Jurnal Time Series

J. Indones. Math. Soc. (MIHMI)
Vol. xx, No. xx (20xx), pp. xx–xx.

UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE
MULTIPLIER DENGAN EKSPANSI TAYLOR
UNTUK DETEKSI HUBUNGAN NONLINEAR
PADA DATA TIME SERIES

SUBANAR and SUHARTONO

Abstract. This paper discusses some latest progress on nonlinear time series analy-
sis, particularly about linearity tests that developed based on concepts from theory of
neural networks. These statistics tests are for preliminary identification whether a non-
linear model must be used to analyze a time series. In general, there are two kinds of
the neural networks linearity tests which are included a Lagrange Multiplier (LM) test,
those are White test and Terasvirta test. Both of these tests are derived from the same
single-hidden-layer neural networks. White test is based on the random sampling of the
parameter values of neural networks model, whereas Terasvirta test is using Taylor ex-
pansion. This research is focused on the Terasvirta test. Here, the theoretical study
is considered and also the possibility to develop a new statistics test for linearity using
neural networks is discussed. Finally, simulation study is used to evaluate the power of
the test and to compare to the result of White test. The result of the simulation study
shows that Terasvirta test is more effective than White test to detect nonlinearity in time
series.

1. PENDAHULUAN

Pada beberapa dekade terakhir ini, pemodelan yang digunakan untuk menje-
laskan hubungan nonlinear antar variabel dan beberapa prosedur pengujian untuk
Received dd-mm-yyyy, Accepted dd-mm-yyyy.
2000 Mathematics Subject Classification:
Key words and Phrases: Neural networks, Lagrange Multiplier test, Terasvirta test, nonlinear time
series

1

2 Subanar and Suhartono

mendeteksi adanya keterkaitan nonlinear mengalami perkembangan yang sangat
pesat. Sebagai overview hal ini dapat dilihat pada [5]. Perkembangan yang pe-
sat ini juga terjadi dalam pemodelan statistik, khususnya model-model untuk time
series dan ekonometrika. Banyak tipe model yang sudah dikembangkan untuk pe-
modelan time series yang nonlinear, parametrik maupun nonparametrik.
Pemodelan time series yang dibahas di sini dikonsentrasikan pada suatu kon-
disi khusus, yaitu hanya satu variabel dependen yt . Misalkan wt adalah suatu
himpunan informasi yang dideﬁnisikan

wt = {yt−j , j > 0; xt−i , i ≥ 0}, t = 1, 2, . . . , n (1)
yang menyatakan semua variabel lag yt dan suatu vektor dari variabel eksogen
xt . Proses pemodelan bertujuan mendapatkan suatu pendekatan yang baik untuk
f (wt ) sedemikian hingga

E[yt |wt ] = f (wt ). (2)

Strategi pemodelan yang banyak dilakukan pada time series nonlinear adalah:

(i) Uji linearitas yt dengan menggunakan informasi wt .
Banyak kemungkinan bentuk dari nonlinearitas, dan rupanya tidak ada satu
tes yang mampu melakukan semua kemungkinan nonlinear tersebut, sehingga
beberapa tes mungkin diperlukan.

(ii) Jika linearitas ditolak, gunakan beberapa model parametrik alternatif
dan/atau model-model nonparametrik.
Hasil uji linearitas juga mungkin memberikan petunjuk tentang model nonlinear
yang sebaiknya digunakan.

(iii) Model-model tersebut selanjutnya diestimasi dalam sampel (in-sample)
dan dibandingkan pada data validasi (out-of-sample)
Sifat-sifat dari model taksiran harus diselidiki dan divalidasi. Jika suatu model
tunggal terbaik yang dibutuhkan, maka model yang memberikan hasil out-of-
sample terbaik yang dipilih, dan kemudian lakukan estimasi kembali pada semua
datum yang ada.

Strategi ini tidak memberikan jaminan kesuksesan. Sebagai contoh, jika nonlin-
earitas yang ada suatu bentuk nonlinear tertentu dari data dan bentuk ini tidak
terjadi pada periode evaluasi setelah sampel, maka model nonlinear tidak akan
memberikan hasil yang lebih baik daripada model linear.
Banyak model nonlinear yang digunakan untuk menyelesaikan suatu data
time series. Menurut Terasvitra dkk. [14], secara umum model-model nonlinear
terbagi dalam tiga kelompok, yaitu model-model dari teori time series, model-model
statistik parametrik yang ﬂeksibel dan model-model nonparametrik. Model linear
autoregresif, moving average, dan fungsi transfer adalah model-model yang popu-
ler dalam literatur time series sebagai hasil kerja dari Box dan Jenkins [3]. Dalam

Uji linearitas tipe Lagrange Multiplier 3

perkembangannya, telah ada berbagai variasi dari generalisasi model linear terse-
but dalam bentuk-bentuk nonlinear. Beberapa model yang termasuk di dalam-
nya adalah model autoregresi nonlinear, model fungsi transfer nonlinear, model
bilinear (lihat [11]), model moving average nonlinear, dan model-model stokastik
ganda (lihat [15]). Model trigonometri dan model neural networks adalah model-
model kelompok statistik parametrik yang ﬂeksibel. Sedangkan model-model non-
parametrik mencakup model-model yang dikembangkan dari fungsi penghalus atau
metode kernel.

2. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM)
DENGAN EKSPANSI TAYLOR

Perhatikan model nonlinear

yt = ϕ(γ ′ wt ) + β ′ wt + ut (3)

dengan ut ∼ nid(0, σ 2 ), wt = (1, wt )′ , wt = (yt−1 , . . . , yt−p )′ , β = (β0 , β1 , . . . , βp )′ ,
′
′ ′ ′
γ = (γ0 , γ ) dan γ = (γ1 , . . . , γp ) . Dalam model (3) ini, wt dibatasi hanya variabel
lag yt dan tidak melibatkan variabel eksogen xt . Misal diberikan

ϕ(γ ′ wt ) = θ0 ψ(γ ′ wt ), (4)

dengan (lihat [13])
1
ψ(γ ′ wt ) = {1 + exp(−γ ′ wt )}−1 − (5)
2
Dengan demikian persamaan (3) dapat diinterpretasikan sebagai suatu model au-
toregresi nonlinear dengan kostanta β0 + θ0 ψ(γ ′ wt ), yang variatif terhadap waktu
dan berubah secara halus dari (β0 − θ0 /2) ke (β0 + θ0 /2) dengan γ ′ wt .
Model (3) adalah kasus khusus dari model neural networks dengan satu layer
tersembunyi, yaitu (lihat [13])
q
1
yt = β ′ wt + ′
θ0j {ψ(γj wt ) − } + ut , (6)
j=1
2

dengan q adalah banyaknya unit neuron pada layer tersembunyai. Secara visual,
arsitektur dari model neural networks ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar
1.
Perhatikan persamaan (3) dengan (4) dan uji hipotesis bahwa yt adalah linear,
yaitu yt = β ′ wt +ut dengan asumsi bahwa proses stasioner. Jadi hipotesis nol dapat
dideﬁnisikan sebagai H0 : θ0 = 0. Untuk model (6) hipotesis nolnya

H0 : θ01 = θ02 = · · · = θ0q = 0,

yang disebut hipotesis linearitas dari uji neural networks melawan nonlinearitas
yang terabaikan (lihat [7]) dan [16]). Selanjutnya, jika diberikan bahwa ψ(0) = 0


maka hal ini berimplikasi pada kemungkinan lain untuk hipotesis nol untuk linear-
itas, yaitu
∗
H0 : γ = 0 (7)
melawan hipotesis alternatif γ = 0.

Gambar 1: Arsitektur model neural networks satu layer tersembunyi pada persamaan (6),
dengan γj adalah bobot-bobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi ak-
tifasi logistik sigmoid di layer tersembunyi, θ0j adalah bobot-bobot yang diproses bersama
output dari layer tersembunyi pada fungsi linear di layer output, dan β ′ adalah bobot-
bobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi linear di layer output.

Hipotesis (7) memberikan suatu titik awal yang menarik untuk mempela-
jari permasalahan uji linearitas dalam kerangka pengujian LM. Perhatikan kembali
bahwa model (3) hanya diidentiﬁkasi di bawah alternatif γ = 0. Seperti Saikkonen
dan Luukkonen [10] dan Luukkonen dkk. [8], tulisan ini mencoba menyelesaikan
masalah ini dengan mengganti ϕ dalam (3) dengan pendekatan ekspansi Taylor
pada γ = 0. Pendekatan ekspansi Taylor yang paling mudah adalah suatu pen-
dekatan order pertama. Dari (4) dan (5) dapat ditunjukkan bahwa
∂ψ(γ ′ wt ) 1
= ψ ′ (0)wt = wt (8)
∂γ γ=0 4

Dengan demikian pendekatan ekspansi Taylor orde pertama, yang dinotasikan


dengan t1 , yaitu θ0 t1 (γ ′ wt ) = θ0 ψ ′ (0)γ ′ wt = 1 θ0 γ ′ wt bergabung dengan bagian li-
4
near dari model (3), sehingga semua informasi tentang nonlinearitas tereliminir.
Hal ini merupakan cara lain untuk melihat bahwa (3) dengan (4) dan model linear
autoregresi order p adalah alternatif yang secara lokal sama dengan dasar (7).
Untuk mengatasi permasalahan tereliminasinya informasi tentang nonlinear-
itas di atas, dilakukan hal seperti dalam Luukkonen dkk. [8] dan gantikan ψ dalam
(3) melalui pendekatan ekspansi Taylor dengan orde yang lebih tinggi, orde ketiga,
yang dinotasikan dengan t3 untuk menurunkan suatu uji yang tepat. Diberikan
p p p
′ ∂ψ(0) 1 ∂ 2 ψ(0)
t3 (γj wt ) = ψ(0) + γi +
i=0
∂γi 2 i=0 j=0
∂γi ∂γj

p p p
1 ∂ 3 ψ(0)
+ γi γj γk (9)
6 i=0 j=0 k=0
∂γi ∂γj ∂γk

dan gantikan ψ dalam (3) oleh (8). Dengan substitusi tersebut akan diperoleh

∂2ψ {exp(−γ ′ wt ) − exp(−2γ ′ wt )}
=− yt−i yt−j untuk i, j ≥ 1,
∂γi ∂γj {1 + exp(−γ ′ wt )}3

dan
∂ 3ψ {exp(−γ ′ wt ) − 4 exp(−2γ ′ wt ) + exp(−3γ ′ wt )}
=− yt−i yt−j yt−k
∂γi ∂γj ∂γk {1 + exp(−γ ′ wt )}4

untuk i, j, k ≥ 1. (Lihat [12] untuk bukti penjabaran penurunannya)
Dari hasil-hasil penjabaran di atas, pendekatan ekspansi Taylor pada γ = 0
akan menghasilkan

∂ 2 ψ(0) {exp(0) − exp(0)}
=− yt−i yt−j = 0,
∂γi ∂γj {1 + exp(−0)}3

dan

∂ 3 ψ(0) {exp(0) − 4 exp(0) + exp(0)}
= − yt−i yt−j yt−k
∂γi ∂γj ∂γk {1 + exp(0)}4
1
= − yt−i yt−j yt−k , untuk i, j, k ≥ 1.
8
∂ 3 ψ(0) 1
Jika i, j ≥ 1 dan k = 0 diperoleh ∂γi ∂γj ∂γk = − 8 yt−i yt−j .
Dengan demikian, model (3) menjadi
p p p p p
yt = β ′ wt + δij yt−i yt−j + δijk yt−i yt−j yt−k + ut , (10)
i=1 j=i i=1 j=i k=j


dengan β adalah gabungan antara β dengan koefisien-koefisien bagian linear hasil
pendekatan Taylor orde pertama, δij = dij θ0 γi γj , dan δijk = dijk θ0 γi γj γk dengan
1
dij = dijk = − 48 . Jika γ0 = 0 adalah suatu informasi dari model, sehingga
γ ′ wt = γ ′ wt (bagian eksponensial tidak mengandung suatu kostanta), maka δij = 0
untuk semua i, j. Dalam kasus ini, persamaan (10) tidak mempunyai suku orde
kedua. Hipotesis nol yang bersesuaian dengan (7) adalah
∗
H0 : δij = 0, δijk = 0 untuk i = 1, . . . , p; j = 1, . . . , p; k = j, . . . , p.

Dengan demikian, uji linearitas tipe LM melawan (3) terdiri dari deret orde
ketiga dari ekspansi Volterra (lihat [9]) suatu fungsi nonlinear. Dalam hal ini, uji
hipotesis nolnya menyatakan bahwa koefisien-koefisien dari suku-suku kuadratik
dan kubik adalah sama dengan nol. Jika ada argumen yang menyatakan bahwa
fungsi tidak mengandung suatu kostanta, maka dalam hal ini tidak ada suku
kuadratik dalam ekspansi Taylor pada γ = 0.
Selanjutnya, perhatikan bahwa (6) merupakan bentuk dasar dari uji neural
networks. Jika q > 1, (6) tidak secara global dapat diidentifikasi di bawah hipotesis
nol
∗
H0 : γ1 = · · · = γq = 0 (11)
ataupun di bawah hipotesis alternatif bahwa hipotesis nol adalah tidak benar. Su-
atu konsekuensi dari ini adalah kenyataan bahwa penurunan suatu uji yang dapat
diterapkan untuk hipotesis nol pada (11) mengikuti argumen di atas menghasilkan
(10) dengan
q q
δij = dij θ0 γhi γhj γh0 dan δijk = dijk θ0 γhi γhj γhk .
h=1 h=1

Dengan demikian, uji linearitas berdasarkan dual (suku kuadratik dan kubik) dari
ekspansi Volterra tetap tidak berubah ketika proses pembangkitan data adalah
seperti (6) pengganti dari (3)
Uji ini tidak selalu tergantung pada asumsi bahwa fungsi ”squashing” dalam
model neural networks adalah logistik. Seperti yang telah dikerjakan Lukkonen
dkk. [8], uji yang sama akan dapat diperoleh dengan asumsi bahwa
(i) ψ(γ ′ wt ) dalam (4) adalah suatu fungsi terbatas, ganjil, naik secara monoton
dengan suatu turunan ketiga berhingga pada suatu persekitaran dari daerah
asal, dan
(ii) ψ(0) = 0, dan turunan parsial pertama dan ketiga dari ψ pada nol adalah tidak
sama dengan nol.
Hal ini berimplikasi bahwa uji tersebut mempunyai kuasa (power) dibanding bebe-
rapa model nonlinear, tidak hanya satu bentuk nonlinearitas yang dicirikan dengan
fungsi logistik. Fungsi logistik yang digunakan dalam menurunkan uji disini dise-
babkan karena fungsi tersebut yang dipakai pada (6).


3. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM)
DENGAN SAMPLING ACAK

Uji neural networks dalam White [16] dan Lee dkk. [7] adalah suatu uji lain
untuk linearitas melawan (6), yaitu
q
1
yt = β ′ wt + ′
θ0j {ψ(γj wt ) + } + ut .
j=1
2

Hipotesis nolnya adalah

H0 : θ01 = θ02 = · · · θ0q = 0 (12)

Permasalahan identiﬁkasi di atas diselesaikan dengan menetapkan nilai-nilai dari
′
γ1 , . . . , γq sehingga nilai-nilai dari ψ(γj wt ) dapat dihitung. Hal ini dilakukan melalui
penentuan vektor-vektor itu secara acak dari suatu distribusi yang mungkin. Se-
bagai contoh, Lee dkk. [7] menggunakan suatu ditribusi uniform. Karena variabel-
′
variabel ψ(γj wt ) dimungkinkan sangat berkorelasi, Lee dkk. [7] menerapkan suatu
transformasi komponen utama menjadi
¯
ψt = [ψ(γ1 wt ), . . . , ψ(γq wt )]′
′ ′

dan menggunakan dua komponen utama yang ortonormal ke dalam bagian linear
dari model pada regresi tambahan untuk uji linearitas.
Implementasi praktis dari uji linearitas, merupakan tipe LM yang dikenalkan
oleh Lee dkk. [7], dan yang dikenalkan oleh Terasvirta dkk. [13], dapat dilakukan
melalui dua statistik uji, yaitu uji χ2 atau uji F . Prosedur untuk mendapatkan uji
χ2 adalah sebagai berikut:
(i) Regresikan yt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan hitung residual ut = yt − yt .
ˆ ˆ
(ii) Regresikan ut pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemu-
ˆ
dian hitung koeﬁsien determinasi dari regresi R2 . Pada uji yang dikenalkan oleh
′
Lee dkk. [7], m prediktor tambahan ini adalah nilai-nilai dari ψ(γj wt ) pada per-
samaan (6). Selanjutnya pada uji Terasvirta dkk. [13] ini adalah suku kuadratik
dan kubik yang merupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor seperti yang
telah dijelaskan pada bagian 3 persamaan (10) sebelumnya.
(iii) Hitung χ2 = nR2 , dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan.
Dibawah hipotesis linearitas, χ2 mendekati distribusi χ2 (m), dengan m adalah
banyaknya prediktor tambahan. Kajian teoritik berkaitan dengan pendekatan
d
asimtotis nR2 −→ χ2 dapat dilihat pada [17].
Sedangkan prosedur uji F untuk uji linearitas tipe LM ini adalah sebagai
berikut:
(i) Regresikan yt pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan hitung nilai-nilai residual ut dan hitung
ˆ
jumlah kuadrat residual SSR0 = u2 . ˆ1


(ii) Regresikan ut pada 1, yt−1 , . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemudian
ˆ
ˆ ˆ ˆ
hitung residual vt = ut − ut dan jumlah kuadrat residual SSR1 =
ˆ ˆ2
v1 . (m
dan prediktor-prediktor yang terlibat bervariasi untuk suatu uji dengan uji yang
lain, seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya).

(iii) Hitung
(SSR0 − SSR1 )/m
F = , (13)
SSR1 /(n − p − 1 − m)
dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan.

Dibawah hipotesis linearitas, F mendekati distribusi F dengan derajat bebas m
dan (n − p − 1 − m). Penggunaan dari uji F menggantikan uji χ2 ini didasarkan
oleh rekomendasi dari teori asimtotis dalam sampel kecil, yaitu karena uji ini mem-
punyai sifat-sifat kuasa dan ukuran yang baik (lihat[6]).

4. DESAIN STUDI SIMULASI

Studi simulasi yang dilakukan difokuskan pada perbandingan kuasa (power)
antara kedua uji linearitas tipe LM yang dibahas sebelumnya, yaitu uji Terasvirta
dan uji White. Isu yang akan dikaji dalam studi simulasi ini adalah bagaimana
perbandingan kuasa kedua uji itu pada model-model linear dan nonlinear.
Eksperimen Monte Carlo secara umum berupa dua kelompok pembangkitan
data univariat, yaitu linear dan nonlinear. Model-model linear yang dipilih dalam
eksperimen ini adalah model Autoregresi orde 2 atau AR(2) dan model Gerak Acak.
Model AR(2) mewakili kelompok model linear ARIMA dan dalam hal ini dipilih
koeﬁsien 1,2 dan -0,6 yang memenuhi syarat stasioneritas. Sedangkan model Gerak
Acak mewakili kelompok model linear yang tidak memenuhi syarat stasioner.
Ada dua model nonlinear yang digunakan dalam studi simulasi ini yaitu model
Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Tran-
sition Autoregressive (ESTAR). Model LSTAR yang digunakan secara umum mem-
punyai bentuk yang sama dengan yang telah digunakan oleh Terasvirta dkk. [13].
Sedangkan model ESTAR yang dipilih adalah model yang mempunyai bentuk yang
sama dengan yang digunakan oleh Connor dkk. [4]. Perbedaan kedua model ini
adalah terletak pada besarnya nilai-nilai parameter yang digunakan.
Secara lengkap model linear dan nonlinear yang digunakan dalam studi si-
mulasi ini adalah:

a Kelompok model linear

(i) Model AR(2) : yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + ut , dengan ut ∼ nid(0, 0.52 ).
(ii) Gerak Acak: yt = yt−1 + ut , dengan ut ∼ nid(0, 0.52 ).

b Kelompok model nonlinear


(i) Model LSTAR:
yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + (θ0 − 0.9yt−1 + 0.795yt−2)F (yt−1 ) + ut
dengan F (yt−1 ) = [1 + exp{−γ(yt−1 − 0.02)}]−1 , θ0 = 0.02, γ = 100,
dan ut ∼ nid(0, 0.052).

(ii) Model ESTAR:
yt = 6.5yt−1 . exp(−0.25yt−1) + ut dengan ut ∼ nid(0, 0.52 )
2

Untuk masing-masing model, besar ukuran sampel yang digunakan adalah 200.
Studi simulasi ini dilakukan dengan menggunakan program R.

5. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL LINEAR

Ilustrasi graﬁk yang berupa plot time series dan plot data dengan lag-lagnya
dari hasil simulasi untuk kelompok model linear dapat dilihat pada Gambar 2 un-
tuk model AR(2) dan Gambar 3 untuk model Gerak Acak.

Gambar 2: Plot time series data (2a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 2b dengan
lag 1, 2c dengan lag 2, 2d dengan lag 3, dan 2e dengan lag 4, dari data simulasi AR(2).

Dari Gambar 2a dapat dilihat bahwa data relatif stasioner dan hal ini sesuai
dengan yang dipostulatkan. Berdasarkan plot lag-lagnya, yaitu Gambar 2b sampai


dengan 2e, dapat dijelaskan bahwa lag-lag yang relatif kuat berhubungan linear
dengan kejadian pada waktu ke-t, yt , adalah lag 1 dan 2, atau yt−1 dan yt−2 .

lag 1, 3c dengan lag 2, 3d dengan lag 3, dan 3e dengan lag 4, dari data Gerak Acak.

Hasil pada gambar 3a menunjukkan bahwa pola data tidak stasioner dan dari
Gambar 3b sampai dengan 3e terlihat jelas bahwa ada hubungan linear yang san-
gat kuat antara lag 1, 2, 3 dan 4, atau yt−1 , yt−2 , yt−3 dan yt−4 , dengan kejadian
pada waktu ke-t atau yt . Adanya hubungan yang sangat kuat terutama antara yt−1
dengan yt menunjukkan bahwa hasil simulasi telah sesuai dengan postulat model
yang sebenarnya, dimana hanya lag 1 yang ada dalam model.

6. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL NONLINEAR

Gambar 4 dan 5 adalah hasil ilustrasi graﬁk yang berupa plot time series
data dan plot data dengan lag-lagnya dari simulasi untuk kelompok model non-
linear. Dari Gambar 4a dapat dilihat bahwa pola data ﬂuktuatif di sekitar angka
nol. Secara visual pola data terlihat stasioner dan sulit membedakan dengan model
linear pada Gambar 2a sebelumnya. Begitu juga dengan visualisasi data dengan
lag-lagnya mengindikasikan bahwa bentuk hubungan linear dengan lag-lag data
masih relatif ada. Hal ini terutama dapat dilihat pada plot dengan lag 1 di gam-
bar 4b. Kondisi ini sesuai dengan yang dipostulatkan dalam model bahwa model
LSTAR juga mengandung unsur model linear didalamnya. Gambar 4d dan 4e juga


menunjukkan bahwa lag 3 dan lag 4 relatif tidak berhubungan dengan yt . Indikasi
ini digambarkan dengan bentuk titik-titik pada plot lag-lag tersebut yang relatif
menyerupai suatu lingkaran.

lag 1, 4c dengan lag 2, 4d dengan lag 3, dan 4e dengan lag 4, dari data simulasi LSTAR.

Berbeda dengan model LSTAR sebelumnya, Gambar 5a mengindikasikan
bahwa data cenderung tidak stasioner dan berﬂuktuasi dengan pola yang teratur
disekitar angka nol. Hasil pada Gambar 5b sampai dengan 5e menunjukkan de-
ngan jelas bahwa bentuk hubungan dengan lag-lag data adalah nonlinear. Hal ini
terutama dapat dilihat pada plot data dengan lag 1 di Gambar 5b. Kondisi ini
sesuai dengan postulat model sebenarnya yaitu lebih didominasi unsur nonlinear-
nya.

7. HASIL PERBANDINGAN POWER PADA STUDI SIMULASI

Studi simulasi ini dilakukan pada masing-masing model di atas dengan peng-
ulangan sebanyak 1000 kali dan ukuran sampel sebesar 200. Banyak pengulangan
ini sama seperti yang telah dilakukan oleh Terasvirta dkk. [13], sedangkan besarnya
ukuran sampel tersebut mewakili besar data yang besar untuk suatu data time se-
ries. Secara ringkas hasil-hasil perhitungan dari power pada uji Terasvirta dan uji
White pada keempat model simulasi di atas dapat dilihat pada Tabel 1 dan secara
graﬁk ditampilkan pada Gambar 6.


lag 1, 5c dengan lag 2, 5d dengan lag 3, dan 5e dengan lag 4, dari data simulasi ESTAR.

Nilai power ini adalah banyaknya terjadi kesimpulan tolak H0 dalam 1000 kali
pengujian pada masing-masing model. Dari Tabel 1 dan Gambar 6a dan 6b dapat
dilihat dengan jelas bahwa power pada kedua uji ini untuk model yang sesungguh-
nya linear dan stasioner adalah sangat kecil. Dari hasil pada model AR(2) dapat
dilihat dengan jelas bahwa nilai power pada kedua uji tersebut mendekati nilai level
signifikasi, yaitu antara 0,01 dan 0,05.

Level signifikansi 0,05 Level signifikansi 0,01
Model Uji White Uji Terasvirta Uji White Uji Terasvirta
F χ2 F χ2 F χ2 F χ2
AR(2) 0,065 0,052 0,059 0,048 0,018 0,008 0,011 0,008
Gerak Acak 0,119 0,122 0,142 0,136 0,038 0,035 0,043 0,042
LSTAR 0,568 0,558 0,973 0,972 0,402 0,393 0,917 0,907
ESTAR 1,000 0,999 1,000 1,000 1,000 0,999 1,000 1,000

Tabel 1. Hasil perbandingan power uji Terasvirta dan uji White pada keempat model
simulasi (1000 kali pengulangan)

Power ini akan semakin besar pada saat model yang ada adalah model yang tidak
stasioner, yang dalam penelitian ini diwakili oleh model Gerak Acak pada Gambar 6b.
Perbandingan uji nonlinearitas dan uji ketidakstasioneran data (unit root test) pada suatu
data time series secara mendalam dapat dilihat pada [2].


Gambar 6: Plot hasil perbandingan nilai-nilai power pada keempat model simulasi dengan
level signiﬁkasi 0,05.

Berdasarkan hasil-hasil pada tabel 1, Gambar 6c dan 6d dapat dilihat bahwa hasil
perbandingan power kedua uji pada model-model yang nonlinear menunjukkan bahwa uji
Terasvirta cenderung mempunyai power yang lebih tinggi dibanding uji White. Hal ini
terlihat jelas pada nilai power pada model nonlinear LSTAR di gambar 6c, baik pada level
signiﬁkasi 0,05 ataupun 0,01. Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa untuk
data time series yang indikasi nonlinearnya sangat kuat, dalam hal ini seperti pada model
ESTAR, maka kedua uji ini memberikan hasil yang sama baiknya dan hal ini dapat dilihat
secara nyata pada Gambar 6d di atas.

8. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil-hasil dari studi simulasi dan perbandingan power antara uji Teras-
virta dan uji White untuk mendeteksi adanya nonlinearitas pada suatu data time series
dapat disimpulkan bahwa uji Terasvirta merupakan uji yang lebih baik dalam mendeteksi


adanya nonlinearitas pada suatu data time series dibanding uji White. Hal ini ditunjukkan
dengan nilai power dari uji Terasvirta yang cenderung lebih besar dalam data time series
dari kelompok model nonlinear.
Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa penggunaan fungsi aktifasi logis-
tik sigmoid pada uji White dan pemilihan bobot dengan sampling acak, yang menghasilkan
nilai power yang tidak begitu besar pada model-model time series nonlinear, memberikan
peluang kajian teoritik lebih lanjut terhadap penggunaan fungsi aktifasi yang lain dan cara
pemilihan bobot yang tidak hanya secara sampling acak dari suatu distribusi uniform. Se-
bagai contoh, pengunaan fungsi aktifasi Gaussian yang dikenal dengan model Radial Basis
Function untuk uji linearitas pada suatu data time series telah dikembangkan oleh Blake
dan Kapetanios [1].

Ucapan Terimakasih. Makalah ini merupakan salah satu bagian dari hasil Hibah Peneli-
tian Tim Pascasarjana UGM 2004-2005. Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada
tim penilai MIHMI atas revisi dan saran yang telah diberikan demi kesempurnaan makalah
ini.

REFERENSI

1. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”A Radial Basis Function Artiﬁcial Neural Networks
Test for Neglected Nonlinearity”, Working paper, National Institute of Economic and
Social Research, 2000.
2. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”Pure Signiﬁcance Tests of The Unit Root Hypothesis
Against Nonlinear Alternatives”, Journal of Time Series Analysis, 24 (3)(2003), 253-
267.
3. Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden-
day, San Fransisco, 1970.
4. Connor, J.T., Martin, R.D. and Atlas, L.E. ”Recurrent Neural Networks and Robust
Time Series Prediction”, IEEE Transaction on Neural Networks, 5 (2)(1994), 240-254.
5. Granger, C.W.J. and Terasvirta, T. Modeling Nonlinear Economic Relationships, Ox-
ford Universiy Press, Oxford, 1993.
6. Harvey, A.C. Econometrics Analysis of time Series, 2ed edition. MA:MIT Press, Cam-
bridge, 1990.
7. Lee, T.-H., White, H. and Granger, C.W.J. ”Testing for Neglected Nonlinearity in Time
Series Models: A Comparison of Neural Networks Methods and Alternative Test”,
Journal of Econometrics, 56 (1993), 269-290.
8. Luukkonen, R., Saikkonen, P. and Terasvirta, T. ”Testing Linearity Agains Smooth
Transition Autoregressive Models”, Biometrika, 75 (1988), 491-499.
9. Priestley, M.B. ”State-dependent Models: A General Approach to Non-linear Time
Series Analysis”, Journal of Time Series Analysis, 1 (1980), 47-71.
10. Saikkonen, P. and Luukkonen, R. ”Lagrange Multiplier Test for Testing Non-linearities
in Time Series Models”, Scandinavian Journal of Statistics, 15 (1988), 55-68.
11. Stensholt, B.K. and Tjostheim, D. ”Multiple Bilinear Time Series Models”, Journal of
Time Series Analysis, 8 (1987), 221-233.
12. Suhartono dan Subanar. ”Uji Linearitas dengan Neural Networks pada Pemodelan
Time Series”, Laporan Hibah Penelitian Tim Pascasarjana, UGM, Yogyakarta, 2004.


13. Terasvirta, T., Lin, C.-F. and Granger, C.W.J. ”Power of the Neural Networks Linearity
Test”, Journal of Time Series Analysis, 14 (1993), 159-171.
14. Terasvirta, T., Tjostheim, D. and Granger, C.W.J. ”Aspect Modelling Nonlinear Time
Series, in RF. Engle and D.L. McFadden”, eds. Handbook of Econometrics, 4 Chapter
48 (1994), 2919-2957. Elsevier Science B.V.
15. Tjostheim, D. ”Some Doubly Stochastic Time Series Models”, Journal of Time Series
Analysis, 7 (1986), 51-72.
16. White, H. ”An Additional Hidden Unit Test for Neglected Nonlinearity in Multilayer
Feedforward Networks ”, In Proceedings of The International Joint Conference on Neu-
ral Networks 451-455 (1989a), Washington DC, CA: SOS Printing, San Diego.
17. White, H. ”Some Asymptotic Results for Learning in Single Hiden-Layer Feedforward
Networks Models”, Journal of the Americal Statistical Association , 84 (408) (1989b),
1003-1013.

SUBANAR: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281,
Indonesia.
E-mail: subanar@yahoo.com

SUHARTONO: Mahasiswa S3, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada,
Yogyakarta 55281, Indonesia.
E-mail: suhartono@statistika.its.ac.id

Jurnal Time Series

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (6)

Semelhante a Jurnal Time Series

Semelhante a Jurnal Time Series (20)

Mais de dessybudiyanti

Mais de dessybudiyanti (20)

Último

Último (20)

Jurnal Time Series