Website: www.toanhocdanang.com Phone: 0935 334 225 Facebook: ToanHocPhoThongDaNang

1. HÌNH HỌC
10
GV:Phan Nhật Nam
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

2. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
I. Cở sở lý thuyết:
1. Phép nhân vectơ với một số thực :
ĐN : Tích của a và số thực k là một vectơ k. a được xác định :
 Nếu 0,0  ka thì vectơ k. a có môđun là: ak .
- cùng hướng với a nếu k > 0
- ngược hướng với a nếu k < 0
 0. a = k. 0 = 0
Chú ý : Nếu a  0 khi đó ta có :
a và b cùng phương Rk  ! : b = k. a
2. Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương :
Cho a , b khác 0 và không cùng phương nhau
Xét mọi vectơ c ta có:
Dựng OA a , OB b và OC c .
Gọi 1 2,d d lần lượt là giá của OA và OB
Dựng: 1 2 1 1
2 1 2 2
/ / ( )
/ / ( )
CC d C d
CC d C d



Đặt:
1
1
2 2
.
.
OC
OC OA aOA
OC OC OB b
OB

 
 

    
 
  

(vì 1OC cùng chiều OA và 2OC cùng chiều OB )
Xét hình bình hành OC1CC2 ta có:
Kết luận:
 Cho a , b khác 0 và không cùng phương ta luôn có
! , : . .c R c a b        
.
.
.
O A
B
C

3. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
 Với mọi a , b ta đều có:
0
. . 0 0
/ /
a b a b
a b
 
 
 

    


Chú ý :
 A, B, C thẳng hàng ACAB , cùng phương )!( RkACkAB 
 O là trung điểm AB 0 OBOA MOMBMA .2 (M : tùy ý)
Dễ thấy khi O là trung điểm của AB thì ta có
Hai vectơ ,OA OB đối nhau nên 0OA OB OA OB    
 G là trọng tâm của ABC MGMCMBMAGCGBGA 30 
(với M là điểm tùy ý)
 BAOBOA  (Với O tùy ý, thất vậy 0 0OA OB OA OB BA A B        )
 ABCD là hình bình hành
AB DC
AD BC
 
 

 Điểm I thuộc đoạn AB sao cho mAI = nBI mAI nBI  
(vì ,AI BI ngược chiều)
 Điểm I thuộc AB kéo dài sao cho mAI = nBI mAI nBI  
(vì ,AI BI cùng chiều)
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng 2AD BC EF  .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý
chứng minh rằng :
a. 0 GCGBGA
b. MGMCMBMA .3
c. OHOGOCOBOA  .3
O.A B
A B I
.
A BI

4. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
d. HOHGHCHBHA .2.3 
e. OIOH .2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM.
a. Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC   .
b. Với điểm O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI   .
c. Gọi J là điểm được xác định: 3AJAB  . Chưng minh rằng C, I, J thẳng hang.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.
Hãy phân tích AI theo hai vectơ AB và AC .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Điểm I tr n cạnh AC sao cho
1
4
CI CA ;
J là điểm th a
1 2
2 3
BJ AC AB  . Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên
AC sao cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN
a. Chứng minh rằng:
1 1
AK= AB + AC
4 6
b. Gọi D là trung điểm của BC. Biểu diễn vectơ KD theo AB và AC
c. Gọi H là giao điểm của AK và BC . Tính tỷ số :
BH
BC
d. Tìm tập hợp tất cả các điểm E sao cho 4 2EA EB EC EM EN EA    
Ví dụ 7: Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi
2AM AB ,
2
5
AN AC . Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC đều cạnh a.
a. Tính độ dài các vectơ: AB CA BC  , AB AC
b. Xác định điểm M sao cho: AB AC AM  .
c. Tìm tập hợp các điểm M th a mãn 2MA MB MC 
Ví dụ 9: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các
điểm M, N, P sao cho 3AB AM , 3BC BN , 3CD CP và AI k AN
với 0 < k < 1.

5. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
a. Biểu diễn hai vectơ AN và MP qua hai vectơ CA và CD .
b. Tìm k để ba điểm M, I và P thẳng hàng.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng . . . 0BC IA AC IB AB IC  
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC , gọi G là trong tâm của tam giác ABC.
Biết điểm G th a mãn điều kiện . . . 0BC GA AC GB ABGC   .
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Hướng dẩn giải các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng 2AD BC EF  .
Giải:
E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
0
0
EA EB
EA EB FC FD
FC FD
  
    
 
EF FA EF FB FC FD      2EF FC FB FD FA    
2EF BC AD   (đpcm)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý
chứng minh rằng :
a. 0 GCGBGA
b. MGMCMBMA .3
c. OHOGOCOBOA  .3
d. HOHGHCHBHA .2.3 
e. OIOH .2
Giải :
a. Xem ví dụ 2 của bài tổng - hiệu hai vectơ
b. Theo câu a: 0GA GB GC  
0GM MA GM MB GM MC       3 3MA MB MC GM MG      (đpcm)
c. 0 3GA GB GC OA OB OC OG       (1)
A
.
B C
A’
H
OG

6. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, khi đó ta có:
'
CH AB
A B AB



A’B // HC và
'
BH AC
A C AC



A’C // HB
Do đó: HBA’C là hình bình hành ' 'HA HB HC OA HO OB OC       (2)
Mặt khác O là trung điểm của AA’ ' 0OA OA   (3)
Thay (2) vào (3) ta có: 0HO OB OC OA OB OC OA OH        (4)
Vậy từ (1) và (4) ta có: OHOGOCOBOA  .3 (đpcm)
Bình luận:
Ở phép chứng minh đẳng thức (4) ta thấy đẳng thức cần có sự xuất hiện của
A,B,C,H và O (trong đó điểm O xuất hiện ở mọi vectơ nên đây chính là điểm cần
xen vào trong quy tắc 3 điểm).Do đó ta cần một giả thiết nói lên mối quan hệ
của 5 điểm tr n, để có thể biến chúng về một đẳng thức vectơ. Trong phép giải
tr n ta đã sử dụng một điểm trung gian A’ để có thể liên kết được A,B,C,H và O
(cụ thể là: O là trung điểm AA’ và BHCA’ là hình bình hành – đây là hai tính
chất quyết định của bài toán)
d.  1 3HA HB HC HG    (1’)
 4 OH HB OH HC OH HA OH      
2HA HB HC HO    (4’)
Từ (1’) và (4’) ta có : HOHGHCHBHA .2.3 
e. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA khi đó :
O là trực tâm của MNP
G là trọng tâm của MNP
I là tâm đường tròn ngoại tiếp của MNP
Sử dụng tính chất đã chứng minh ở câu c ta có:
3 3 3IG IO IO OG IO    (5)
Cũng theo câu c ta có: 3OG OH (6)
Thay (6) vào (5) ta có: 3 2 2IO OH IO OH IO OH OI       (đpcm)

7. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Kinh nghiệm:
Cứ mỗi khi ta giải quyết được một câu h i của bài toán thì ta có được một
đẳng thức vectơ đúng (hoặc một tính chất đúng). Do đó để giải quyết tốt những
câu h i sau thì ta nên luôn tìm cách khai thác đẳng thức vec tơ (hoặc tính chất)
mà ta đã chứng minh.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM.
a. Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC   .
b. Với điểm O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI   .
c. Gọi J là điểm được xác định: 3AJAB  . Chưng minh rằng C, I, J thẳng hang.
Giải :
M là trung điểm BC 0MB MC   (1)
I là trung điểm của AM 0IM IA   (2) (hoặc MI IA )
a. Từ (1) và (2) ta có : 0IM IA MB MC   
0IM IA MI IB MI IC      
0MI IA IB IC    
2 0IA IB IC    (vì MI IA ) (đpcm)
Bình luận :
Ở ví dụ trên ta thấy đẳng thức cần chứng minh (ĐTCCM)chứa 4 điểm : I, A,
B, C. Lại thấy từ gt ta chuyển về được 2 đẳng thức (1) và (2) có chứa 4 điểm trên.
Bước tiếp theo là ta nên công hay trừ 2 dẳng thức với nhau. Để trả lời được câu h i
này ta quan sát ĐTCCM, dễ thấy các điểm A, B, C đều là ngọn của các vec tơ tr n
do đó khi ta cộng (1) và (2) thì thu được đẳng thức chứa các vec tơ đồng dạng
(A,B,C là các ngọn của vec tơ).
b. Theo câu a ta có : 2 0IA IB IC  
2( ) 0IO OA IO OB IO OC      
2 4 0OA OB OC IO    
2 4OA OB OC IO    
2 4OA OB OC OI   
Kinh nghiệm:
Trong ĐTCCM ta thấy vectơ nào cũng có điểm O n n đoán được ngay
điểm O là điểm cần xen vào (trong quy tắc ba điểm) để biến một đẳng thức gt nào
đó về ĐTCCM. Công việc còn lại là cần chọn ra một đẳng thức gt nào có chứa
đầy đủ các điểm có trong ĐTCCM (có thể ngoại trừ O)
c. Bình luận: Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng công cụ vectơ thì thông tường ta sử
dụng sơ đồ phân tích sau :

8. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Đặt: a CA và b CB
Theo câu a ta có:
2 0 4 2 0IA IB IC IC CA CB      
1 1 1 1
2 4 2 4
CI CA CB a b    
Theo gt ta có: 3AJAB 
 3 ACAC CB CJ   
2 1
3 3
CJ CA CB  
2 1 4 1 1
3 3 3 2 4
CJ a b a b
 
     
 
4
,
3
CJ CI CJ CI   cùng phương nhau  C, I, J thẳng hàng (đpcm)
Kinh nghiệm: Ở phép giải trên ta chọn a CA và b CB vì điểm C có trong 3
điểm cần chứng minh thẳng hàng. Số k được tính như sau :
2 1
43 3
1 1 3
2 4
k   
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.
Hãy phân tích AI theo hai vectơ AB và AC .
Bình luận:
Ở bài này ta cần làm xuất hiện đẳng thức có chứa 3 vectơ AI , AB và AC .
Do đó ta sẽ biến đổi gt 2CI = 3BI thành đẳng thức vec tở và sử dụng quy tắc
3 điểm để xen điểm A vào.
Giải:
Ta có : điểm I thuộc cạnh BC sao cho 2CI = 3BI
2 3CI BI   (vìCI và BI ngược chiều)
   2 3CA AI BA AI    
5 3 2AI AB AC  
Vậy ta có phân tích sau:
3 2
5 5
AI AB AC 
Bình luận:
Điểm I thuộc đoạn AB sao cho mAI = nBI mAI nBI  
(vì ,AI BI ngược chiều)
M, N, P thẳng hàng
Tìm sao cho
nChọn 2 vec tơ cơ sở
Thường là 2 cạnh chung đỉnh
Phân tích theo
và
A BI

9. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Điểm I thuộc AB kéo dài sao cho mAI = nBI mAI nBI  
(vì ,AI BI cùng chiều)
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Điểm I tr n cạnh AC sao cho
1
4
CI CA ;
J là điểm th a
1 2
2 3
BJ AC AB  . Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
Giải:
Điểm I thuộc cạnh AC sao cho
1
4
CI CA
1
4
CI CA  (vì ,CI CA cùng chiều)
 4 CB BI CB BA   
1 3
4 3
4 4
BI CB BA BI BA BC      
Lại có :  1 2 1 2 1 1 2 1 3
2 3 2 3 6 2 3 4 4
BJ AC AB AB BC AB BA BC BA BC
 
         
 
2
3
BJ BI BJ   và BI cùng phương  B, I, J thẳng hàng. (đpcm)
(trong phép giải trên ta chọn 2 vectơ cơ sở là BJ và BI vì trong 3 điểm cần
chứng minh thẳng hàng có chứa điểm B)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên cạnh
AC sao cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN
a. Chứng minh rằng:
1 1
AK= AB + AC
4 6
b. Gọi D là trung điểm của BC. Biểu diễn vectơ KD theo AB và AC
c. Gọi H là giao điểm của AK và BC . Tính tỷ số :
BH
BC
d. Tìm tập hợp tất cả các điểm E sao cho 4 2EA EB EC EM EN EA    
Giải:
M là trung điểm của AB 0MA MB   (1)
N thuộc cạnh AC sao cho NC=2NA 2NC NA   (2)
K là trung điểm của MN 0KM KN   (3)
A B I
.

10. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
a.
1 1
(3) 0
2 2
KA AM KA AN AK AM AN        (3’)
1
(1) 0
2
MA MA AB AM AB      (1’)
1
(2) 2
3
NA AC NA AN AC      (2’)
Thay (1’) , (2’) vào (3’) ta có:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 4 6
AK AB AC AB AC
   
      
   
(đpcm)
b. D là trung điểm của BC
1 1
0
2 2
DB DC AD AB AC    
1 1 1 1 1 1
AK - AB + AC AB AC
2 2 4 6 4 3
KD AD AB AC
   
        
   
(theo câu a)
Vậy ta có phân tích là :
1 1
AB AC
4 3
KD  
c. Ta có: BC AB AC  
Lại có , ,H AK BC H A K   thẳng hàng :m R AH mAK   
1 1
AH= AB + AC AB + AC -1 AB + AC
4 6 4 6 4 6
m m m m
m BH
   
      
   
, ,H AK BC H B C   thẳng hàng
-1
124 6
1
1 1 4 6 5
m m
m m
m      

Khi đó ta có :  2 2 2
-1 AB + AC AB AC AB AC
4 6 5 5 5
m m
BH
 
       
 
2 2 2 2
BC BC
5 5 5 5
BH
BH BH BH BC
BC
       
d. Gọi G là trọng tâm của ABC và I là trung điểm của GC khi đó ta có:
0 3 0
0 3 3 0
GA GB GC GI IA IB IC
IG IC IG IC
        
 
     
3 3 4 0 4 0GI IG IA IB IC IA IB IC         
6 4EI EA EB EC   
Lại có 2 2EM EN EA EM EA EN EA AM AN AJ        
(với J là trung điểm MN)

11. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Khi đó ta có: 4 2 6 2
3
AJ
EA EB EC EM EN EA EI AJ IE        
Vậy tập hợp tất cả các điểm E là đường tròn tâm I và bán kính
3
AJ
Kinh nghiệm: Với dạng toán tìm tập hợp điểm th a đẳng thức môđun thì ta cần chọn
một điểm trung gian sao cho có thể biến đổi biểu thức trong môđun về 1 vectơ
Ở phép giải tr n ta đã chọn điểm I: 4 0IA IB IC   vì cần rút gọn 4EA EB EC 
Ví dụ 7: Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi
2AM AB ,
2
5
AN AC . Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng.
Giải:
G là trọng tâm ABC
1 1
0
3 3
GA GB GC AG AB AC      
Ta có :
2
2
5
MN AN AM MN AB AC     
Lại coa:
1 1
2
3 3
MG AG AM MG AB AC AB     
5 1 5 2 5
2
3 3 6 5 6
MG AB AC AB AC MG MN
 
          
 
MG và MN cùng phương
 M, N, G thẳng hàng. (đpcm)
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC đều cạnh a.
a. Tính độ dài các vectơ: AB CA BC  , AB AC
b. Xác định điểm M sao cho: AB AC AM  .
c. Tìm tập hợp các điểm M th a mãn 2MA MB MC 
Giải:
a. 0 0AB CA BC BC CA AB BA AB        
AB AC CA AB CB CB a     
b. Dựng hình bình hành ABDC ta có: AB AC AD 
Mà theo gt ta có AB AC AM  AD AM M D   
c. Gọi I là trung điểm của BC ta có: 0 2IB IC MB MC MI    

12. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
2 2 2MA MB MC MA MI MA MI     
Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AI
Bình luận: Tương tự VD6d, Ở phép giải náy ta đã chọn điểm
I sao cho 0IB IC  để rút gọn biểu thức MB MC về một vectơ
Ví dụ 9: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các
điểm M, N, P sao cho 3AB AM , 3BC BN , 3CD CP và AI k AN với 0 < k < 1.
a. Biểu diễn hai vectơ AN và MP qua hai vectơ CA và CD .
b. Tìm k để ba điểm M, I và P thẳng hàng.
Giải:
a. Từ giả thiết ta có:  3 3BC BN BA AC BA AN    
1 2 1 2
3 3 3 3
AN AC BA AN AC CD      (vì BA CD )
Từ giả thiết ta có:
1 1
3 3 3
13
3
AM AB CD
AB AM
CD CP AP CA CD

    
 
    

1 1 2
3 3 3
MP AP AM CA CD CD MP CA CD
 
            
 
b.
1 2
3 3 3 3
k k
AI k AN k AC CD AI AC CD
 
      
 
Ta có :
1 1
3 3 3 3 3
k k k k
MI AI AM AC CD CD MI AC CD
 
         
 
M, I, P thẳng hàng ,MI MP cùng phương
1
3 3 2
21
3
k k
k


   

Vậy 2k   thì M, I, P thẳng hàng
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng . . . 0BC IA AC IB AB IC  
Giải:
A D
B C

13. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Đặt a BC , b AC và c AB
Dựng hình bình hành IA’CB’ nhu hình vẽ :
Theo talét và tính chất của phân giác trong ta có:
1
1
'
' '
ACIB AC b b b
IB IB IB IB
IB A B AB c c c
        (1)
1
1
'
' '
B CIA BC a a a
IB IB IA IA
IA B A BA c c c
        (2)
(vì 'IB IB và 'IA IA )
Theo quy tắc hình bình hành ta có : ' 'IC IA IB  (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
a b
IC IA IB
c c
  
cIC aIA bIB   
0aIA bIB cIC    (đpcm)
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC , gọi G là trong tâm của tam giác ABC.
Biết điểm G th a mãn điều kiện . . . 0BC GA AC GB ABGC   .
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Giải:
Đặt a BC , b AC và c AB
G là trọng tâm của tam giác ABC 0GA GB GC GA GB GC        (1)
. . . 0
b c
gt BC GA AC GB ABGC GA GB GC
a a
        (2)
Từ (1) và (2) ta có: 0
b c b a c a
GB GC GB GC GB GC
a a a a
 
        (3)
Lại có
0
0
GB
GC
 


và ,GB GC không cùng phương
Do đó
0
0
(3)
0
0
b a
b a b aa
c a c a c a
a

    
     
     

ABC là tam giác đều (đpcm)
A
.
B
C
A’
B’
I

14. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Chú ý:
. . 0 0a b a b      hoặc 0   hoặc
a b
a
b







hoăc
a b
a
b





 

{ và cùng phương }