ejercicios de integrales, integrales definidas, solido de revolucion, teorema fundamental del calculo, etc

1. Universidad de Concepci´on
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de Matem´atica
Listado C´alculo II (527148)
Aplicaciones de la integral
C´alculo de ´areas y vol´umenes (secciones transversales, discos y anillos)
1. Calcular el ´area de la regi´on del plano limitada por las par´abolas y2
= 16−x e (y+2)2
= x+4.
2. Calcular el ´area de la regi´on del plano que se encuentra a la derecha de la recta x = 3 y acotada
por el eje X y la curva y =
1
x2 − 1
.
3. Calcular el ´area encerrada por la elipse de ecuaci´on
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
4. Utilizar el resultado del problema anterior y el m´etodo de las secciones transversales para hallar
el volumen acotado por el paraboloide el´ıptico z =
x2
16
+
y2
25
y el plano z = 8.
5. La base de un s´olido es la regi´on interior al tri´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 2) y (3, 0) y sus
secciones transversales perpendiculares al eje Y son semic´ırculos. Hallar el volumen del s´olido
usando el m´etodo de secciones transversales.
6. La base de un s´olido es la regi´on del primer cuadrante limitada por y = 1 −
x2
4
, el eje x y el
eje y. Sabiendo que las secciones transversales al eje x son cuadrados, determinar el volumen
de dicho s´olido.
7. Sea D la regi´on del plano limitada por las par´abolas y = x2
e y = 1 + x − x2
. Calcular:
a) El ´area encerrada por la regi´on D.
b) El volumen del s´olido generado al girar la regi´on D alrededor de la recta y = −1.
8. Sea R la regi´on del plano limitada por la par´abola y = x2
y la recta y = −x + 2. Calcular:
a) El ´area de dicha regi´on.
b) El volumen del s´olido generado al girar R alrededor del eje X.
c) El volumen del s´olido generado al girar R alrededor de la recta x = −2.
9. Sea R la regi´on del plano limitada por las curvas y = x3
e y = 2x − x2
.
a) Calcular el ´area de la regi´on R.

2. b) Determinar el volumen del s´olido generado al girar R alrededor del eje X.
10. Sea R la regi´on del primer cuadrante, limitada por las curvas y =
x2
5
, y = x2
y la recta
2x + y − 15 = 0.
a) Determinar el ´area de la regi´on R.
b) Determinar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al rotar dicha regi´on en
torno al eje Y .
11. Calcular el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al rotar la regi´on encerrada entre las
curvas y = x3
− x2
e y = 4x − 4 alrededor de la recta x = 2.
12. Calcular el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al girar la regi´on entre las curvas
y = (x − 2)2
+ 1 e y = x + 1 en torno a:
a) El eje X.
b) El eje Y .
c) La recta x = 4.
13. Determinar el volumen del s´olido generado al girar la regi´on limitada por las curvas y = sin x,
x + y =
π
2
+ 1 e y = 0, en torno al eje X.
14. Sea R la regi´on del plano limitada por la par´abola y = x2
y la recta y = mx (m > 0). Encontrar
el valor de m tal que los vol´umenes generados por la rotaci´on de R en torno al eje X y al eje Y
sean iguales.
15. Sea R la regi´on acotada entre las curvas y = x2
y y = 4 − x2
.
a) Calcular el ´area de R.
b) Hallar el volumen obtenido al rotar R en torno a la recta y = −1.
c) Hallar el volumen obtenido al rotar R en torno a la recta x = −3.
16. Utilizar discos y anillos calcular el volumen de un cono de radio r y altura h.
´Area de una superficie de revoluci´on
17. Probar, mediante integraci´on, que la superficie de un cono (manto y base) de altura h y base
circular de radio r est´a dada por:
S = πr(
√
r2 + h2 + r).

3. 18. Dada la elipse de ecuaci´on
x2
2
+ y2
= 1, encontrar el ´area del manto generado al rotar esta
elipse en torno al eje X entre x = −1 y x = 1.
19. Se denomina Trompeta de Gabriel al s´olido de revoluci´on generado al rotar en torno al eje x el
´area comprendida entre la curva f(x) =
1
x
, ∀x ≥ 1 y dicho eje. Probar que se trata de un s´olido
de ´area superficial infinita pero de volumen finito. Calcular dicho volumen.
Longitud de Arco
20. Usando integraci´on, verificar que la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) est´a dada por
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
21. Usando integraci´on, verificar que la longitud de una circunferencia de radio a es 2πa.
22. Considerar la curva parametrizada C(t), con t ∈ R, dada por:
x(t) = et
cos(t)
y(t) = et
sin(t)
Determinar a de modo que la longitud de la curva C(t) cuando t ∈ [0, a] sea exactamente
√
2.
23. Calcular la longitud de arco de la curva y = f(x), con 1 ≤ x ≤ 2 donde
f(x) =
x
1
√
t3 − 1dt.
24. ¿Cu´al es la longitud de la hipocicloide que tiene por ecuaciones param´etricas x(t) = cos3
t e
y(t) = sin3
t, donde t ∈ [0, 2π]?
25. Un m´ovil describe la curva:
x =
t
0
sin z
z + 1
dz; y =
t
0
cos z
z + 1
dz, t ≥ 0.
Calcular la distancia recorrida desde t = 0 hasta el primer instante en que el movimiento es
paralelo al eje X.
´Area en coordenadas polares
26. Determinar el ´area que est´a dentro de la circunferencia r = 5 cos θ, y fuera de la curva de
ecuaci´on r = 2 + cos θ.

4. 27. ¿Cu´al es el valor del ´area dentro del lazo mayor de la curva r = 1 − 2 sin θ que es exterior al
lazo menor de dicha curva?
28. Determinar el ´area dentro del lazo menor de la curva r = 1 + 2 cos θ.
29. Hallar el ´area interior a r1 = 1 + cos θ y exterior a r2 = 2 cos θ.
30. Encontrar el ´area de la regi´on barrida por el espiral r = θ, durante su tercera revoluci´on, y que
no fue barrida durante las revoluciones anteriores.
Otras aplicaciones
31. Hallar el centroide de la regi´on R, en cada uno de las siguientes casos:
a) El tri´angulo R con v´ertices en (0, 0), (9, 0 y (9, 6).
b) R est´a acotada por los gr´aficos de y = x2
e y = 4.
c) R es la porci´on acotada por la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 que se encuentra en el primer cuadrante.
d) R est´a acotada por las curvas y = x2
− 4, y = 2x − x2
y x = 0.
e) R es la regi´on bajo la curva y = ex
que se encuentra sobre el eje x, para 1 ≤ x ≤ 2.
32. Un objeto se mueve a lo largo del eje x desde x = 1 hasta x = 4 (unidades en metros),
suponiendo que la fuerza obedece a la ley F(x) = x3
+ 3x, calcular el trabajo efectuado.
33. Un cable de de 100 metros de longitud y con un peso de kg/m pende de una polea. Calcular el
trabajo necesario para levantarlo.
34. Un bote est´a anclado de modo que el ancla est´a 150 metros directamente debajo del eje en
que se enrrolla su cadena. El ancla pesa 3000 kg y la cadena 25 kg/m. Determinar el trabajo
necesario para levantar el ancla.
HPV/EGG
4 de Abril de 2011