1. INSIEMI NUMERICI
(lezione 2)
Argomenti da trattare nella seconda lezione (durata 2 ore di intervento con esercitazione).
1. AMPLIAMENTO DELL’INSIEME DEI NUMERI NATURALI
Nello studio delle operazioni con i numeri naturali abbiamo rilevato che, mentre le operazioni
dirette (addizione e moltiplicazione) possono sempre eseguirsi, qualunque siano i numeri
naturali con i quali si opera, le operazioni inverse invece possono eseguirsi solo se sono
verificate determinate condizioni.
Per rendere possibile la sottrazione anche nei casi in cui il minuendo è minore del sottraendo
dobbiamo ampliare l’insieme dei numeri naturali introducendo dei numeri dotati di segno meno
e per questo detti numeri negativi.
Potremo così dire che, per esempio, è 7 – 10 = – 3 ; 2–8=–6.
I numeri che abbiamo fin qui considerato sono detti, per contrapposizione, positivi.
Gli infiniti numeri interi positivi, negativi e lo zero formano l’insieme dei numeri interi
relativi.
Indicheremo con Z tale insieme, la cui rappresentazione per elencazione è
Z = {…, -2, - 1, 0, +1, +2, …}.
L’insieme N risulta, in tal modo, un sottoinsieme dell’insieme Z:
N ⊆ Z oppure Z ⊇ N.
Ricordiamo che nelle proprietà delle potenze viste in precedenza abbiamo escluso il caso in cui
l’esponente del divisore sia maggiore dell’esponente del dividendo, ora con l’introduzione dei
numeri relativi non sarà più così. Infatti, si voglia determinare, ad esempio, il quoziente
34 : 36 che può anche scriversi 34/36.
Per la proprietà invariantiva della divisione, se si divide dividendo e divisore per 34 il quoziente
non cambia; si ha così
34/36 = (34:34)/(36:34) = 1/36 – 4 = 1/32.
Se, invece, si vuole applicare la proprietà delle potenze ricordata prima, considerandola valida
qualsiasi siano gli esponenti dei due termini della divisione, si ottiene
34:36 = 34 – 6 = 3 – 2 .
Quindi risulta 3 – 2 = 1/32.
In generale a – n = 1/an e concluderemo, quindi, che
La potenza ad esponente negativo è uguale alla frazione che ha per numeratore l’unità e per
denominatore la potenza della stessa base con l’esponente positivo.
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2. Insiemi numerici (lezione 2)
Abbiamo visto che non sempre fra due numeri naturali, presi in un dato ordine, esiste il loro
quoziente esatto. Ad esempio, se vogliamo dividere 5 stecche di cioccolata, in numero uguale,
fra due ragazzi dobbiamo eseguire la divisione 5 : 2 e questa dà per quoziente approssimato il
numero intero 2 e per resto 1. Ciò significa che dando ai ragazzi 2 stecche ciascuno, ne resta
una da dividere. Per superare questa difficoltà e dividere egualmente tutte le stecche di
cioccolata non ci resta che dividere a metà la stecca rimasta e darne un pezzo a ciascuno dei
due ragazzi, così ognuno di essi avrà 2 stecche intere e una mezza stecca.
Il problema dunque si è potuto risolvere soltanto dividendo l’unità (stecca di cioccolata) in parti
uguali.
Il problema non si sarebbe potuto risolvere se al posto della stecca di cioccolata avessimo
dovuto ripartire 7 ragazzi in 2 squadre uguali, poiché risulta impossibile dividere un ragazzo in
due parti uguali.
Quindi perché il problema sia risolubile in generale basterà parlare di unità astratte senza
specificarne la natura di esse.
Ciascuna delle parti eguali in cui si divide un’unità è detta unità frazionaria.
Torniamo all’insieme dei numeri naturali, sappiamo che il quoto tra i numeri naturali a e b
esiste solo se a è multiplo di b; ora con l’ampliamento fatto, cioè con l’introduzione dei numeri
frazionari, il quoto tra a e b esiste anche quando a non è multiplo di b.
Nasce così l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti, che comprende come sottoinsieme,
quello dei numeri naturali Qa θ N oppure N _ Qa.
Abbiamo visto così che l’introduzione dell’insieme Qa dei numeri razionali assoluti permette di
rendere possibile la divisione tra due qualsiasi numeri naturali, così come l’introduzione di Z
dei numeri interi relativi permette di rendere possibile la differenza tra due numeri naturali
qualsiasi.
Per dare ora significato anche alla divisione tra due numeri interi relativi qualsiasi, anche cioè
se il dividendo non è multiplo del divisore, occorre ampliare ulteriormente il concetto di
numero introducendo i numeri razionali relativi. Il loro insieme è l’insieme Q dei numeri
razionali relativi o semplicemente razionali. In questo insieme risulta possibile anche la
differenza tra due qualsiasi numeri razionali assoluti.
Con l’introduzione dei numeri frazionari si può indicare con a / b il quoto tra a e b con a ∈ N ,
e b ∈ N0 (insieme dei numeri naturali privato dello zero).
Poiché è anche a / b = a ∃ 1/b , diremo che il denominatore indica in quante parti è stata divisa
l’unità ed il numeratore quante di queste parti si devono considerare.
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3. Insiemi numerici (lezione 2)
Vediamo ora le operazioni nell’insieme Qa dei numeri razionali assoluti.
Proprietà invariantiva: moltiplicando, o dividendo, i due termini di una frazione per uno
stesso numero diverso da 0, si ottiene una frazione equivalente alla data.
3/4 = 3*5/4*5 =15/20; 60/40 = 60:20/40:20 = 3/2.
Definizione Una frazione si dice irriducibile o ridotta ai minimi termini quando i suoi
termini sono primi fra loro.
Per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono i due termini per il loro M.C.D.
120/54 = 120:6/54:6 = 20/9 , essendo M.C.D. (120;54) = 6.
Poiché per operare con le frazioni occorre che esse siano frazioni con lo stesso denominatore,
vediamo come si procede per ridurre più frazioni al minimo comune denominatore.
1) Si riducono le frazioni ai minimi termini, se non lo sono già;
2) Si cerca il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni così ridotte;
3) Si cerca il quoziente fra questo m.c.m. e ciascun denominatore delle frazioni ridotte;
4) Si moltiplica il numeratore corrispondente di ciascuna frazione per il quoziente ottenendo
così il nuovo numeratore e si dà per denominatore il m.c.m. trovato.
Esempio. Ridurre allo stesso minimo comune denominatore le seguenti frazioni:
3/20; 4/30; 42/35.
Per confrontare due o più frazioni, si riducono queste, prima, allo stesso denominatore e, poi,
si confrontano i numeratori delle frazioni così ottenute, equivalenti a quelle date.
Esempio. Confrontiamo le due frazioni 5/12 e 3/7.
m.c.m. (12; 7) = 84, quindi 5/12 = 35/84 e 3/7 = 36/84;
poiché è 35 < 36, è pure 35/84 < 36/84 e così si deduce che è 5/12 < 3/7.
Per addizionare (o sottrarre) più frazioni, si riducono queste al minimo comune
denominatore, dopo di che si forma una frazione avente per numeratore la somma (o la
differenza) dei nuovi numeratori delle frazioni e per denominatore il minimo comune
denominatore trovato.
Esempio. 2/15 + 6/10 + 8/12 = 2/15 + 3/5 + 2/3 = (2+9+10)/15 = 21/15 = 7/5.
Per moltiplicare due o più frazioni tra loro si forma una frazione che ha per numeratore il
prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Prima di eseguire i prodotti è bene semplificare, quando ciò è possibile.
Esempio. 5/4 x 8/25 x 2/9 = (5x8x2)/(4x25x9) = (1x2x2)/(1x5x9) = 4/45
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4. Insiemi numerici (lezione 2)
Per dividere una frazione per un’altra, si moltiplica la prima per l’inverso della seconda.
Esempio. 3/8 : 5/4 = 3/8 x 4/5 = 3/10.
Per elevare a potenza una frazione si eleva a quella potenza il numeratore e il denominatore.
Esempio. (2/3)4 = 24/34 = 16/81.
Anche per le espressioni contenenti numeri razionali assoluti vale tutto quello che abbiamo
detto a proposito delle espressioni aritmetiche con i numeri interi.
Risolviamo insieme, come esempio, la seguente espressione:
1 4
1 − ×
2 2 3  2   2 1 
+ − 1 −  ÷  − ÷ 3 =
3  3
2
4  3   3 4 
  ÷ 23 ×
 2  3
svolgere in classe.
Definizione Si dice frazione decimale la frazione avente per denominatore una potenza di 10.
Esempio. 2/10; 11/100; 93/1000.
Esse corrispondono, rispettivamente, ai numeri decimali
0,2; 0,11; 0,093.
Una frazione decimale possiamo trasformarla facilmente in numero decimale, in quanto,
essendo il divisore una potenza del 10, la divisione risulta assai semplice.
Per trasformare una frazione qualsiasi in numero decimale, si divide il numeratore per il
denominatore.
Esempi. Trasformare in numeri decimali le seguenti frazioni:
5/4; 19/11; 37/6.
Dividendo si ha:
5/4 = 1,25; 19/11 = 1,7272…; 37/6 = 6,166…
nel primo caso la divisione ha termine e diremo che la frazione 5/4 genera un numero decimale
finito; negli altri due esempi la divisione non ha termine e, osservando il quoziente, vediamo
che in esso vi sono delle cifre che si ripetono periodicamente.
Così, in 19/11 si ripete il gruppo di cifre 72, in 37/6 si ripete la cifra 6. Diremo che tali frazioni
generano un numero decimale periodico, e più precisamente la frazione 19/11 genera il
numero periodico semplice 1,(72) il cui periodo 72 incomincia subito dopo la virgola, mentre la
frazione 37/6 genera il numero periodico misto 6,1(6) in cui 1 è l’antiperiodo e 6 il periodo.
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5. Insiemi numerici (lezione 2)
In generale, quando sia data una frazione qualunque e si divida il numeratore per il
denominatore, possono presentarsi due casi:
1) Si giunge a un resto uguale a zero e il quoziente risulta formato da una parte intera
(eventualmente nulla) seguita da una virgola e da un numero finito di cifre, che
complessivamente si dice numero decimale limitato;
2) Per quanto si prosegua nelle successive divisioni non si trova mai un resto nullo; in questo
caso l’operazione si può proseguire indefinitamente e il quoziente è allora formato da una
parte intera (eventualmente nulla) seguita da una virgola e da una successione
illimitatamente prolungabile di cifre, che complessivamente si dice numero decimale
illimitato.
In questo secondo caso i successivi resti di una divisione sono sempre minori del divisore,
perciò dopo un certo numero di divisioni parziali si dovrà ripresentare un resto già ottenuto,
cosicché tutti i resti che seguono si ripeteranno nello stesso ordine e si ripeteranno pure le cifre
del quoziente. Il gruppo di cifre decimali che si ripetono nel quoziente prende il nome di
periodo e il numero decimale stesso si dice numero decimale periodico.
Per riconoscere se una frazione dà luogo ad un numero decimale finito o periodico, ci
serviremo dei seguenti criteri:
I. Una frazione ordinaria (ridotta ai minimi termini) trasformata in un numero decimale
dà luogo a un numero decimale finito se il denominatore della frazione ridotta
contiene come fattori primi solo 2 o 5 oppure entrambi i fattori 2 e 5.
II. Una frazione (ridotta ai minimi termini) trasformata in un numero decimale dà luogo a
un numero decimale periodico semplice, se il suo denominatore non contiene come
fattori primi né 2 né 5.
III. Una frazione (ridotta ai minimi termini) trasformata in un numero decimale dà luogo a
un numero decimale periodico misto, se il denominatore contiene i fattori primi 2 o 5
e altri numeri.
Esempi.
21/4; 37/25; 13/40; 121/80
sono frazioni che si riducono a numeri decimali finiti.
5/9; 17/7; 8/33; 20/63
sono frazioni che ridotte in numero decimale danno luogo a numeri periodici semplici.
7/12; 3/180; 37/35; 2/52
sono frazioni che danno luogo a numeri periodici misti.
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6. Insiemi numerici (lezione 2)
Data una frazione possiamo trovare il corrispondente numero decimale; viceversa, dato un
numero decimale possiamo trovare la frazione che dà origine ad esso e che si dirà sua frazione
generatrice.
1) Ogni numero decimale finito
0,135 = (0,135 x 1000)/1000 = 135/1000 = 27/200;
0,06 = (0,06 x 100)/100 = 6/100= 3/50.
2) La frazione generatrice di un numero periodico semplice
0,(13) = 13/99;
27,(2) = (272 – 27)/9 = 245/9.
3) La frazione generatrice di un numero periodico misto
0,2(12) = (212 – 2)/990 = 210/990 = 21/99 = 7/33;
2,18(4) = (2184 – 218)/900 = 1966/900 = 983/450.
Inoltre
0,36(9) = (369 – 36)/900 = 333/900 = 37/100 = 0,37.
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