Pequeña introducción al método de arandelas para el cálculo de volumen en un sólido de revolución, se presenta la teoría, la fórmula para el cálculo y la aplicación de esta en algunos ejericios.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR-
FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS
QUIMICA FARMACEUTICA
CALCULO II
Integrantes: Grupo: N°1
• Aguinaga María Belén
• Bohórquez Samantha
• Cadena Diego
• Lema Diego
• Morales Margarita
• Zurita Alejandro
Tema: Método de arandelas

2. CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS EN
REVOLUCIÓN
MÉTODO DE ARANDELAS
*Este método consiste en
hallar el volumen de un sólido
generado al girar una región R
que se encuentra entre dos
curvas.

3. *Sí la región que giramos para formar un sólido
que no toca o no cruza el eje de rotación, el
sólido generado tendrá un hueco o anillo. Las
secciones transversales que también son
perpendiculares al eje de rotación son arandelas
en lugar de discos.
*Donde se tiene un radio interno r y un radio
externo R de la arandela

4. La integral que contiene el radio interno representa el
volumen del hueco y se resta de la integral que
contiene el radio externo.
siendo la siguiente, la expresión matemática para
calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se
deduce lo siguiente:
𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2H
𝑉 = 𝜋h(R2 – r2)
𝑑𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[R2 – r2] 𝑑𝑥
EN DONDE:𝑅 = F(X)

5. Tomado de : Ing. Patricio Escobar González, M.Sc. Página 64

6. EJERCICIOS DE
APLICACIÓN:

7. Ej. 132: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer
girar sobre el eje “x”, la región acotada por: y = x2 + 1 y la recta y = x + 3
x2 + 1 = x+3
X2 - x – 2 = 0
(x - 2) (x + 1) = 0
X1 = 2 x2 = -1

8. Ej. 133: Calcular el volumen del sólido de
revolución que se obtiene al hacer girar
sobre la recta 𝑥 = −4 , la región acotada por
𝑥 = 𝑦 − 𝑦2
y 𝑥 = 𝑦2
− 3

9. La cónica 1 es 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2
La cónica 2 es 𝑥 = 𝑦2 − 3
r es radio menor
R es el radio mayor

10. 1. Igualar ambas ecuaciones para conocer el intervalo en el
que se encuentra el sólido y poder calcular el volumen.
𝑦 − 𝑦2 = 𝑦2 − 3
−2𝑦2 + 𝑦 + 3 = 0
𝑦 =
−1± 12−4(−2)(3)
2(−2)
𝑦 = −1 𝑦 =
3
2
INTERVALO [-1,
3
2
]

11. 2. Sabiendo que el volumen de la arandela es :
𝑉 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)ℎ
El radio mayor R está limitado por la cónica 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦2
El radio menor r está limitado por la cónica 𝑥2 = 𝑦2
− 3
3. Sabiendo que 𝑥 = −4 y corresponde con el eje de
revolución sustituimos en las en las ecuaciones que
acotan el sólido de revolución:
𝑦 − 𝑦2 + 4 = 𝑅
𝑦2 + 1 = 𝑟
4. Con las ecuaciones resultantes podemos proceder a
calcular el volumen mediante el método de la arandela

12. 𝑉 = 𝜋
−1
3
2
(𝑦 − 𝑦2
+ 4)2
− 𝑦2
+ 1 2
𝑑𝑦
𝑉 = 𝜋
−1
3
2
(𝑦4
− 2𝑦3
− 7𝑦2
+ 8𝑦 + 16 − 𝑦4
− 2𝑦2
− 1 ) 𝑑𝑦
𝑉 = 𝜋
−1
3
2
(−2𝑦3 − 9𝑦2 + 8𝑦 + 15) 𝑑𝑦
𝑉 = 𝜋 (−
𝑦4
2
− 3𝑦3 + 4𝑦2 + 15𝑦)
𝑉 = 𝜋 −
81
32
−
81
8
+ 9 +
45
2
− −
1
2
+ 3 + 4 − 15 =
875
32
𝜋 𝑢3

14. EJ. 135: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar
sobre el eje y, la región limita por 𝑦 = 𝑥2
+ 1, 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1
𝑣 = 2π
𝑎
𝑏
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 2π
0
1
𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥
𝑣 = 2π
𝑥4
4
+
𝑥2
2
1
0
𝑣 = 2π
1
4
+
1
2
𝑣 = 2π
3
4
=
𝟑𝝅
𝟐
𝒖 𝟑

15. Ej. 136 Calcular el volumen del solido de revolución que
se obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región
limitada por:
y
x=y^2+ 1
x=3- y^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

18. Ej. 137.- Calcular el volumen del sólido de revolución que se
obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región limitada por:f(x)=x^(1/2)
Relleno 1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

19. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

21. GRACIAS POR
SU ATENCION