TRASFORMAZIONI DI GALILEO VS LORENTZ

Trasformazion
di Galileo
vs Lorentz
prof.ssa
Veronica
Cavicchi
Introduzione
Quale
strada
seguire?
Il nostro
percorso
Le trasfor-
mazioni di
Galileo vs
le trasfor-
mazioni di
Lorentz
Bibliografia
TRASFORMAZIONI DI GALILEO VS LORENTZ
Riflessione su strategie e percorsi
prof.ssa Veronica Cavicchi
Liceo Scientifico di stato “A. Calini”
20 Marzo 2020
prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) Trasformazioni di Galileo vs Lorentz 20 Marzo 2020 1 / 46

Trasformazion
di Galileo
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Introduzione
Quale
strada
seguire?
Il nostro
percorso
Le trasfor-
mazioni di
Galileo vs
le trasfor-
mazioni di
Lorentz
Bibliograﬁa
Piano della presentazione
1 Introduzione
2 Quale strada seguire?
3 Il nostro percorso
4 Le trasformazioni di Galileo vs le trasformazioni di Lorentz
5 Bibliograﬁa

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Introduzione
Quale
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Il nostro
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Le trasfor-
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Bibliograﬁa
Punto di partenza
Fisica, una disciplina alla portata
di tutti
Lo studio della Fisica può essere
interpretato in una dimensione che
trascende le conoscenze teoriche, le
capacità di calcolo e le abilità
procedurali, come un’attitudine
naturale di ciascuna persona, perché
insita nell’uomo in quanto tale. Il
comportamento esplorativo risiede,
infatti, nella natura stessa dell’essere
umano.

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Bibliografia
Cosa faremo e perché? Dalle linee Indicazioni
Nazionali per i Licei
Il ruolo della Fisica
Saranno riprese le leggi del moto, affiancandole alla discussione dei
sistemi di riferimento inerziali e non inerziali e del principio di relatività
di Galilei. Il percorso didattico comprenderà le conoscenze sviluppate nel
XX secolo relative al microcosmo e al macrocosmo, accostando le
problematiche che storicamente hanno portato ai nuovi concetti di spazio
e di tempo, massa ed energia. Occorre prestare attenzione a utilizzare un
formalismo matematico accessibile e corretto, ponendo sempre in
evidenza i concetti fondanti. Lo studio della relatività ristretta di
Einstein permette di confrontarsi con la simultaneità degli eventi, la
dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze; l’aver affrontato
l’equivalenza massa – energia ci aiuterà poi a sviluppare
un’interpretazione energetica dei fenomeni nucleari (radioattività, fission,
fusione). (Cfr. Schema di regolamento recante Indicazioni Nazionali per i
percorsi liceali in riferimento all’art. 10, comma 3 del decreto del
Presidente della Repubblica 15 marzo 2010, n. 89, in relazione all’art. 2
commi 1 e 3)

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Bibliografia
Quattro diversi approcci alla relatività
Approccio cinematico algebrico: sintesi
Si basa sui due postulati di Einstein, il principio di relatività dei sistemi
di riferimento inerziali e l’invarianza della velocità della luce
(indipendenza del moto della sorgente), e conduce alla relatività della
simultaneità, alla dilatazione del tempo e alla contrazione delle
lunghezze, usando un’analisi operativa delle definizioni delle grandezze
fondamentali (simultaneità, lunghezza, tempo, velocità), con i classici
esempi di treni o astronavi in moto, ricavando il fattore γ = 1
1− v2
c2
. Si
dimostrano le trasformazioni di Lorentz e l’invarianza dell’intervallo
spazio – tempo e le formule relativistiche della quantità di moto e
dell’energia cinetica. Occorre definire operativamente la simultaneità, per
costruire un reticolo di orologi sincronizzati, alla base anche di misure di
lunghezza, che definisce un sistema di riferimento. Si sottolinea la
differenza fra la misura di un oggetto fermo, basata sul confronto diretto
con un regolo campione, e di un oggetto in moto, per cui è necessario
disporre di orologi sincronizzati. Porta alla concezione dello spazio –
tempo come sfondo unitario, invece che come concetti separati.

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Bibliograﬁa
Approccio cinematico algebrico: manuali di riferimento
AMALDI U., L’Amaldi per i licei scientiﬁci.blu. Induzione e onde
elettromagnetiche. Relatività e quanti. Vol. 3, editore Zanichelli,
Bologna
FABBRI S., MASINI M., BACCAGLINI E., Quantum. Vol. 3,
editore SEI, Torino
HIDEO N., MASAFUMI Y., KEITA T., TREND-PRO CO., LTD,
I manga delle Scienze. Relatività, ed. Le Scienze, Milano
RESNICK R., Introduzione alla relatività ristretta, editore Casa
Editrice Ambrosiana, Milano
STYER D.F., Capire davvero la relatività, editore Zanichelli
TIPLER P.A., Invito alla Fisica, editore Zanichelli, Bologna
TIBONE F., REGGE T., Relativitapp, editore Zanichelli, Bologna
WALKER J.S., Fisica. Modelli Teorici e Problem Solving. Vol. 3,
editore Linx - Person, Milano

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Bibliografia
Approccio cinematico geometrico: sintesi
Si sviluppa uno studio sistematico dello spazio – tempo come nuova
geometria quadrimensionale. Ci si basa sull’invarianza dell’intervallo di
spazio – tempo ds2
= c2
· dt2
− dx2
− dy2
− dz2
in analogia con
l’invarianza della distanza dx2
+ dy2
+ dz2
della geometria euclidea
tradizionale, sottolineando il ruolo delle quantità invarianti nelle
trasformazioni più che sugli effetti di variazione sulle componenti spaziali
e temporali. La geometria dello spazio – tempo è vista in connessione
con gli elementi della relatività generale, intesa come teoria geometrico –
dinamica della gravitazione. In questo quadro, la relatività ristretta è
vista come un caso particolare, valido solo in assenza di gravitazione e, in
base al principio di equivalenza si definisce un sistema inerziale come un
sistema in moto gravitazionale libero. La dinamica relativistica è
sviluppata ridefinendo le grandezze quantità di moto e energia, tramite il
quadrivettore momento – energia, costruito mediante invarianti. Si
distingue per la compattezza teorica, per la sistematicità e la coerenza
concettuale. Il punto debole è nella presentazione di una struttura
geometrica che viene chiarita solo a posteriori.

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Bibliograﬁa
Approccio cinematico geometrico: manuali di riferimento
DE AMBROSIS A, LEVRINI O., Insegnare relatività ristretta a
scuola: esigenze degli insegnanti e proposte innovative, GIORNALE
DI FISICA, VOL. XLVIII, N. 4 Ottobre–Dicembre 2007
FABRI E., Insegnare Relatività nel XXI secolo, Quaderno 16, AIF,
gennaio – marzo 2005 editore La Fisica nella Scuola, Cremona
LEVRINI O., Relatività ristretta e concezioni di spazio,
GIORNALE DI FISICA, VOL. XL, 1999.
TAKEUCHI T., An Illustrated Guide to Relativity, editore
Cambridge University Press, Cambridge
TAYLOR E.F., WHEELER J.A., Fisica dello Spazio Tempo.
Introduzione alla relatività speciale, editore MEDEA, Pavia
TAYLOR E.F., WHEELER J.A., Spacetime Physics. Introduction
to special relativity, editore W.H.Freeman an Company, New York
Applicazione con Geogebra (Spazio - tempo di Minkowski).

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Bibliografia
Approccio dinamico sperimentale: sintesi
Si introducono subito le nuove acquisizioni della dinamica relativistica,
motivate con la necessità di adattare la teoria classica ai nuovi risultati
sperimentali, ottenuti in caso di velocità elevate. Ci si concentra sulla
scoperta di una velocità limite, uguale alle velocità della luce. Si
trascurano, inizialmente, la questione dell’invarianza della velocità della
luce e la relazione fra i sistemi di riferimento in moto, e si studiano i
problemi dinamici in un sistema di riferimento fisso. Un punto di
partenza è la discussione dell’esperimento di Bertozzi, un filmato del
PSSC,che mostra l’esistenza di una velocità limite e che la formula
classica dell’energia cinetica non è valida ad alte velocità e deve essere
modificata secondo la formula relativistica Ek = mc2
(γ − 1)γ si
introducono le formule per la quantità di moto, si usa la legge di Newton
in cui la forza è la derivata temporale della quantità di moto nel tempo
si ricava E2
. La logica seguita è agli antipodi del metodo di Einstein: la
formula dell’energia cinetica è ottenuta direttamente dall’esperimento
come una relazione fenomenologica tra grandezze.

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Bibliograﬁa
Approccio dinamico sperimentale: manuali di riferimento
TIBONE F., PEZZI G., La Fisica secondo il PSSC, editore
Zanichelli, Bologna
BERTOZZI W., La velocità limite. Una ricerca con elettroni ad
alta energia, Massachusetts Institute of Technology (La velocità
limite).

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Bibliografia
Approccio storico: sintesi
L’obiettivo di questo approccio è far comprendere il contesto e i problemi
scientifici nel cui ambito si è sviluppata la relatività. Un percorso di
questo tipo prende spunto da un’analisi delle difficoltà della fisica
classica alla fine del XIX secolo, in particolare i problemi posti
dall’elettromagnetismo (moti relativi negli esperimenti di induzione
elettromagnetica, velocità della luce fissata dalle costanti elettriche e
magnetiche c = 1√
ε0µ0
, non invarianza delle equazioni di Maxwell per le
trasformazioni di Galileo), il ruolo dell’etere, gli esperimenti di Michelson
e Morley, e le contraddizioni tra meccanica ed elettromagnetismo. Si può
sviluppare un percorso sulle misure storiche della velocità della luce e
discutere gli indizi contenuti nelle aberrazioni stellari e gli esperimenti di
Fizeau (ipotesi del trascinamento parziale dell’etere), discutere le prime
ipotesi di Lorentz e Fitzgerald per risolvere questi problemi nella fisica
classica, le idee di Poincaré e i lavori di Einstein del 1905, analizzare il
significato e le conseguenze delle formule sulla relazione tra massa ed
energia, le resistenze dell’ambiente scientifico ad accogliere nuove idee, le
implicazioni filosofiche, il dibattito epistemologico.

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Bibliografia
Approccio storico: manuali di riferimento
BELLONE E., Caos e Armonia, editore UTET, Torino
EINSTEIN A., INFELD L., L’evoluzione della Fisica, editore
Bollati Boringhieri, Torino
EINSTEIN A., Come io vedo il mondo; La Teoria della Relatività,
editore Newton Compton, Roma
EINSTEIN A., Relatività: Esposizione divulgativa, editore Bollati
Boringhieri,Torino
GAMOW G., Biografia della Fisica, editore Mondadori, Milano
GALISON P., Gli orologi di Einstein, le mappe di Poincaré. Imperi
del tempo. editore Cortina Raffaello, Milano
REGGE T., Peruzzi G., Spazio, tempo e universo. Passato,
presente e futuro della relatività, editore UTET, Torino

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Lorentz
Bibliografia
Sguardo d’insieme
Cosa faremo?
Dal momento che ne parliamo nel nostro liceo, che è scientifico,
partiremo da un approccio cinematico algebrico e faremo solo un accenno
anche ad alcuni aspetti trattati in tutti gli altri tre approcci rimanenti.
Principali difficoltà che potreste incontrare studiando
questo argomento
Non capire il ruolo dei sistemi di riferimento, la relatività della
simultaneità e l’ordine temporale degli eventi. Utilizzare l’interpretazione
classica applicata anche alle trasformazioni relativistiche.
Argomenti facoltativi. . . se ci resta tempo e se volete fare
una ricerca e proporla voi
L’effetto doppler relativistico. La quantità di moto e l’energia
relativistica.

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Bibliograﬁa
Percorso di apprendimento
Trasformazioni di Galileo (un ripasso). I postulati della relatività
ristretta. La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze. La
vita media di un muone. Il paradosso dei gemelli. La necessità di
introdurre le trasformazioni di Lorentz (cenni storici). Veriﬁca delle
trasformazioni di Lorentz a partire dalla contrazione delle lunghezze e
dalla dilatazione dei tempo. La relatività della simultaneità. La
conservazione della causalità. La composizione relativistica della
relatività. Lo spazio tempo e gli invarianti relativistici. Il GPS e la
relatività. Confronto tra i diagrammi spazio tempo delle trasformazioni
galileiane e quelle di Lorentz.

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Bibliograﬁa
Obiettivi didattici
Prerequisiti
Relatività galileiana. Sistemi di riferimento inerziali. Trasformazioni di
coordinate. Invarianti. Legge non relativistica di addizione delle velocità.
Conoscenze
Dalla relatività galileiana alla relatività ristretta. I postulati della
relatività ristretta. Relatività della simultaneità degli eventi. Dilatazione
dei tempi e contrazione delle lunghezze. Evidenze sperimentali degli
eﬀetti relativistici. Trasformazioni di Lorentz. Legge di addizione
relativistica delle velocità; limite non relativistico: addizione galileiana
delle velocità. L’invariante relativistico. La conservazione della quantità
di moto relativistica. Massa ed energia in relatività.

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Bibliografia
Traguardi di competenza
Abilità
Applicare le relazioni sulla dilatazione dei tempi e contrazione delle
lunghezze e saper individuare in quali casi si applica il limite non
relativistico. Utilizzare le trasformazioni di Lorentz. Applicare la legge
di addizione relativistica delle velocità. Risolvere problemi di cinematica
e dinamica relativistica. Applicare l’equivalenza massa-energia in
situazioni concrete tratte da esempi di decadimenti radioattivi, reazioni
di fissione o di fusione nucleare. Illustrare come la relatività abbia
rivoluzionato i concetti di spazio, tempo, materia e energia.
Competenze
Saper mostrare, facendo a riferimento esperimenti specifici, i limiti del
paradigma classico di spiegazione e interpretazione dei fenomeni e saper
argomentare la necessità di una visione relativistica. Saper riconoscere il
ruolo della relatività in situazioni sperimentali e nelle applicazioni
tecnologiche. Essere in grado di comprendere e argomentare testi
divulgativi e di critica scientifica che trattino il tema della relatività.

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Bibliograﬁa
Metodologie utilizzata
Progettazione della lezione
Utilizzo delle tecnologie
Cosa potrete utilizzare da casa oltre al nostro ambiente di e-learning?
Relativitapp, Geogebra, Youtube ed il software Real Time
Relativity, verranno utilizzati sia in attività di scoperta guidata, sia
in attività di veriﬁca e controllo dei risultati ottenuti. Saranno inoltre
installati software (Mindmaple e CmapTool) per creare mappe
concettuali.

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Bibliografia
Ultime osservazioni preliminari
Lo sviluppo del pensiero critico
A cosa serve?
Alcuni processi di pensiero sono fondamentali per l’analisi e la ricerca ed è a questi che la
Fisica deve condurvi: . . .
Sollevare in maniera cosciente le domande: “Che cosa sappiamo? Come facciamo a
saperlo? . . . Perché accettiamo o crediamo che. . . ? Quali sono le prove per. . . ?”.
Distinguere tra osservazione e deduzione, tra fatti stabiliti e congetture che ne
conseguono.
Riconoscere che le parole sono simboli per esprimere le idee, e non le idee stesse. I
concetti evolvono.
Indagare sulla presenza di ipotesi (implicite ed inespresse) alla base di una linea di
ragionamento.
Dedurre conseguenze da dati, osservazioni, o altri tipi di prove e riconoscere
quando non si possono trarre conclusioni sicure.
Eseguire un ragionamento ipotetico – deduttivo.
Distinguere tra ragionamento induttivo e deduttivo; cioè, sapere quando una
discussione viene condotta dal particolare al generale, o dal generale al particolare.
Verificare la consistenza interna della propria linea di ragionamento e delle proprie
conclusioni, e sviluppare così la fiducia in se stessi.
Sviluppare una autocoscienza dei propri processi di riflessione e di ragionamento
(riflessione metacognitiva).
L’attitudine a pensare in questi termini e la percezione dell’importanza di tali aspetti sono
una manifestazione concreta della mentalità scientifica e della capacità di pensiero critico.

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Bibliografia
Prima fase di ripasso
Le trasformazioni di Galileo
Ogni affermazione riguardante i fenomeni naturali deve avere un
riscontro oggettivo sperimentale.
Ogni esperimento di meccanica coinvolge misure di spazio e di
tempo.
Per misurare la posizione di un oggetto nello spazio occorre un
sistema di riferimento e per misurare il tempo che trascorre fra un
evento e l’altro occorre un orologio.
Rispetto ad un sistema cartesiano tridimensionale la posizione di
un punto è determinata dai tre numeri che si ottengono mandando
le rette perpendicolari ai tre spigoli suddetti e misurando le
distanze fra l’origine ed i tre punti così ottenuti.
Vale il principio di inerzia e la definizione di sistema di riferimento
inerziale.
Il principio di relatività galileiano asserisce che le leggi della fisica
sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.

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Bibliograﬁa
Supponiamo che:
1 I due regoli ed i due orologi siano identici ed i due orologi misurino il tempo con
errori trascurabili
2 In un certo istante i due sistemi coincidano (O = O’) ed in quell’istante gli orologi
vengano sincronizzati ed t = t’ = 0).
3 Consideriamo ad un certo istante t un punto P dello spazio. Rispetto a S esso ha le
coordinate P(x,y,z). Rispetto a S’ esso ha le coordinate P’(x’,y’,z’).
4 Ipotizziamo che il tempo scorra in maniera identica nei due orologi, così come
l’esperienza comune ci insegna, ossia t = t’.

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Bibliograﬁa
Poiché nel tempo t il sistema S’ compie uno spostamento V · t rispetto a
S, le relazioni matematiche fra le coordinate (x,y,z) e (x’,y’,z’) sono.



x = x + v · t
y = y
z = z
t = t
Queste relazioni sono chiamate le trasformazioni di Galileo ed esprimono
come sono legate matematicamente le coordinate ed il tempo rispetto a
due sistemi di riferimento inerziali in moto uniforme uno rispetto
all’altro, partendo dal presupposto che il tempo sia assoluto, cioè
indipendente dai sistemi di riferimento.

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Lorentz
Bibliograﬁa
Una importante conseguenza delle trasformate di Galileo è la
composizione delle velocità: se P si muove con velocità vx rispetto a S’,
esso verrà visto muoversi da S con velocità V + vx. Matematicamente,
ciò signiﬁca calcolare la derivata prima delle trasformate di Galileo
rispetto al tempo, ma per semplicità si può scrivere, usando i valori medi:



∆x
∆t
= ∆x
∆t
+ v
∆y
∆t
= ∆y
∆t
∆z
∆t
= ∆z
∆t
ovvero 


vx = vx + v
vy = vy
vz = vz

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Bibliografia
Se il punto P si muove rispetto a S’ di moto accelerato, esso verrà visto
muoversi rispetto a S con la stessa accelerazione. Da ciò si deduce che
le accelerazioni sono assolute. Matematicamente, ciò si verifica facendo
la derivata seconda delle trasformate di Galileo rispetto al tempo:



∆vx
∆t
=
∆vx
∆t
+
∆v
∆t
=0
=
∆vx
∆t
∆vy
∆t
=
∆vy
∆t
∆vz
∆t
=
∆vz
∆t
Poiché per la 2 legge della dinamica l’accelerazione è proporzionale alla
forza F = ma e l’accelerazione è la stessa nei due sistemi di riferimento
inerziali, si verifica così il principio di Relatività galileiana: le leggi della
fisica devono essere identiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Sarebbe utile a questo punto vedere il filmato di il filmato di
Esso e del PSSC sui sistemi di riferimento

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Bibliograﬁa
Seconda fase di scoperta
Presentazione della situazione problema
I vulcani Rainier e Hood, che distano tra loro 300 km nel loro sistema di
riferimento a riposo eruttano improvvisamente. L’eruzione avviene nello
stesso istante nel riferimento di un sismologo che si trova in un
laboratorio a metà strada fra i due vulcani. Un’astronave vola a una
velocità costante v = 0.8 c da Rainier verso Hood e si trova proprio
sopra il Rainier mentre il vulcano erutta. Si chiede se per l’osservatore
sull’astronave l’eruzione dei Rainier avviene prima, dopo o nello stesso
tempo dell’eruzione del Hood. Stessa domanda per un altro sismologo
che si trova in un laboratorio alla base del monte Rainier.
Potete usare il software Real Time Relativity. Dedicheremo gli
ultimi dieci minuti al confronto su quanto emerso. Chi vuole espone la
possibile soluzione al problema proposto. Si può anche utilizzare
l’applicazione Relativitapp,

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Lorentz
Bibliograﬁa
Seconda fase di lezione partecipata
Formalizzazione del modello

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Bibliografia
Invarianza delle leggi fisiche (relatività einsteniana)
Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento
inerziali
Definizione (Costanza della velocità della luce)
La velocità della luce nel vuoto, c = 3, 0 · 108 m
s
, è la stessa in tutti i
sistemi di riferimento inerziali ed è indipendente dal moto della sorgente
e da quello dell’osservatore
Conseguenze
Affinché le osservazioni fatte sulla velocità della luce siano valide, il
comportamento dello spazio e quello del tempo, quando le velocità si
avvicinano a quelle della luce devono essere diversi da quelli
dell’esperienza quotidiana.
Sarebbe utile vedere il filmato di il filmato di Esso e del PSSC sulla
velocità limite

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Bibliograﬁa
Terza fase di lezione partecipata
Introduzione alle trasformazioni di Lorentz
Attraverso l’applicazione Relativitapp vengono presentati:
la relatività del tempo e la dilatazione degli intervalli temporali;
la relatività delle lunghezze e la contrazione delle lunghezze
la relatività della simultaneità

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Bibliograﬁa
Terza fase di lezione partecipata

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Bibliografia
Quarta fase di approfondimento a gruppi
Applicazioni nella Vita . . .
Vi dividete in gruppi e a ciascun gruppo affronta una
tematica di approfondimento, che dovrà essere trattata a
partire dalla relatività e confluire in una presentazione di
gruppo da condividere in Classroom ed in una relazione
individuale che consegnerete nella sezione dei compiti:
il paradosso dei gemelli;
la navigazione GPS;
l’esperimento di J.C. Hafele e R.E.Keating;
il decadimento di un muone;
la conservazione della causalità.
effetto doppler relativistico.
.

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Lorentz
Bibliografia
Quinta fase di lezione partecipata
Definizione (Le trasformazioni di Lorentz)
Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni tra le coordinate
spaziali e temporali che sostituiscono le trasformazioni di Galileo in
ambito relativistico. Le trasformazioni di Lorentz sono trasformazioni di
coordinate che, a differenza delle trasformazioni di Galileo conservano la
formulazione delle equazioni di Maxwell. Introducono il concetto di
tempo locale anticipando in questo Einstein, ma senza giustificarlo o
spiegarne il significato.
Conseguenze
Le trasformazioni di Lorentz possono essere dedotte a partire dai
postulati di Einstein e dalle due conseguenze principali di questi: la
dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze. A partire dalle
trasformazioni di Lorentz si verifica l’esistenza di un’invariante,
l’intervallo spazio - temporale o distanza quadrimensionale nello spazio –
tempo, si descrive il cono di luce nello spazio – tempo di Minkowski,
mettendo in risalto la relazione tra eventi nello spazio e nel tempo.

Trasformazion
di Galileo
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Veronica
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Introduzione
Quale
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Le trasfor-
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Galileo vs
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Bibliografia
Come sono nate queste trasformazioni?
Prendono il nome da Lorentz, ma il primo tentativo di formulazione risale
a W. Voight nel 1887. Lo scopo era quello di trovare delle trasformazioni
di coordinate che consentissero alle equazioni dell’elettromagnetismo, in
particolare alle equazioni di Maxwell, di assumere una forma invariante.
La prima formulazione corretta e completa è dovuta a J. Larmor nel
1897, due anni prima di Lorentz. Successivamente, H. A. Lorentz
pubblica la sua versione finale nel 1904, anche se la pubblicazione
avviene dopo che H. Poincaré nesviluppa la formulazione simmetrica e le
battezza Trasformazioni di Lorentz. Nel 1905 Einstein le ricava
utilizzando gli assiomi della relatività e chiarendone il significato.
Il concetto di evento
Per arrivare a formulare le trasformazioni di Lorentz e dedurle dai
postulati di Einstein, occorre definire il concetto di evento come qualcosa
che accade nello spazio e nel tempo, caratterizzato da coordinate spaziali
e temporali, che non possono essere considerate separamente.

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Bibliograﬁa
Si utilizzano le coordinate spazio – temporali, cioè le coordinate spaziali
x, y, z di un punto in un particolare istante t considerato in un
particolare sistema di riferimento S: E (x, y, z, t). Un evento può essere
misurato in diversi sistemi di riferimento, per esempio S ed S’, che
portano ad esprimere l’evento nelle coordinate:
E (x, y, z, t) ed E’ = (x’, y’, z’, t’)
Le trasformazioni di Lorentz mettono in relazione le coordinate spazio –
temporali di un evento in un sistema di riferimento con le coordinate
spazio temporali in un altro sistema di riferimento.

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Bibliograﬁa
Prendiamo due sistemi di riferimento S ed S’, che misurano l’evento P,
ipotizziamo che il sistema di riferimento O’ sia in moto con velocità v
verso destra. Siamo solidali con S. La velocità relativa è la stessa per i
due sistemi. Le coordinate spaziali dell’evento P sono date dalla
lunghezza di OP visto come somma di OO’ e di O’P.
OO = v · t, se all’istante t = 0 era O ≡ O .
La lunghezza del vettore O’P è la coordinata di P in O’(x’,y’) ed è una
lunghezza propria in S’, ma in S risulta divisa per γ, dove γ = 1
1− v2
c2
,
a causa della contrazione delle lunghezze, quindi:
O P =
xp
γ
. In modo simile possiamo ragionare se fossimo solidali con S’.

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Bibliograﬁa
Otteniamo le due relazioni:
xp = OP = OO + O P = v · t +
xp
γ
xp = O P = OP − OO =
xp
γ
− v · t
Da queste relazioni, risolvendo il sistema con il metodo di sostituzione, si
trova la relazione tra il tempo t’ e le coordinate spazio – temporali in S,
sostituendo t’ nella seconda equazione si ricava il legame tra x’ ed x.

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Lorentz
Bibliograﬁa
xp = OP = OO + O P = v · t +
xp
γ
xp = O P = OP − OO =
xp
γ
− v · t
xp = v · t +
1
γ
xp
γ
− v · t
⇒ t = γ t −
v · xp
c2
Sostituento t’ nella seconda equazione, si ottiene:
xp =
xp
γ
− v · γ t −
v · xp
c2
⇒ xp = γ(xp − vt)

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Bibliograﬁa
Le trasformazioni di Lorentz
Le relazioni appena trovate sono le relazioni che intercorrono tra le
coordinate di un sistema S e le coordinate dello stesso evento nel sistema
S’. Sono le Trasformazioni di Lorentz:



x = γ(x − v · t)
y = y
z = z
t = γ t − v·x
c2
Da cui, per simmetria, è possibile ricavare le Trasformazioni di Lorentz
inverse: 


x = γ(x + v · t )
y = y
z = z
t = γ t + v·x
c2

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Lorentz
Bibliograﬁa
Le trasformazioni di Galileo come caso particolare di
quelle di Lorentz
Le relazioni di Lorentz includono come caso particolare le trasformazioni
di Galileo, quando c → ∞ oppure quando v c, perché, in questo caso,
γ 1.



x = γ(x − v · t)
y = y
z = z
t = γ t − v·x
c2
Otteniamo: 


x = x − v · t
y = y
z = z
t = t

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Bibliograﬁa
Sesta fase di lezione partecipata
Confronto dei modelli dello spazio – tempo: Le trasformazioni di Galileo

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Bibliograﬁa
Settima fase autovalutazione
Attività in modalità CLIL
Momento di autovalutazione in CLIL on line attraverso la piattaforma
Relativity Concept Inventory (RCI)

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Bibliograﬁa
Risolvi gli esercizi seguenti:
1 Il fattore che lega la lunghezza di un oggetto che si muove con
velocità v alla lunghezza dello stesso oggetto in un sistema di
riferimento in cui esso è fermo è:
1
1+ v2
c2
1 − v2
c2
1
1+ v2
c2
1
1− v2
c2
2 In linea di principio, è possibile per un osservatore correre dietro a
un lampo di luce a velocità così elevata da vedere la luce quasi
ferma o molto lenta. Vero o falso? [Falso]
3 La nostra galassia ha un diametro di circa 100 000 anni luce.
Viaggiando a una velocità molto elevata, prossima a quella della
luce, sarebbe possibile per una persona attraversare tutto il
diametro della galassia durante la sua vita. Vero o falso? [Vero]

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Bibliograﬁa
Esempio di un problema complesso. . . carica la
soluzione nello stream del corso
Circa 30 anni fa, nellagosto 2206, quattro amici vissero, sulla Terra, l’istante magico in
cui la ﬁaccola di Olimpia, incendiando il grande braciere nello stadio di Città del Capo,
inaugurava i giochi pansolari. I nostri amici, allora giovani poliziotti, facevano parte del
servizio d’ordine. Franco era nello stadio, a tutela dei tifosi i quali, come lui, attendevano
che su Plutone (5,00 ore-luce di distanza dalla Terra) si desse (esattamente 3,00 ore dopo
l’inaugurazione avvenuta sulla Terra, come ricorda Franco, che ha ottima memoria) il
calcio d’inizio della prima partita dei giochi. Michele, Antonio e Giuseppe, gli altri tre
amici, facevano invece parte di 3 distinte pattuglie di ricognizione, in viaggio da Città del
Capo verso Plutone a velocità diverse, ma costanti; i tre viaggiatori passarono sopra lo
stadio di Città del Capo nell’istante in cui si incendiò il braciere. I ricordi dei 3 amici
però non coincidono con quelli di Franco:
1 Michele ricorda che il calcio d’inizio su Plutone e l’incendio del braciere sulla Terra
avvennero nella stessa coordinata temporale;
2 Antonio asserisce che l’inizio della partita su Plutone avvenne in una coordinata
temporale precedente di 1,00 ore rispetto a quella dellincendio del braciere;
3 Giuseppe invece ricorda che i due eventi avvennero in istanti diversi ma nella stessa
coordinata spaziale.
Rispondi ai seguenti quesiti:
Uno dei tre viaggiatori ricorda sicuramente male: chi?
Gli altri due potrebbero aver ragione, purché le loro rispettive velocità nel viaggio
Terra - Plutone avessero due particolari valori: quali?
Quanto vale l’invariante spazio temporale dei due eventi? Commenta il risultato.
Motiva le risposte ai quesiti con gli opportuni riferimenti teorici e con gli opportuni
calcoli.

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Bibliografia
Il senso di apprendere
Parafrasando Alessandro Baricco. . .
“Non c’è mutazione che non sia governabile. Abbandonare il paradigma dello scontro di
civiltà [e di epistemologie] e accettare l’idea di una mutazione in atto non significa che si
debba prendere quel che accade così com’è, senza lasciarci l’ombra del nostro passo. Quel
che diventeremo [e che voi ragazzi diventerete] continua ad essere figlio di ciò che
vorremmo diventare [di ciò quindi che vorrebbero essere]. Così diventa importante la cura
quotidiana, l’attenzione, il vigilare. Tanto inutile e grottesco è il restare impettito di
tante muraglie avvitate su un confine che non esiste, quanto utile sarebbe piuttosto un
intelligente navigare nella corrente, capace ancora di rotta, e di sapienza marinara. Non è
il caso di andare giù come sacchi di patate. Navigare, sarebbe il compito. Detto in
termini elementari, credo che si tratti di essere capaci di capire cosa, del mondo vecchio [i
nostri sistemi di convinzioni], vogliamo portare fino al mondo nuovo [cogliendo i sistemi di
convinzioni che avete voi ragazzi nel cuore, per un dialogo autentico]. Cosa vogliamo che
si mantenga intatto pur nell’incertezza di un viaggio oscuro. I legami che non vogliamo
spezzare [anche con i nostri valori e le nostre esperienze], le radici che non vogliamo
perdere, le parole che vorremmo ancora sempre pronunciare, e le idee che non vogliamo
smettere di pensare [perché ci dicono chi siamo]. È un lavoro raffinato. Una cura [che
trasforma tutti]. Nella grande corrente, mettere in salvo ciò che ci è caro [senza paura di
perdersi nel rapporto con l’altro]. È un gesto difficile perché non significa, mai, metterlo
in salvo dalla mutazione, ma, sempre nella mutazione [costruendo un Sapere nuovo].
Perché ciò che si salverà non sarà mai ciò che abbiamo tenuto al riparo dai tempi, ma ciò
che abbiamo lasciato mutare, perché ridiventasse sé stesso in un tempo nuovo.”

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Bibliografia
Riferimenti bibliografici
ARONS A. B., Guida all’insegnamento della Fisica, Editore
Zanichelli, Bologna
BERTOZZI W., La velocità limite. Una ricerca con elettroni ad
alta energia, Massachusetts Institute of Technology (La velocità
limite).
BESSON U., Didattica della Fisica, Editore Carrocci, Roma
CASTOLDI M., Progettare per competenze, Editore Carrocci,
Roma
CASTOLDI M., Valutare e certificare le competenze, Editore
Carrocci, Roma
CAVICCHI V., Storia e didattica della Matematica, Editore
Aracne Editrice, Ariccia (Roma)
TAKEUCHI T., An Illustrated Guide to Relativity, editore
Cambridge University Press, Cambridge
TIBONE F., REGGE T., Relativitapp, editore Zanichelli, Bologna
WALKER J.S., Fisica. Modelli Teorici e Problem Solving. Vol. 3,
editore Linx - Person, Milano

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