El documento describe tres sistemas de amortización de préstamos: el sistema francés, el sistema americano y el sistema alemán. Explica el sistema francés con detalle a través de un ejemplo numérico, incluyendo fórmulas para calcular la anualidad, la deuda pendiente, la deuda amortizada y los intereses para cada período. También presenta brevemente el sistema americano y algunas de sus características.

1. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
FACULTAD DE CIENCIAS JURIDICAS EMPRESARIALES Y
PEDAGOGICAS
CARRERA:
ING COMERCIAL
DOCENTE:
ANGELINA ÑAHUE
MATEMATICA FINANCIERA
ALUMNO:
DEYBI ASCONA FLORES
TEMA :
AMORTIZACIONES
ILO – PERU
2012
MATEMATICA FINANCIERA– ING COMERCIAL IV

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AMORTIZACION
En general, los individuos solicitan prestamos a instituciones financieras
para financiar un proyecto, adquisición de un bien, etc.
Todo préstamo que se adquiere debe pagarse por una parte unos
intereses por concepto del uso y disfrute del capital recibido y por otra,
reembolsar dicho capital en una o varias épocas, previamente acordadas.
Para determinar el pago de intereses y el control de la amortización o
reembolso del capital en préstamo suele aplicarse uno de los tres sistemas
siguientes:
Sistema Francés o de Amortización Progresiva.
Sistema Americano o Fondo de Amortización.
Sistema Alemán o de Amortización Constante.
Sistema Francés o de Amortización Progresiva
En este sistema el deudor se compromete a cancelar una cantidad
constante (anualidad o término de la renta), al finalizar o comenzar cada
período de tiempo convenido la cantidad que se desglosará en dos partes,
la primera para cancelación de intereses y la segunda para la amortización
de una parte del capital tomado en préstamo. En consecuencia, al ser las
anualidades constantes, al comenzar la amortización del capital
comenzará a disminuir la parte destinada al pago de intereses y
aumentando la parte destinada a la amortización del capital en cada
período, por cuyo motivo, a este método también se le conoce con el
nombre de sistema de amortización Progresiva.
El sistema Francés o de amortización Progresiva es ampliamente
aplicado en los créditos a mediano y largo plazo.
Los principales símbolos que se emplean son los siguientes:
D = Deuda primaria pendiente de amortización
R = Término de la renta compuesto por: interés simple del período (I)
más cantidades destinada a amortización de la deuda (t). Es decir
R=t+I
I = Interés simple de la deuda pendiente de amortización,
correspondiente a un período.
t = Amortización real de la deuda correspondiente a un período.
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Z = Deuda amortizada.
P = Deuda pendiente de amortización.
Para suministrar cualquier tipo de información que pueda ser
requerida referente al préstamo, se acostumbra preparar el denominado
“Cuadro de Amortización” de una deuda.
Por esta razón, se realizará un ejemplo en donde se prepara un
cuadro de amortización.
Ejemplo:
Se compra un vehículo cuyo valor es de Bs. 12.000.000. La forma de
pago es: Inicial del 30 % y el saldo restante que es Bs. 8.400.000, se
financia a través del Banco Hipotecario XXX a una tasa efectiva del 18 %
anual. Para la amortización y pago de intereses se destinarán 20 cuotas
mensuales constantes vencidas.
Es necesario calcular lo siguiente:
1. Valor de la anualidad R
2. Preparar un cuadro de amortización.
D = 8.400.000 n = 20 meses i = 0,18 anual / 12 = 0,015 mensual
D 8 . 400 . 000
R R
n 20
(1 i) 1 (1 0 , 015 ) 1
n 20
i (1 i) 0 , 015 (1 0 , 015 )
8 . 400 . 000 8 . 400 . 000
R R
20
(1, 015 ) 1 1,346855 1
20
0 , 015 (1, 015 ) 0 , 015 (1,346855 )
8 . 400 . 000
R 8 . 400 . 000
0 , 346855 R
17 ,16863854
0 , 020202825
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R Bs . 489 . 264 ,18
Anualidad de Amortización Real (t)
Sistema Francés
En el cuadro de amortización para obtener la anualidad de amortización
real de un determinado período, es necesario conocer la deuda pendiente
de amortización al comenzar ese período. Generalmente, se conoce la
anualidad R (término o anualidad de la renta), pero no la deuda pendiente
a un determinado período.
La siguiente formula nos permitirá calcular el valor de la anualidad de
amortización REAL tx, en función de la anualidad constante R (término de
la renta) (Sistema Francés).
tx = R V n–x+1
Aplicando esta formula al ejemplo que hemos desarrollado, es decir:
Determinar la anualidad de amortización real para el período nueve(9) en
un préstamo de Bs. 8.400.000,00 a una tasa de interés anual del 18%, el
cual se cancelará en 20 meses en base a cuotas vencidas de Bs.
489.264,18
tx = R V n–x+1
1 1
t9 489 . 264 ,18 20 9 1
t9 489 . 264 ,18 12
1 0 , 015 1, 015
1
t9 489 . 264 ,18
1,195618171
t9 489 .264 ,18 0 ,836387422 t9 Bs . 409 . 214 , 41
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Intereses de un período
Sistema Francés
En algunas ocasiones desearemos conocer a cuánto asciende los
intereses de un determinado período.
La siguiente fórmula nos permitirá calcular el valor de los intereses
correspondiente a un período x, en función de la anualidad R (Sistema
Francés).
Ix = R ( 1 – V n – x + 1)
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de
amortización para el período nueve tendremos lo siguiente:
Ix = R ( 1 – V n – x + 1)
1 1
I9 489 . 264 ,18 1 20 9 1
I9 489 . 264 ,18 1 12
1 0 , 015 1, 015
1
I9 489 . 264 ,18 1 I9 489 .264 ,18 1 0 ,836387422
1,195618171
I9 489 .264 ,18 0 ,163612578 I9 80 . 049 , 77
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Deuda Amortizada
Sistema Francés
En la amortización de un préstamo también es importante conocer
la deuda amortizada al finalizar un determinado período.
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al final
del período después de haber cancelado la anualidad R (Sistema Fránces).
x
n x (1 i) 1
ZX Rv x
i (1 i)
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de
amortización para el período nueve tendremos lo siguiente:
9
1 (1 0 , 015 ) 1
ZX 489 . 264 ,18 20 9 9
(1 0 , 015 ) 0 , 015 (1 0 , 015 )
9
1 (1, 015 ) 1
ZX 489 . 264 ,18 11 9
(1, 015 ) 0 , 015 (1, 015 )
1 1,143389975 1
ZX 489 . 264 ,18
1,177948937 0 , 015 (1,143389975 )
1 0 ,143389975
ZX 489 . 264 ,18
1,177948937 0 , 01715085
1 0 ,143389975
ZX 489 . 264 ,18
1,177948937 0 , 01715085
ZX 489 . 264 ,18 ( 0 ,84893324 )( 8 ,360517117 )
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ZX 3 . 472 . 562 , 73
Deuda Pendiente de Amortización
Sistema Francés
Para conocer la deuda pendiente de amortización o deuda insoluta
después de cancelar la anualidad de un determinado período, debemos
aplicar la siguiente fórmula:
n x
(1 i) 1
PX R n x
i (1 i)
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de
amortización para el período nueve tendremos lo siguiente:
20 9
(1 0 , 015 ) 1
PX 489 . 264 ,18 20 9
0 , 015 (1 0 , 015 )
11
(1, 015 ) 1
PX 489 . 264 ,18 11
0 , 015 (1, 015 )
1,177948937 1
PX 489 . 264 ,18
0 , 015 (1,177948937 )
0 ,177948937
PX 489 . 264 ,18
0 , 017669234
0 ,177948937
PX 489 . 264 ,18
0 , 017669234
PX 489 . 264 ,18 (10 , 0711178 )
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8. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
PX 4 . 927 . 437 ,19 )
Sistema Americano – Fondo de Amortización –
Sinking Fund
En este Sistema de Amortización el deudor, durante el plazo del
préstamo, abonará al acreedor el interés simple sobre el total del capital
tomado en préstamo, en los períodos de tiempo convenido y, al mismo
tiempo, deberá depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales
junto con sus intereses, formarán el monto que reembolsará, en su
vencimiento, la totalidad del capital tomado en préstamo.
Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo
del préstamo, cubrirán únicamente los intereses del préstamo, el cual será
reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades
ingresadas al fondo de amortización.
Este sistema tiene muy poca aplicación práctica, pues el deudor,
pocas veces cumple con el compromiso de depositar en el fondo de
amortización las cantidades periódicas que formarán el monto para
reembolsar el préstamo.
En este sistema nos encontramos con dos tipos de tasas,
generalmente diferente, las cuales distinguiremos por:
i = tasa de interés que produce el fondo de amortización.
r = tasa de interés del préstamo.
Anualidad para formar el Fondo y cancelar intereses.
El principal problema con que nos encontramos en este sistema será
del determinar la correspondiente anualidad que, desglosada en dos
partes, cancele los intereses correspondientes del préstamo y forme el
fondo, el cual, en la época de vencimiento, reembolse monto del préstamo.
La siguiente fórmula nos proporcionará la anualidad R, la cual
cancelará el interés simple del préstamo, correspondiente a un período t,
que formará el fondo de amortización (sistema americano).
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1
R D r
n
(1 i) 1
i
Ejemplo:
Se obtiene un préstamo de Bs. 6.500.000,00 para ser reembolsado
en 6 años a una tasa efectiva anual del 15% con cancelación de intereses
por anualidades vencidas. Se exigen depósitos por anualidades vencidas
que formarán Bs. 6.500.000,00 al finalizar el plazo del préstamo. El fondo
produce una tasa efectiva anual del 12%.
D = 6.400.000,00 r = 0,15 i = 0,12 n=6
1
R D r
n
(1 i) 1
i
1 1
R 6 . 500 . 000 0 ,15 R 6 . 500 . 000 0 ,15
6 6
(1 0 ,12 ) 1 (1,12 ) 1
0 ,12 0 ,12
1 1
R 6 . 500 . 000 0 ,15 R 6 . 500 . 000 0 ,15
1, 973822685 1 0 , 973822685
0 ,12 0 ,12
1
R 6 . 500 . 000 0 ,15 R 6 .500 .000 0 ,12322571 0 ,15
8 ,11518904
R 6 .500 .000 0 , 27322571 R 6 .500 .000 0 , 27322571
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10. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
R 1 . 775 . 967 ,11
Comprobación:
Sabemos que: t=R–Dr por lo tanto
t = 1.775.967,11 – 6.500.000(0,15)
t = 1.775.967,11 – 975.000
t = 800.967,11
Determinemos si con anualidades vencidas de Bs. 800.967,11 a una tasa
de 12% en 6 años, formaremos un monto de Bs. 6.500.000 el cual servirá
para reembolsar el préstamo.
Aplicando la fórmula:
n
(1 i) 1
M t
i
6 6
(1 0 ,12 ) 1 (1,12 ) 1
M 800 . 967 ,11 M 800 . 967 ,11
0 ,12 0 ,12
1,973822685 1 0 , 973822685
M 800 . 967 ,11 M 800 . 967 ,11
0 ,12 0 ,12
0 , 973822685
M 800 . 967 ,11 M 800 .967 ,11 8,115189042
0 ,12
M 6 . 499 . 999 ,51
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11. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Deuda en función de Anualidad R
Sistema Americano
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda que podemos
contraer en función de la anualidad R, tasa del préstamo, tasa del fondo y
tiempo (sistema americano).
R
D
1
n
r
(1 i) 1
i
Ejemplo:
Determinar que capital podemos tomar en préstamo durante 6
años, a una tasa anual efectiva de 15%, si disponemos de anualidades de
Bs. 1.775.967,11 para la cancelación de los intereses periódicos anuales y
formación de un fondo de amortización que produce una tasa anual
efectiva del 12%.
R = 1.775.967,11 r = 0,15 i = 0,12 n=6
1 . 775 . 967 ,11 1 . 775 . 967 ,11
D D
1 1
0 ,15 0 ,15
6 6
(1 0 ,12 ) 1 (1,12 ) 1
0 ,12 0 ,12
1 . 775 . 967 ,11 1 . 775 . 967 ,11
D D
1 1
0 ,15 0 ,15
1,973822685 1 0 ,973822685
0 ,12 0 ,12
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12. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
1 . 775 . 967 ,11 1 . 775 . 967 ,11
D D
1 0 ,123225718 0 ,15
0 ,15
8 ,115189042
1 . 775 . 967 ,11
D D 6 .4999 .999 ,79
0 , 273225718
Cuadro para Fondo de Amortización de Préstamo
Sistema Americano
Para poder seguir la situación del fondo de amortización se suele
preparar un cuadro que representa la formación de una renta de
imposición. Este es muy simple, pero requiere mucho cuidado para su
preparación.
Como ejemplo prepararemos el cuadro de amortización del ejercicio
que hemos desarrollado en los puntos anteriores.
Cuadro de un Fondo de Amortización , para el reembolso de un
préstamo por Bs. 6.500.000 concedido el 01/03/2000 con vencimiento el
01/03/2006. Intereses del préstamo: 15% anual. Intereses del Fondo: 12%
anual efectivo. Anualidades vencidas.
Intereses sobre Anualidad Intereses sobre Total
Desembolsos el Préstamo Destinada al El Fondo Abonado al Valores del
Fechas Anual "R" 15% anual Fondo 12% anual Fondo Fondo
01/03/2001 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 - 800.967,11 800.967,11
01/03/2002 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 96.116,05 897.083,16 1.698.050,27
01/03/2003 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 203.766,03 1.004.733,14 2.702.783,42
01/03/2004 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 324.334,01 1.125.301,12 3.828.084,54
01/03/2005 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 459.370,14 1.260.337,25 5.088.421,79
01/03/2006 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 610.610,61 1.411.577,72 6.499.999,52
Totales 10.655.802,66 5.850.000,00 4.805.802,66 1.694.196,86 6.499.999,52
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13. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Sistema Alemán o Amortización Constante
El deudor se compromete a cancelar cantidades variables
(anualidades o términos de la renta), al finalizar o comenzar cada período
de tiempo convenido (generalmente lapsos equidistantes). Cada cantidad
se desglosará en dos partes, la primera CONSTANTE e igual a la enésima
parte del capital tomado en préstamo, se aplicará a la amortización del
mismo; la segunda, VARIABLE, se aplicará a la cancelación de intereses
sobre el saldo del préstamo.
La cantidad destinada a la amortización real del préstamo es
constante. En cada período se amortizará una parte del préstamo, con lo
cual disminuirán los intereses y la cantidad destinada a la cancelación de
los mismos también disminuirá y en consecuencia las anualidades o
términos de la renta serán VARIABLES.
Este sistema también se le denomina: amortización real
CONSTANTE.
La siguiente fórmula nos permitirá calcular la anualidad de
amortización real:
D
t
m
El valor de la primera anualidad de amortización de capital y pago
de intereses: R1 será igual a:
R1 = t1 + I1
Ejemplo:
Se obtiene un préstamo por Bs. 9.600.000,00 a tasa efectiva del 12%
anual, el cual se amortizará en base a 8 anualidades de amortización real
vencida iguales y consecutivas.
D = 9.600.000 m=1 n=8 i = 0,12
Intereses del primer año serán:
I1 = D1 = 9.600.000(0,12) = Bs. 1.152.000,00
La anualidad de amortización real será:
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D 9 . 600 . 000
t t t Bs .1 .200 .000
m 8
R1 = t1 + I1 R1 = 1.200.000 + 1.152.000
Cuadro de Amortización
Sistema Alemán
Deuda al Intereses Deuda Deuda
del Amortizada
Comienzo Anualidad Amortización Periodo al Final del Amortizada al
Periodo Disponible Período 12% anual Período Final del
Periodo
9.600.000,00 2.352.000,00 1.200.000,00 1.152.000,00 1.200.000,00 8.400.000,00
1
8.400.000,00 2.208.000,00 1.200.000,00 1.008.000,00 2.400.000,00 7.200.000,00
2
7.200.000,00 2.064.000,00 1.200.000,00 864.000,00 3.600.000,00 6.000.000,00
3
6.000.000,00 1.920.000,00 1.200.000,00 720.000,00 4.800.000,00 4.800.000,00
4
4.800.000,00 1.776.000,00 1.200.000,00 576.000,00 6.000.000,00 3.600.000,00
5
3.600.000,00 1.632.000,00 1.200.000,00 432.000,00 7.200.000,00 2.400.000,00
6
2.400.000,00 1.488.000,00 1.200.000,00 288.000,00 8.400.000,00 1.200.000,00
7
1.200.000,00 1.344.000,00 1.200.000,00 144.000,00 9.600.000,00
8 0,00
14.784.000,00 9.600.000,00 5.184.000,00 9.600.000,00
Totales
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15. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Intereses de un Determinado Periodo
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de los intereses de
un determinado período en función de la deuda inicial y de la anualidad de
amortización real (sistema Alemán).
IX = [ D – (x – 1) t1]i
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis,
tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x=6 i = 0,12
I6 = [ 9.600.000 – (6 – 1) 1.200.000]0,12
I6 = [ 9.600.000 – (5) 1.200.000]0,12
I6 = [ 9.600.000 – 6.000.000]0,12
I6 = [ 3.600.000]0,12
I6 = Bs. 432.000
Valor de la Anualidad ‘R’ de un Determinado Periodo
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de la anualidad
variable RX para un determinado período en función de la deuda inicial y
de la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
RX = t1 + [ D – (x – 1) t1]i
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis,
tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x=6 i = 0,12
R6 = 1.200.000 +[ 9.600.000 – (6 – 1) 1.200.000]0,12
R6 = 1.200.000 + [ 9.600.000 – (5) 1.200.000]0,12
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16. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
R6 = 1.200.000 + [ 9.600.000 – 6.000.000]0,12
R6 = 1.200.00 + [ 3.600.000]0,12
R6 = 1.200.00 + 432.000
R6 = Bs. 1.632.000
Deuda Amortizada
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al finalizar un
determinado período en función de la anualidad de amortización real
(sistema Alemán).
Recordemos que, en el sistema alemán, la anualidad de amortización real
es CONSTANTE.
ZX = x t1
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis,
tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x=6
Z4 = 6(1.200.000)
Z4 = Bs. 7.200.000
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17. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Deuda Pendiente de Amortización
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda pendiente de
amortización al finalizar un determinado período, en función de la deuda
inicial y la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
PX = D - xt1
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis,
tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x=6
P4 = 9.600.000 - 6(1.200.000)
P4 = 9.600.000 - 7.200.000
P4 = Bs. 2.400.000
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