Série de TD 1 avec correction. Module d'analyse convexe pour le master Mathématiques et Applications à la FST de Settat - Université Hassan 1er. Vidéos des corrections: Exercice 1 : https://youtu.be/iQZPyBzM6 Exercice 2/3 : https://lnkd.in/dfbgvsv Exercice 4/5 : https://lnkd.in/dfbgvsv

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FST DE SETTAT
Settat, le : 16/12/2020
Analyse Convexe
TD – Série 1
Exercice 1 : Soit A un ensemble non vide de Rn
. Montrer que A est convexe si et seulement
si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs.
Exercice 2 : Montrer que l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires
A = {x | Mx = b}, M ∈ Rm×n
et b ∈ Rm
, est un sous-espace affine de Rn
.
Exercice 3 : Soit A un ensemble convexe non vide de Rn
. Montrer que la couverture affine de
A notée aff(A) est égale à la couverture affine de intr(A).
Exercice 4 : Soit A un ensemble convexe avec A
o
non vide de Rn
et xA
o
. Soit D une droite de
Rn
qui passe par x.
a- Montrer que D∩A possède au plus deux points.
b- Montrer que si A est compact et x A
o
alors D∩A possède exactement deux points.
Exercice 5 : Soit A un ensemble ouvert relatif de Rn
. Montrer que conv(A) est un ouvert
relatif de Rn
.

2. 2
Exercices avec correction
Exercice 1 : Soit A un ensemble non vide de Rn
. Montrer que A est convexe si et seulement
si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs.
Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/iQZPyBzM6Go)
Si A est convexe, alors
a,bR, a>0 et b>0, x,yA, on a
a
a+b
x +
b
a+b
y ∈A
Donc ax + by  (a+b)A
Ainsi a,bR, a>0 et b>0, aA + bA  (a + b)A
Le résultat est immédiat si a>0 et b=0 ou a=0 et b>0.
Par ailleurs, il est évident que (a + b)A  aA + bA.
Donc si A est convexe, alors (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs (ou nuls).
Inversement, si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs.
Soient x,yA et ]0,1[, on a x + ( 1 - )y  A + ( 1 - )A
Or on a >0 et ( 1 - )>0, donc A + ( 1 - )A =( + ( 1 - ))A = A.
Finalement x + ( 1 - )y  A.
Ce qui achève la démonstration.
Exercice 2 : Montrer que l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires
A = {x | Mx = b}, M ∈ Rm×n
et b ∈ Rm
, est un sous-espace affine de Rn
.
Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/Ryl1hk7ByJM)
On peut toujours écrire
M = (
m0,0 m0,1
m1,0 m1,1
⋯ m0,n
⋯ m1,n
⋮ ⋮
mm,0 mm,1
⋱ ⋮
⋯ mm,n
) 𝑒𝑡 b = (
b0
b1
⋮
bm
)
Posons
𝐌𝐢 = (
mi,0
mi,1
⋮
mi,n
)
On a

3. 3
𝐀 = {𝐱𝐑n
| 𝐌𝐱 = 𝐛} = ⋂ {𝐱𝐑n
| 𝐌𝐢 𝐱 = 𝐛𝐢}
𝐢=𝟎,𝐦
On en déduit que A est l’intersection de m sous-espaces affines de Rn
(en fait des hyperplans
de Rn
). Donc A est lui-même un sous espace affine de Rn
.
Exercice 3 : Soit A un ensemble convexe non vide de Rn
. Montrer que la couverture affine de
A notée aff(A) est égale à la couverture affine de intr(A).
Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/Ryl1hk7ByJM)
Comme intr(A)  A, alors aff(intr(A))  aff(A).
On va maintenant montrer que aff(A)  aff(intr(A)).
On peut supposer sans perte de généralité que aff(A) = Rn
. Soit x aff(A), donc
x= ∑αixi
n+1
i=1
, xi∈A, αi𝐑 , ∑αi
n+1
i=1
=1
Comme A est non vide, alors intr(A)=A
o
est non vide. Posons a A
o
. Puisque xi ∈A, i=1,n+1
alors [a , xi[  A
o
. Cela montre que nous avons nécessairement xi ∈aff(A
o
)= aff(intr(A)).
Donc x aff(intr(A)) comme combinaison affine d’éléments de aff(intr(A)).
Cela achève la démonstration.
Exercice 4 : Soit A un ensemble convexe avec A
o
non vide de Rn
et xA
o
. Soit D une droite de
Rn
qui passe par x.
c- Montrer que D∩A possède au plus deux points.
d- Montrer que si A est compact et x A
o
alors D∩A possède exactement deux points.
Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/IbNEyJtaKno)
a- Nous allons montrer que toute demi-droite issue de x ne peut rencontrer A qu’au
maximum un point. Soit L une telle demi-droite, on peut toujours écrire L={x+d, 0}
où d est un vecteur non nul de R
n
. Soit yL∩A, on peut écrire y=x+yd avec y0. On a
[x , y[  A
o
, donc {x+d, <y}∩A=.
En raisonnant de la même manière on peut montrer que {x+d, >y}∩A= car sinon y va
appartenir à A
o
, ce qui est en contradiction avec yA
Remarque : On peut déduire facilement de la démonstration précédente que si yL∩A, si et
seulement si y = x+y d avec y = Sup{0 | x+dA} est un nombre positif fini.

4. 4
b- On suppose que A est compact et x A
o
. Il existe d, un vecteur non nul de R
n
tel que
D={x+d, R}. D∩A est nécessairement un intervalle convexe et compact, qui peut
ainsi s’écrire [a , b] avec a = x-a d avec a = Sup{0 | x-dA} et b = x+b d avec
b = Sup{0 | x+dA}. D’après la question (a) il est facile de voir que D∩A={a , b}.
Exercice 5 : Soit A un ensemble ouvert relatif de Rn
. Montrer que conv(A) est un ouvert
relatif de Rn
.
Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/IbNEyJtaKno)
Pour simplifier la démonstration, on va supposer que A est ouvert dans R
n
.
Soit xconv(A), on peut écrire
x = ∑αixi
n+1
i=1
, xi∈A, αi ≥ 0, ∑αi
n+1
i=1
=1
A étant ouvert, on peut trouver >0 tel que B(xi, )A pour i=1,n+1.
On a
x  ∑αi
n+1
i=1
𝐁(xi , )  conv(A)
Or l'ensemble ∑ αi
n+1
i=1
𝐁(xi , ) est ouvert.
Finalement conv(A) est ouvert.