2. •La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?
6. 2
3 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
9. Ecuación punto pendiente
• Por ejemplo la ecuación de la recta 𝐿 que pasa
Que pasa por el punto (3;2) con pendiente -2 es
Por (*) 2 =
𝑦−2
𝑥−3
𝑦 = −2𝑥 + 8
En general
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Ecuación cartesiana de la de la recta 𝐿
10. Recta secante a una curva
𝑥0 + ℎ𝑥0
𝑓(𝑥0 + ℎ)
𝑓(𝑥0)
𝛼
𝛼
𝑦
𝑥
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥
𝑥0 + ℎ − 𝑥0
La derivada se da cuando el punto P tiende
a llegar al punto Q
P
Q
11. ECUACION DE LA RECTA TANGENTE NORMAL A UNA CURVA
IMPORTANTE
Si 𝑚 𝑇 es la pendiente de𝐿 𝑇 y 𝑚 𝑁 es la
pendiente de 𝐿 𝑁 entonces
𝑚 𝑇. 𝑚 𝐿= -1
𝐿 𝑁 𝐿 𝑁
𝐿 𝑇
𝐿 𝑇
12. Por ejemplo ; la recta normal de
𝑦 = 2𝑥3 + 𝑥 − 2
En el punto de abscisa 1 donde la recta tangente tiene pendiente
𝑚 𝑇 =
4
3
es:
Resolución
• si 𝑚 𝑇 =
4
3
𝑚 𝑁 = −
3
4
• En 𝑥 = 1𝑦 = 1 se tiene
𝐿 𝑁: 𝑦 = 𝑚 𝑁 𝑥 + 𝑏𝑦 =
−3
4
𝑥 + 𝑏
Pero 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1
1 =
−3
4
(1) + 𝑏
𝐿 𝑁: 𝑦 =
−3
4
𝑥 +
7
4
13. P
0f x
Q
f
0f x f x
Recta Secante
Curva
ℎ
𝑥 𝑥 + ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ)
Concepto de derivada
17. P
f
Recta Tangente
y mx b
𝑥
𝑓(𝑥)
tangente
0
tan lim
h
f x h f x df x
m
h dx
Concepto de derivada
18.
19. Otras notaciones
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑦
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;𝑦′(𝑥); 𝐷𝑓 ; 𝑓(𝑥)
Se lee: derivada de 𝑓
Si 𝐹′ 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
Existe entonces diremos que la función es derivable o diferenciable
20. Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un número real.
Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) 0) son también derivables en x.
Además se tiene:
(cf)'(x) = cf '(x)
(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)
(f – g) '(x) = f '(x) – g'(x)
(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
)(
)(')·()()·('
)( 2
'
xg
xgxfxgxf
x
g
f
21. Función derivada
f '(3) =
h0
lim
f(3 +h) – f(3)
h
=
h0
lim
(3 + h)2
– 32
h
=
h0
lim
h (h + 6)
h
= 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f '(x) =
h0
lim
f(x + h) – f(x)
h
=
h0
lim
(x + h)2
– x2
h
=
h0
lim
h (h + 2x)
h
= 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
f '(2) =
h0
lim
f(2 +h) – f(2)
h
=
h0
lim
(2 + h)2
– 22
h
=
h0
lim
h (h + 4)
h
= 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x
22. f x ' 0f x
f x x 'f x
n
f x x 1n
f x n x
Funciones Polinomiales
Formulario
Funciones Irracionales
f x x
1
'
2
f x
x
3
f x x 3 2
1
'
3
f x
x
n
f x x 1
1
'
n n
f x
n x
Función Derivada
Función Derivada
23. f x Ln x
1
'f x
x
ax
f x e ' ax
f x ae
Funciones Exponencial y Logarítmica
bf x Log x
x
f x a
1
' bf x Log e
x
' ln x
f x a a
Formulario
Función Derivada
24. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 24
0 2 4
• APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA
PARA HALLAR LA DERIVADA EN UN
PUNTO
• Sea la función y = - x2 + 4x
•
Su función derivada es:
• f ’(x) = - 2.x + 4
• Comprobemos:
• f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0
• f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0
• f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0
• Efectivamente la función derivada es tal
que nos proporciona el valor de la
derivada (pendiente) de la función en
cualquier punto de la misma.
m>0
m=0
m<0
25. Derivada de la función inversa
• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,
denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.
• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla:
x1 x2 f(x1) f(x2)
Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer
cuadrante.
X
Y
f(x)
f –1
(x) • (x, f(x))
(f(x), x)
•
Sea f una función definida en un inter-
valo abierto D en el que admite fun-
ción inversa siendo f derivable. Enton-
ces se tiene que, para todo punto x
del dominio de f-1 en el que f-1 es deri-
vable y en el que f '(f –1
(x)) 0 la deri-
vada de f –1
viene dada por:
))(('
1
)()'( 1
1
xff
xf
26. Tabla de resumen derivadas de las funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) =– sen x
f(x) = tan x f '(x) =
1
Cos 2x
f(x) = arcsen x f '(x) =
1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) =
–1
1 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) =
1
1 + x 2
Función Derivada
f(x) = c (constante) f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x f '(x) = e x
f(x) = ax
(a > 0) f '(x) = ax
ln a
f(x) = ln x f '(x) =
1
x
f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
1
x ln a
27. Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota
por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).
La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2
t2 = (2x–1)2x 2x–1 = t
R R
f
R
g
x (2x–1)2
h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x)
Ejemplo:
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es
derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:
(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)
Ejemplo:
Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2
(gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2
28. Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x o o
Sean ( ) y ( ) ln( ).x
f x e g x x
1
1
2. Derivada función recíproca
1
( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
} ln
1
( ) x
g x
e
Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial
La derivada de es
1
x
ln( )x
29. Demostración de la derivada de la función seno
Vamos a calcular la derivada de sen( )x
0
0
Como
limcos cos( )
2
2
lim 1
2
h
h
h
x x
h
sen
h
0
sen( ) sen( )
(sen( )) =lim =
h
x h x
x
h
Usando la definición de derivada:
0
2 cos sen
2 2
lim
h
h h
x
h
2
2
·
2
coslim
2
2
·
2
cos
lim
00 h
h
sen
h
x
h
h
sen
h
x
hh
La derivada de sen (x) es
Cos (x)
30. Diferencial de una función
•
a
f(a)
•
a + h
f(a + h)
h = x
x = dx
y = f(a + h) – f(a)
at
f '(a) . dx
El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la
tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h
Tangente a la curva en (a, f(a)): su
pendiente es mt = f '(a) = tg at
Para valores de h = x = dx pequeños
y f '(a) . x
Por tanto: y dy = f '(a) . dx
Y para un x cualquiera:
dy = f '(x) . dx
31. Una aproximación geométrica al concepto de diferencial
• Supongamos un cuadrado de lado x, al que
incrementamos el lado en una cierta cantidad h.
Su superficie se incrementará en:
f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2
• Si h es muy pequeño, h2 es mucho más
pequeño.
• Entonces:
2xh = 2x dx es el diferencial de la función
f(x) = x2 y se ve que f 2x dx = f '(x) dx
El error que se comete al aproximar el
incremento por la diferencial es h2.
32. Regla de L'Hôpital (I)
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +, –}.
Una aproximación geométrica al teorema:
Indeterminación del tipo
0
0
f(C)
g(C)
=
CA
CB
CA'
CB'
=
f '(a)
g '(a)
Supongamos que
xu
lim f(x) =
xu
lim g(x) = 0 y que g(x) 0 en un entorno de u.
Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax
)('
)('
lim
xg
xf
ax
se verifica que:
)(
)(
lim
xg
xf
ax
)('
)('
lim
xg
xf
ax
33. Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)
1.–
x0
lim
ex
–x–1
x(ex
–1)
=
x0
lim
ex
–1
ex
–1 + xex =
x0
lim
ex
2ex
+ xex =
1
2
Indet
0
0
L'Hôpital Indet
0
0
L'Hôpital
2.–
x0
lim [sen
x
2
. ctg x] =
Indet 0.
x0
lim
sen
x
2
tg x
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x0
lim
1
2
cos
x
2
1+tg2
x
= 1
2
3.–
x0
lim
r
4x –
r
2x(erx
+ 1) =
r > 0
Indet –
x0
lim
rerx
– r
4xerx
+ 4x
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x0
lim
r2
erx
4erx
+ 4xrerx
+ 4
=
r2
8
