pembahasan teorema faktor

1. TEOREMA FAKTOR
Kelompok 5:
Azhira Permata
Deandra Prisila
Jessica Fransisca
M. Ahnaf Naufal

2. Teorema Faktor
Jika f(x) adalah suku banyak; (x-k)
merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya
jika P(k) = 0
Artinya:
1.Jika (x-k) merupakan faktor, maka nilai
P(k) = 0
Sebaliknya,
2.Jika P(k) = 0 maka (x-k) merupakan
faktor

3. Contoh 1:
Tunjukkan (x + 1) faktor dari
Jawab :
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1)
 (  1) 3  4(  1) 2
 2(  1) 
1      
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Cara lain untuk menunjukkan (x+1) adalah faktor dari
adalah dengan pembagian Horner:
1 4 2 -1
-1
* -1 -3 1 +
1 3 -1 0 P(-1) = 0
Berarti (x + 1) adalah faktornya.
1242 3 x x x
1 4 2 1 0
4 2 1 3 2 x  x  x 

4. Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari
Jawab:
Misalkan faktornya (x-k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat
dari 6, yaitu
±1, ±2, ±3, ±6. nilai – nilai k itu di substitusikan ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
Oleh karena P(1) = 0, maka ( x – 1)
 2  1  7 
6

adalah salah satu faktor dari
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1)
digunakan cara Horner:
2 -1 -7 6
1 * 2 1 -6
+
2 1 -6 0
Hasil baginya:
( ) 2 7 6 3 2 P x  x  x  x 
(1) 2(1) (1) 7(1) 6 3 2 P    
0
( ) 2 7 6 3 2 P x  x  x  x 
( ) 2 6 2 H x  x  x 

5. Karena hasil baginya adalah
Maka
Dengan demikian
( ) 2 6 2 H x  x  x 
( ) 2 6 (2 3)( 2) 2 H x  x  x   x  x 
3 2 2
x x x x x x
2   7  6  (  1)(2  
6)
3 2
x x x x x x
2   7  6  (  1)(2  3)( 
2)
Jadi, faktor-faktornya adalah
(x 1),(2x 3)dan(x  2)

6. Pembagian Istimewa
n n x 4 
n
n n n n n k k x x a xa a x a
           
1 2 2 1 1 ...
a x  

k
1
Dengan suku ke-k dari hasil bagi  1  n k k x a
1.
2.
n n x a2 2 
xa
n
2
n n n n k n k k x x a xa a x a
             
2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ... ( 1)


k
1
Dengan suku ke-k dari hasil bagi 1 2 1 ( 1)      k n k k x a
3. 2 1 2 1  n n x a
2 
1
n n n n k n k k x x a xa a x a
            
2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ... ( 1)
xa 

1
n
k
Dengan suku ke-k dari hasil bagi 1 2 1 1 ( 1)       k n k k x a

7. Contoh 1:
( ) 3 3 x  a
) ( ax 
2 2  x  xa  a
Contoh 2:
Hitunglah nilai dari
Jawab:
Jadi,




2 2
(807  289)  (807 
289)
2 2
807 
289
2 2
a b a b
(  )  ( 
)
2 2
a b
( 
)
Dengan a=807 dan b=289
2
2 2
2 2 2 2
2 2
a b
a b ab a b ab
a b a b
( ) ( ) 2 2 2( 
)
2 2
( )
    
2 2
  
2 2






a b
a b
a b
2
2 2
(807  289)  (807 
289)
2 2
807 289



8. Persamaan Suku Banyak
Bentuk umum dari persamaan suku banyak dengan variabel
x adalah:
f x a x n
a x n
a x n
a x a x a  n
  
1
 
2
  2
   1 
( ) ... 0 n
n
2
2
1 0
p
Akar-akar rasional dari persamaan tersebut adalah ,
q
dengan a p adalah faktor bulat dari dan q adalah faktor
0 a
, bulat dari
n
dan
0   


q
Teorema Dasar Aljabar: persamaan suku banyak f(x)=0 yang
berderajat n mempunyai n akar bilangan kompleks.
Dari teorema aljabar tersebut dapat disimpulkan bahwa
persamaan f(x)=0 yang berderajat n mempunyai maksimal n
buah akar rasional. Akar- akar rasional tersebut mungkin
sama atau berbeda.
 

p
f

9. Contoh:
Himpunan penyelesaian dari persamaan
dapat ditentukan sbb:
( ) 2 15 22 15 0 3 2 f x  x  x  x  
Faktor – faktor bulat dari -15 = ±1, ±3, ±5, ±15
Faktor – faktor dari 2 = ±1, ±2
Akar-akar yang mungkin = ±1, ±3, ±5, ±15,
Untuk x = -3 maka diperoleh
2 15 22 -15
-3 * -6 -27 -15 +
2 9 -5 0
Jadi faktor-faktor dari f(x)=0 adalah:
15
1
3
5
   
x x
(2  10)(2 
1)
(  3)(2 2  9  5)  0  (  3)   x  x  x
 
Akar akar dari persamaan tersebut adalah: x+3=0 atau x+5=0 atau 2x-
1=0
Jadi, x=-3 atau x=-5 atau x= 1/2 . HP = {-5,-3,1/2}
2
,
2
,
2
,
2
0 ( 3)( 5)(2 1) 0
2
x x x x

10. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Persamaan Suku Banyak
Jika akar-akar persamaan suku banyak:
adalah dan maka
3 2 0 ax bx  cx  d 
1 2 x , x
3 x
d
a
x  x  x  x x  x x  x x  x x x   1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 . . . . .
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan adalah….
Jawab:
a=1, b=-3,c=0,d=2
3 2 0 3 2 x  x  
d
a
x  x  x   1 2 3
3
3


1
 