
1 1
2 = 5. 2
2 2
5 5
= 2 = 2
2 2
5 5 
Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah  2 , 2
2 2 

30. 2. Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 )
P ( 4, – 4 )  P x , y 
y
r x y tan  
2 2
x
r  4   4
2 2
4
tan    1
4
r  32
r4 2   arc tan 1
  3150
Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah 
P 4 2 , 3150 

31. ATURAN SINUS
C Lihat ACD Lihat BCD
CD CD
b a sin A  sin B 
AC BC
CD = AC sin A CD = BC sin B
B
A D CD = a sin B
CD = b sin A
c
CD = CD
b sin A = a sin B
a b

sin A sin B

32. C
E a
Lihat ACE Lihat ABE
b AE AE
sin C  sin B 
AC AB
B AE = AC sin C AE = AB sin B
A c
AE = b sin C AE = c sin B
AE = AE
b sin C = c sin B
b c

sin B sin C
a b c
Jadi  
sin A sin B sin C

33. Contoh 1
Diket  ABC dengan A  300 Panjang sisi BC = 2 cm,
Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut dan
Panjang sisi yang belum diketahui.
C
a c
b 
2 sin A sin C
0
30 2

4
A 4 B 0
sin 30 sin C
2 sin C = 4 sin 300
1
4.
sin C  2 1
2
C  90 0

34. b  c a
2 2
B  180  (30  90 )
0 0 0
b  4 2
2 2
B  60 0
b  16  4
b  12
b2 3
2. Diket  ABC A  300 , C  450 dan panjang sisi
AB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a
dan sisi b

35. A
30 0 B  180  (30  45 )
0 0 0
b
5 B  1050
450 C
B a
a c 5
 a
sin A sin C 2
a sin 450 = 5 sin 300 5 2
a .
1 1 2 2
a. 2  5.
2 2 5
1 a 2
5. 2
a 2
1
2
2

36. b c
 b

a
sin B sin C sin B sin A
b 5 5
 2
sin 105 0
sin 45 b
 2 0
sin 1050 sin 30
b sin 450 = 5 sin 1050
5
2 . sin 1050
b . 0,707  5. 0,97 b 2 0
5. 0,97 sin 30
b  1
0,707 5. 2 .0,97
4,85 b 2
b  1
0,707 2
b  6,859 b  6,859

37. ATURAN COSINUS
C Lihat ACD
b BD = AB – AD
a AD
cos A  BD = c – b cos A
AC
D B
A AD = AC cos A
c
AD = b cos A
Lihat ACD Lihat BDC
CD 2  AC 2  AD 2 CD 2  BC 2  BD 2
 b  b cos A  a  c  b cos A
2 2 2 2
CD2  b 2  b 2 cos 2 A  a 2  (c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A)
CD2  a 2  c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A

38. CD2 = CD2
a  c  2bc cos A  b cos A  b  b cos A
2 2 2 2 2 2 2
a  b  c  2bc. cos A
2 2 2
Rumus untuk mencari sisi :
a  b  c  2bc. cos A
2 2 2
b  a  c  2ac. cos B
2 2 2
c  a  b  2ab. cos C
2 2 2

39. Untuk mencari besarnya sudut :
b c a
2 2 2
cos A 
2bc
a c b2 2 2
cos B 
2ac
a b c2 2 2
cos C 
2ab

40. Contoh 1:
Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan
C  1200 Hitunglah panjang c.
Jawab :
A
c  a  b  2ab. cos C
2 2 2
c
b=4
1200 c  6  4  2.6.4. cos120
2 2 2 0
B
C a=6  1
c  36  16  2.6.4.  
2
 2
c  76
2
c  76  c  2 19

41. 2. Dalam segitiga ABC diketahui C  600 panjang
sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 2 13 cm
Tentukan panjang sisi a.
C c  a  b  2.a.b. cos C
2 2 2
b=6
600 ?
2 13   a
2 2
 6  2.a.6. cos 60
2 0
1
B 52  a  36  12a 
2
A c  2 13 2
52  a  36  6a
2
a  6a  16  0
2
a  8a  2  0
a 8  a  2

42. 3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm
panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM =2 31 cm
Tentukan besar sudut K
l 2  m2  k 2
M cos K 
2.l.m
10 2 31
10 2  12 2  (2 31) 2
cos K 
12 L 2.10.12
K 100  144  124
cos K 
240
120 1
cos K  
240 2
 K  60 0

43. FORMULA OF RELATED ANGLE
TRIGONOMETRIC RATIOS
( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI )
A. ANGLE  WITH 900  
'

B ' X ' ,Y '  Y=X
A x'
y'
r
900   B(X,Y)
 r
y

O C X
A

44. x
sin   sin  
y
r r
y
cos   cos  
x
r r
x
tan   tan  
y
y
x
Relasi di kwadran I
 
sin 90    cos 
0
cos 90 0
    sin 
tan 90 0
    cot 

45. y
y
sin   y
sin  
r r
x
cos    cos  
x
r r
y
tan    tan  
y
x
B x
r r
y y
 
-x  o  x A x
-y r -y
r
y
y sin   
sin    r
r
x
cos   
x cos  
r r
y
tan  
y tan   
x x

46. Relasi di kwadran II
 
sin 180    sin 
0
cos 180 0
     cos  Relasi dikwadrat IV
tan 1800
     tan 
 
sin 360     sin 
0
cos 360 0
    cos 
tan 360      tan 
Relasi dikwadran III 0
 
sin 180     sin 
0
cos 180 0
     cos 
tan 1800
    tan 

47. x
sin   
r y
y sin  
cos   -x r
r x
x cos  
tan    r
y r y
y tan  
 x
r
y

x
x
sin   
r
 sin  
x
cos   
y r -y
r
r y
cos   
x x r
tan   
y y x x
-x tan   
y

48. Relasi dikwadran II :
 
sin 90    cos 
0
cos 90 0
     sin  Relasi dikwadran IV :
tan 90 0
     cot   0

sin 270     cos 
Relasi dikwadran III : cos 270 0
    sin 
 
sin 270     cos 
0
tan 270 0
     cot 
cos 270 0
     sin 
tan 270 0
    cot 

49. Matur Nuwun