Dokumen tersebut membahas tentang program linear, sistem pertidaksamaan linier, dan grafiknya. Secara singkat, dibahas sejarah program linear, definisi program linier, langkah-langkah pembuatan model matematika dari suatu masalah, nilai optimum suatu fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok dan garis selidik."

2. PROGRAM LINEAR
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
DAN GRAFIKNYA
PERTEMUAN 2

3. Sejarah Linear Program (LP)
• LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematikawan Rusia,
A.N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi
Perencanaan”.
• Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam
persoalan Diit (kesehatan).
• Perkembangan berikutnya (1947), George D. Dantzig mengembang kan
solusinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita
kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dia seorang
matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala
Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan
sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan
amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem
pertidaksamaan linier.
• Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam
usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll.
• Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih su-perior dari
metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

4. DEFINISI PROGRAM LINIER (1)
• Program tidak ada hubungannya dengan program komputer.
• Program berarti memilih serangkaian tindakan/ perencanaan
untuk memecahkan masalah dalam membantu manajer
mengambil keputusan.
• Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi, dan
periklanan.
• Pimpinan perusahaan harus mampu memanfaatkan sumber
yang ada untuk menetapkan jenis dan jumlah barang yang
harus diproduksi sehingga diperoleh keuntungan maksimal
atau digunakan biaya minimal.

5. DEFINISI PROGRAM LINIER (2)
• Program linear dan variasinya merupakan kelompok teknik
analisis kuantitatif yang memakai model matematika (model
simbolik). Artinya setiap penyelesaian masalah harus
didahului dengan perumusan masalah ke dalam simbol-
simbol matematika.
• Dalam program linier, pada umumnya masalah berasal dari
dunia nyata kemudian dibentuk menjadi model simbolik yang
merupakan dunia abstrak yang dibuat mendekati kenyataan.
Dikatakan linear karena peubah-peubah pembentuk model
dianggap linear.

6. LANGKAH-LANGKAH (1)
1. Menentukan jenis permasalahan program linier
 Jika permasalahan membicarakan keuntungan
(profit), maka jenis permasalahan PL adalah
maksimalisasi.
 Jika permasalahan membicarakan biaya (cost), maka
jenis permasalahan PL adalah minimalisasi.
 Jika ada informasi tentang selisih antara hasil
penjualan (sales) dan biaya dengan pokok
pembicaraan profit, maka jenis permasalahannya
adalah maksimalisasi.

7. LANGKAH-LANGKAH (2)
2. Mendefinisikan peubah keputusan (decision variable), yaitu
pernyataan dalam permasalahan yang hendak dicari
penyelesaiannya
Beberapa hal yang harus diperhatikan adalah:
– Banyaknya koefisien peubah keputusan membantu dalam
mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan.
– Jika x dimisalkan sebagai peubah keputusan berkaitan dengan kursi
yang diproduksi, maka x ≠ kursi, tetapi x = banyaknya kursi yang
diproduksi.

8. LANGKAH-LANGKAH (3)
3. Merumuskan fungsi tujuan/sasaran
(objective function)
– Jenis permasalahan PL dan definisi peubah
keputusan akan merumuskan fungsi tujuan.
– Jika peubah keputusan terdefinisi dengan jelas,
maka fungsi tujuan akan mudah ditetapkan.

9. LANGKAH-LANGKAH (4a)
4. Merumuskan model kendala/syarat/
batasan (constraint)
Dua pendekatan umum perumusan model
kendala:
– Pendekatan “ruas kanan”
– Pendekatan “ruas kiri”

10. LANGKAH-LANGKAH (4b)
– Pendekatan ruas “kanan”
• Ruas kanan suatu kendala tunggal dan konstan.
• Maksimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “total sumber
daya yang ada”. Prosedur pembentukannya:
– Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda
pertidaksamaan dengan masing-masing total sumber daya,
biasanya “≤”.
– Kelompokkan peubah keputusan yang terkait di sebelah kiri
tanda pertidaksamaan .
– Tentukan koefisien setiap peubah keputusan. Model kendala
terbentuk.

11. LANGKAH-LANGKAH (4b)
• Minimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “minimal
sumber daya yang dibutuhkan”. Prosedur idem,
kecuali tanda pertidaksamaan, biasanya “≥”.
– Pendekatan “ruas kiri”
• Semua nilai koefisien dan peubah-peubah keputusan
disusun dalam bentuk matriks. Setelah matriks ini
terbentuk, identifikasikan nilai-nilai ruas kanan dan
tambahkan tanda pertidaksamaan.

12. LANGKAH-LANGKAH (5)
5. Menetapkan syarat non negatif
– Setiap peubah keputusan dari kedua jenis
permasalahan PL tidak boleh negatif (harus lebih
besar atau sama dengan nol)

13. MODEL DASAR PL
• Maksimumkan atau minimumkan:
Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn (1)
• Memenuhi kendala-kendala:
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn ≥ atau ≤ b1 (2)
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn ≥ atau ≤ bm
dan xj ≥ 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)

14. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel
• Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan
dengan persamaan yang berbentuk:
• Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear
dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum,
dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n
variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut :
• dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta
real
bxaxa =+ 2211
bxaxaxa nn =+++ ...2211

15. • Jika melibatkan lebih dari satu persamaan,
maka disebut dengan sistem persamaan
linear. Dapat dituliskan sebagai berikut :
•
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
...
...
2211
22222121
11212111


16. • Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi
dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan
linear, tanda “ = ” diganti dengan “ ≤ ”, “ < ”,
“ ≥ ”, “ > ”. Sebagai contoh, untuk
pertidaksamaan linear dua variabel
dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian
menggambar garis x + y = 2 dapat
digambarkan sebagai berikut :

17. Garis x + y =-2
x + y = -2
3
2
1
321
-3
0
-2

18. Daerah x + y > -2 ini diarsir seperti
pada gambar berikut :
Gambar 2.2
Daerah Penyelesaian x + y ≥ -2
x + y ≥ -2

19. Daerah x + y < -2 ini diarsir seperti
pada gambar berikut :
Gambar 2.2
Daerah Penyelesaian x + y ≤ -2
x + y ≤ -2

20. Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y
≤ 0, maka diperoleh gambar seperti berikut :
x + y > -2
HP
y ≤ 0
x ≤ 0
NEXT

21. Kuliah ke - 3

22. B. Model Matematika
• Sistem pertidaksamaan linear yang telah
dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada
permasalahan sehari-hari dengan
memodelkan permasalahan tersebut ke dalam
model matematika.

23. • Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba
Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda.
Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2
menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan
• 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya
melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4
menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan
800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan
maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil
keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban
motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban
sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini,
maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban
motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya
dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

24. • Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor
yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang
diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli.
Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut,
perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala
sebagai berikut :
(4).Persamaan0.........y0,x,Aslibilanganyx,
rsamaan(3)........Pe800.......10x3MesinPada
n(2)..Persamaa800.......4y8x2MesinPada
n(1)..Persamaa800.......5y2x1MesinPada
≥≥
≤
≤+
≤+

25. • Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk
memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) =
40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan
masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah
membuat model matematika dari suatu
masalah program linear.

26. DEFINISI
• Model matematika adalah suatu cara
sederhana untuk menerjemahkan suatu
masalah ke dalam bahasa matematika dengan
menggunakan persamaan, pertidaksamaan,
atau fungsi.
NEXT

27. C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif
• Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax +
by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum
atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk
menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian
dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik
pojok dan metode garis selidik. Bentuk umum dari fungsi
tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan
dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini
disebut fungsi objektif.
NEXT

28. C. 1. Metode Uji Titik Pojok
• Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan
menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah
berikut :
• a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala
dalam masalah program linear tersebut.
• b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
• c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu kedalam fungsi
objektif.
• d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai
terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y),
sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum
dari fungsi f(x, y).

29. Sebagai contoh maksimumkan keuntungan PT Samba
Lababan dari produksi ban dengan model matematika
f(x, y) = 40.000x + 30.000y.
Gambar 2.4
Daerah Penyelesaian yang memenuhi 2x + 5y ≤ 800;
8x + 4y ≤800; x ≥ 0; y ≥ 0
x ≥ 0
Daerah
kanan
x ≤ 800
2x + 5y ≤
800
y ≥ 0
Daerah atas
8x + 4y ≤
800

30. Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik
pada gambar di atas.
• Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).
• Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-
x.
Jadi, titik A(80, 0).
• Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x
+ 4y = 800
Substitusi x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800
y = 40
Jadi titik B(80, 40)
8004808 =+⋅ y

31. • Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan garis 2x
+ 5y = 800.
Dari 8x + 4y = 800 didapat y = 200 – 2x.
Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800
2x + 5 (200 – 2x) = 800
2x + 1000 – 10x = 800
-8x = -200
x = 25
Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 – 2x
y = 200 – 2.25
y = 150
Jadi titik C( 25, 150)

32. • Titik D adalah titik potong antara garis 2x +
5y = 800 dan sumbu-y.
Substitusikan x = 0 ke persamaan 2x + 5y =
800
2.0 + 5y = 800
5y = 800
y = 160
Jadi titik D(0, 160)

33. b. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x,y) =
40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini
maksimum

34. • Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai
maksimum fungsi objektif
f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) =
5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus
memproduksi 25 ban motor dan 150 ban
sepeda untuk memperoleh keuntungan
maksimum.
NEXT

36. C. 2. Metode Garis Selidik
• Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan
menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah
berikut.
• a. Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar
dengan garis
ax + by = k, a ≥ 0, b ≥ 0, dan kЄ R.
• b. Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada
koordinat Cartesius!
• c. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka
carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik
pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan
untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah
garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0)
dan berada pada daerah penyelesaian.
NEXT

37. 37