SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC

DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ 11
GV:Phan Nhật Nam
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG
LƯỢNG GIÁC

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
Loại 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH THEO NGHIỆM ĐA THỨC
Ví dụ mở đầu: Cho hàm số: 3 2 2 2
2 (4 5) 2( ) 1y x m x m m x m       có đồ thị (C).
Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Kinh nghiệm:
3 2 2 2 2 2 3 2
( , ) 2 (4 5) 2( ) 1 (2 1) ( 4 2 ) 2 5 1y f x m x m x m m x m x m x x m x x               
( , )f x m biểu diển về được dạng tích khi hê (*) : 2
3 2
2 1 0
4 2 0
2 5 1 0
x
x x
x x
 

  
   
có nghiệm
Dễ thấy (*) có nghiệm
1
2
x  nên ( , ) (2 1) ( , )f x m x g x m 
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:  3 2 2 2
2 (4 5) 2( ) 1 0 1x m x m m x m      
  2 2
2 2
1
2 1 2( 1) 1 0 2
2( 1) 1 0 (2)
x
x x m x m
x m x m

       

    
(1)ycbt  phải có 3 nghiệm phân biệt  (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
2 2
2 2
1 1 1
2( 1) 1 0 24 4 7 0
4 2 2
2 2 0
1' ( 1) ( 1) 0
m m mm m
m
mm m
           
    
          
Vậy khi m thỏa mãn điều kiện
1
2
2
1
m
m

 

  
thì (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bình luận:
Trong phép giải trên ta đã tìm nhóm phần tử chung bằng cách tách nhỏ
thành các đa thức(2 1)x  , 2
( 4 2 )x x  và  3 2
2 5 1x x  chỉ chứa một biến và tìm nghiệm
chung của các đa thức đó. Phép giải này cũng có thể áp dụng vào việc giải hệ
phương trình , phương trình chứa căn hoặc phương trình lượng giác….Vấn đề lớn
nhất trong phép giải này là việc chọn biến và đa thức sao cho nó có được nghiệm
chung.

Phương pháp chung:
(sin ,cos ) (sin ) (sin ) 0pt f x x h x g x   với
(sin ) 0
(sin ) 0
h x
g x



có nghiệm
(sin ,cos ) (cos ) (cos ) 0pt f x x h x g x   với
(cos ) 0
(cos ) 0
h x
g x



có nghiệm
Dạng cớ bản:
Dạng 1: .sin2 .cos2 .sin .cos 0a x b x c x d x e    
Dạng 2: .sin3 .sin2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e     
Dạng 3: .cos3 .sin2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e     
Cộng thức thường dùng:
Công thức nhân ba :
3 3
3 3sin 4sin 3 4cos 3cossin a a a cos a a a   
Công thức nhân đôi :
2 2
2 2sin cos 2 2cos 1 1 2sinsin a a a cos a a a    
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1(D - 2010): Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x    
Ta thấy . Do đó ta sẽ có 2hướng biến đổi như sau
Dễ thấy: và
không có nghiệm chung
Dễ thấy và
Có nghiệm chung

Kinh nghiệm: Thông thường ta sẽ thử với nhóm cho ra nghiệm đẹp trước
Giải :
sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     2
2sin cos 2sin 3sin cos 2 0x x x x x     
   2
cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x          cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x     
    cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x        2sin 1 sin cos 2 0x x x    
2sin 1 0
sin cos 2 sin 2 ( )
4
x
x x x VN

 
            
2
1 6
sin
52
2
6
x k
x
x k





 
   
  

Vậy phương trình có hai nghiệm 2
6
x k

  và
5
2
6
x k

  (với k Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình: sin3 2cos2 3sin 2cosx x x x  
Giải :
3 2
3sin 4sin 2(2cos 1) 3sin 2cospt x x x x x     
3 2
2sin 2cos cos 1 0x x x    
   2 2
2sin 1 cos 2cos cos 1 0x x x x     
     2sin 1 cos 1 cos 1 cos 2cos 1 0x x x x x      
cos 1 2
2(sin cos ) 2sin cos 1 0 (1)
x x k
x x x x
     
     
Đặt: sin cos 2 sin 2, 2
4
t x x x
            
.
2
1
sin cos
2
t
x x


 2 2 0
(1) 2 1 1 0 2 0
2 ( )
t
t t t t
t loai

          
0 2 sin 0 sin 0
4 4 4
t x x x k
  

   
             
   
Vậy phương trình có hai nghiệm 2x k   và
4
x k

   (với k Z )

Ví dụ 3: Giải pt:    3
sin 2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sinx 3 3x x x x x     
Giải :
   3
3 2cos 3cos2 8cos 3 2sin cos cos 3 8sin 0pt x x x x x x x        
   3 2 2
3 2cos 6cos 8cos sin 2cos 6cos 8 0x x x x x x      
  2
2cos 6cos 8 3 cos sin 0x x x x    
2 cos 4 ( ) 2
2cos 6cos 8 0
cos 1
3 cos sin 0
3
cos 0
6
x VN x k
x x
x
x kx x
x





          
           
Vậy phương trình có hai nghiệm: 2x k  và
3
x k

  (với k Z )
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải phương trình : 82cos2sin3cos6sin9  xxxx
HD: sử dụng công thức: 2
cos2 1 2sinx x  . Xét đa thức theo sin x
Bài 2: Giải phương trình : xxxx cos4sin12cos22sin 
cos2 2cos 1x x  . Xét đa thức theo cos x
Bài 3: Giải phương trình : 4cos2sin72cos2sin2  xxxx
Bài 4: Giải phương trình : 2cossin32cos2sin  xxxx
Bài 5: Giải phương trình : 02cos2sincossin1  xxxx
cos2 2cos 1x x 
Bài 6: Giải phương trình : )cos)(sincos2(252cos xxxx 
cos2 2cos 1x x  . Đặt t = sinx – cosx.
Bài 7: Giải phương trình : 0sin2coscos2 3
 xxx

cos2 2cos 1x x  và   2 2
cos 1 sin 1 sin 1 sinx x x x    
Bài 8: Giải phương trình : 0cos2sin3cos2  xxx
HD: sin 2 cos cos (2sin 1)x x x x  
3 2
3 4cos 3cos cos (1 4sin )cos x x x x x   
Bài 9: Giải phương trình : xxxxx 2coscos13sin2sinsin 
HD: sin sin2 sin3 2sin2 cos sin2 sin2 (2cos 1) 2sin cos (2cos 1)x x x x x x x x x x x       
2
1 cos cos2 1 cos 2cos 1 cos (2cos 1)x x x x x x       
Bài 10: Giải phương trình : 02cos3sin32cos2sin33sin  xxxxx
HD: 3sin 2 3cos 3cos (2sin 1)x x x x    
2 2
sin3 cos2 3sin 2 4sin 2sin 6sin 3x x x x x x       
Bài 11: Giải phương trình : 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x    
HD: sin 2 sin sin (2cos 1)x x x x  
3 2
cos3 cos2 cos 1 4cos 2cos 4cos 1x x x x x x      
Bài 12: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2 
HD: 2
sin 4 sin 2 sin 2 (2cos2 1) sin 2 (1 4sin )x x x x x x    
3 2
cos3 4cos 3cos cos (1 4sin )x x x x x   
Loại 2: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VỚI NHÓM PHẦN TỬ CHUNG
Công thức thường dùng :
Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
   
    
   
   
Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: Phương trình có hai số hạng có
cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng tình chẵn hoặc lẻ của cung.

Kinh nghiệm khi biến đổi phương trình tích theo nhóm phần tử chung:
 Cấu trúc mẫu mực:
  1 0 1 1 0uv u v u v       
  0 0mn mb na ab m a n b       
 Trong quá trình biến đổi phương trình tích : ta có thể biến đổi đồng thời nhiều
nhóm số hạng và hết sức để ý đến các nhóm chung của chúng
 Phương trình có hai số hạng có cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng
tình chẵn hoặc lẻ của cung.thì ngây lập tức sử dụng công thức biến đổi tổng
thành tích và phân tích các số hạng còn xuất hiện nhóm chung với thành phần
của tích đó.
 Với bài toán có chứa số hạng không chứa biến (số hạng là một số) thì ta phải
phân tích theo một trong các hướng sau:
 Sử dụng công thức lượng giác để khử số đó đi
(công thức thường dùng: 2 2
cos2 2cos 1 1 2sina a a    )
 Phân nhỏ số hạng đó để có thể đưa chúng vào các nhóm phần tử chung.
 Chuyển số hạng đó về dạng lượng giác sau đó sử dụng công thức tổng
thành tích
(ví dụ:
1
cos cos
2 3 3
  
   
 
hoặc
1 5
sin sin
2 6 6
 
  hoặc
3 5
cos
2 6

  )
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
 
    
 
cos3 cos 1 sin2 cos2pt x x x x    
2
2 cos2 cos 1 2sin cos 2cos 1x x x x x    
Dấu hiệu sử dụng công
thức tồng thành tích
Mục đích làm mất số 1
đồng thời làm xuất hiện
Cần biến đổi các số hạng còn lại đều
xuất hiện hoặc đều xuất hiện

Ví dụ 2: (Trích D – 2012) Giải phương trình : sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x   
Giải :
sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x   
cos3 cos sin3 sin 2 cos2 0x x x x x     
2cos2 cos 2cos2 sin 2cos2 0x x x x x   
 2 cos2 2 cos 2 sin 1 0x x x   
 
cos2 0 2
2 4 2
2 cos sin 1 (1)
x x k x k
x x
  


      

 
7
2 2
1 4 3 12(1) 2cos 1 cos
4 4 2
2 2
4 3 12
x k x k
x x
x k x k
  
 
 
  
 
 
        
           
           
 
Vậy phương trình có 3 nghiệm
4 2
x k
 
  ,
7
2
12
x k

  và 2
12
x k

  
Ví dụ 3: Giải phương trình : 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x   
Điều kiện :
sin 0
( )
cos 0 2
x
x k k Z
x

  

3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0pt x x x x      
   3 cos cos sin sin 5 cos cos sin sin
0
sin cos
x x x x x x x x
x x
   
  
 
3 5
cos cos sin sin 0
sin cos
x x x x
x x
 
     
 
cos sin cos sin 0 (1)
3 5 3 3
0 tan arctan
sin cos 5 5
x x x x
x x k
x x

  

       

Đặt: sin cos 2 cos 2; 2
4
t x x x
            
2
1
sin cos
2
t
x x

 
Phân tích: 2 = 5 - 3 để có thể
đứa chúng vào nhóm chung

2
2 1 2 ( )1
(1) 0 2 1 0
2 1 2
t loait
t t t
t
  
        
 
2 2 2 2
2 cos 1 2 cos arccos 2
4 4 2 4 2
x x x k
  

    
             
   
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
3
arctan
5
x k  và
2 2
arccos 2
4 2
x k



  
Ví dụ 4: Giải phương trình:
1
sin 4 sin3 sin
6 2
x x x
 
    
 
Giải:
sin3 sin sin sin 4
6 6
pt x x x
  
     
 
2sin 2 cos 2cos 2 sin 2
6
x x x x
 
   
 
sin 2 0
2
2sin 2 cos cos 2 0
6
cos cos 2 (1)
6
x x k
x x x
x x




                     
2
2 2
6 18 3
(1)
2 2 2
6 6
x x k x k
x x k x k
  

 
 
 
     
  
      
  
2
x k

 ,
2
18 3
x k
 
  và 2
6
x k

 
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3. 6. 2
2
2 1
cosx sinx sin x
cos x
 


Điều kiện: cos2 1x x k  
 3 6 2 2 2 1pt cosx sinx sin x cos x    
2
2 2 sin 6 2sin cos 3cos 0x sinx x x x    
  
2sin 3 0 (1)
2sin 3 2 sin cos 0
2 sin cos 0 (2)
x
x x x
x x
  
     
 
Chuyển .sử dụng
công thức tồng thành tích
Dạng:

 
2
3 3
1 sin
22
2
3
x k
x
x k





 
   
  

(thỏa điều kiện)
 
1 2
2 tan arctan
22
x x k
 
      
 
(thỏa điều kiện)
Vậy phương trình có 3 nghiệm :
2
3
x k

  ,
2
2
3
x k

  và
2
arctan
2
x k
 
   
 
(vớik Z )
Ví dụ 6: Giải phương trình: )cos3(sin4cot3tan xxxx 
Điều kiện:
sin 0
( )
cos 0 2
x
x k k Z
x

  

sin cos
3 4(sin 3 cos )
cos sin
x x
pt x x
x x
   
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3cos )x x x x x x   
(sin 3cos )(sin 3cos ) 2sin2 (sin 3cos )x x x x x x x    
sin 3 cos 0 (1)
(sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2 ) 0
sin 3 cos 2sin 2 (2)
x x
x x x x x
x x x
  
      
 
1 3
(1) sin cos 0 sin cos cos sin 0
2 2 3 3
x x x x
 
     
sin 0
3 3
x x k
 

 
       
 
1 3
(2) sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 2
2 2 3 3
x x x x x x
 
     
2
3
sin sin 2
4 23
9 3
x k
x x
x k



 

   
     
    

Vậy phương trình có 2 nghiệm
3
x k

   và
4 2
9 3
x k
 
 

Ví dụ 7: Giải phương trình: 2
4cos 2 sin 2cos sin 4 2 3cos2 2sin3 3 0x x x x x x    
Giải:
1 cos4
4sin 2cos sin 4 2sin3 2 3 cos2 3 0
2
x
pt x x x x x

     
2sin 2sin cos4 2cos sin4 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x x x x      
 2 sin5 sin 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x     
4sin3 cos2 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x    
   2sin3 2cos2 1 3 2cos2 1 0x x x    
  
2cos2 1 0 (1)
2cos2 1 2sin3 3 0
2sin3 3 0 (2)
x
x x
x
 
     
 
 
1 2
1 cos2 2 2
2 3 3
x x k x k
 
           
 
2
3 9 3
2 sin3
4 22
9 3
x k
x
x k
 
 

  
    
  

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
3
x k

  ,
3
x k

   ,
2
9 3
x k
 
   và
4 2
9 3
x k
 
 
Ví dụ 8: Giải phương trình: 0cos2sin3cos2  xxx
Giải:
 2 cos3 cos sin 2 cos 0pt x x x x    
4cos2 cos 2sin cos cos 0x x x x x   
 
2
cos 0
cos 4cos2 2sin 1 0 2
8sin 2sin 3 0 (1)
x x k
x x x
x x



       

  
Dạng:

 
2
1 6
sin
72
2
6
1
3
arcsin 2
3 4
sin
34
arcsin 2
4
x k
x
x k
x k
x
x k





 
 
   
    
   
 
 
  
  
   
 
2
x k

  , 2
6
x k

   ,
7
2
6
x k

  ,
3
arcsin 2
4
x k   và
3
arcsin 2
4
x k   
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải phương trình : 2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x 
HD: 2 2
cos6 cos2 2cos 2 0 2cos4 cos2 2cos 2 0pt x x x x x x      
Bài 2: Giải phương trình :
sin cos
cos2 sin 2 cos 0
1 cot
x x
x x x
x

  

HD:
sin cos (sin cos )sin
1 cot sin cos
x x x x x
x x x
 

 
2
cos2 2sin cos sin 0 cos2 sin cos2 0pt x x x x x x x      
Bài 3: Giải phương trình :  
4cos 3sin 2
2 1 sin
1 sin
x x
x
x

 

HD:    2
4cos 2 3sin cos 2 1 sin cos cos 3sin 2 0x x x x x x x      
Bài 4: Giải phương trình :  2cos4 3 2 cos2 sin 2 3x x x   
HD:  2
4cos3 cos 3 2cos 1 2sin cos 3pt x x x x x    

2
1
cos22
3
cos 





 xx

HD: cos cos 2 2cos 0
3 3
pt x x
  
     
 
Bài 6: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2 
HD: 2cos3 sin cos3 2sin 1 0pt x x x x    
Bài 7: Giải phương trình : xxx
x
tan2cossin
cos
1

HD:    
2
cos 1 sin cos 1 0pt x x    
)1(cos31cos22cos
5sin7cos22cos
3cos2
1sin2





xxx
xxx
x
x
HD: cos2 2cos 1 3(cos 1) (cos 1)(2cos 3)x x x x x      
(2sin 1)(cos 1) cos2 2cos 7sin 5pt x x x x x      
2
cos (2sin 1) 2sin 9sin 5 0x x x x     
Bài 9: Giải phương trình : xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222

HD:  cos6 cos8 cos10 cos12 2cos cos7 cos11 0pt x x x x x x x      
Bài 10: Giải phương trình : 24cos3cos2coscos 2222
 xxxx
HD:  cos2 cos4 cos6 cos8 0 2cos cos3 cos7 0pt x x x x x x x       
2
3
4cos3cos2coscos 2222
 xxxx
HD: 2
cos2 cos4 cos6 2cos 4 0pt x x x x    
2
2cos4 cos2 cos4 2cos 4 0x x x x   

Bài 12: Giải phương trình : 2
4sin3 13sin2 4sin 3cos3 13cos 8cosx x x x x x    
HD:  2
4sin3 4sin 8cos 8cos sin 2 cosx x x x x x   
13sin2 13cos 13(sin2 cos )x x x x    
      2 2
3cos3 3 4cos 3cos 3cos 4sin 1 3 2sin 1 sin 2 cosx x x x x x x x        
Bài 13: Giải phương trình : sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x   
HD:
2
2sin cos sin cos2 sin cos cos 0pt x x x x x x x     
sin cos2 cos2 sin cos cos 0x x x x x x    
Bài 14: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
 
    
 
HD:
2
2cos2 cos 1 sin 2 cos2 2cos2 cos 2sin cos 2cospt x x x x x x x x x      
Bài 15: Giải phương trình : 4sin 2sin 2 1
3 6
x x
    
      
   
HD:
5
2sin sin 2 sin
3 6 6
pt x x
     
       
   
;
5 1
sin
6 2
 
 
 
3 2
cos cos
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x

 

HD:   2
cos (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x   
    2
1 sin (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x     
5 os2
2cos
3 2 tan
c x
x
x



HD: 5 os2 6cos 4sinpt c x x x   
   
2 22 2
5 cos sin 6cos 4sin cos 3 sin 2 0x x x x x x         
  2sin 1 os2 sinx 1
3 2cos
3sinx sin 2
x c x
x
x
  
 

HD:      2sin 1 os2 sinx 1 sin 3 2cos 3 2cospt x c x x x x      
     2sin 1 os2 sinx 1 sin 2sin 1 2sin 1 0x c x x x x       

Bài 19: Giải phương trình : 2 2
2sin (2cos 1) 2 3cos cos2 4cos 1 0x x x x x    
HD:   1 3 1
2cos2 sin 3cos 2cos2 1 0 2cos2 sin cos cos2 0
2 2 2
x x x x x x x x
 
          
 
2cos2 cos cos2 cos 0 2cos cos2 cos 0
6 3 6 6
x x x x x x
         
               
      
Bài 20: Giải phương trình : 2cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
   

HD:
cos cos sin
cot 1 1
sin sin
x x x
x
x x

   
2 2
cos2 (cos sin )cos
(cos sin )cos
1 tan cos sin
x x x x
x x x
x x x

  
 
2 21
sin sin 2 sin cos sin sin (cos sin )
2
x x x x x x x x      
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
  
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
    
       
   
Bài 23: Giải phương trình :    2 tan sin 3 cot cos 1 0x x x x    
Bài 24: Giải phương trình : 
3 2cos
2sin 1 tan
cos sin 1
x
x x
x x
  

Bài 25: Giải phương trình : 
sin3
sin 2 cos2 tan sin cos
cos
x
x x x x x
x
   
tan cos3 2cos2 1
3 sin 2 cos
1 2sin
x x x
x x
x
 
 

2
cos2 3sin 2 6sin 5
2 3
2cos 1
2
x x x
x
  


sin3 2sin 4
t nx 2 3 os2
cos
x x
a c x
x

 
--- Hết ---

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC

Semelhante a SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC (20)

Mais de DANAMATH

Mais de DANAMATH (17)

Último

Último (20)

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC