1. Сложность пропозициональных доказательств
Эдуард Алексеевич Гирш
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ПОМИ РАН
28 октября 2010 г.
1 / 8

2. Принцип Дирихле
Нижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.
G-PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
2 / 8

3. Принцип Дирихле
Нижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.
G-PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
Пусть G = ((P, H), E) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы , ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ⊆ P (|P | ≤ ρ|P| ⇒ |∂P | ≥ |P |),
где ∂P — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P .
2 / 8

4. Принцип Дирихле
Нижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.
G-PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
Пусть G = ((P, H), E) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы , ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ⊆ P (|P | ≤ ρ|P| ⇒ |∂P | ≥ |P |),
где ∂P — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P .
“Уравнения” кролика p


(p,h)∈E
xph

 ∧
(p,h),(p ,h)∈E
p=p
(¬xph ∨ ¬xp h).
2 / 8

5. Принцип Дирихле
Нижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.
G-PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
Пусть G = ((P, H), E) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы , ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ⊆ P (|P | ≤ ρ|P| ⇒ |∂P | ≥ |P |),
где ∂P — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P .
“Уравнения” кролика p


(p,h)∈E
xph

 ∧
(p,h),(p ,h)∈E
p=p
(¬xph ∨ ¬xp h).
Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.
В выводе есть дизъюнкция C, следующая в точности из
уравнений для множества P размером ∈ 1
3 ρ|P|..2
3 ρ|P| .
2 / 8

6. Принцип Дирихле
Нижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.
G-PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
Пусть G = ((P, H), E) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы , ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ⊆ P (|P | ≤ ρ|P| ⇒ |∂P | ≥ |P |),
где ∂P — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P .
“Уравнения” кролика p


(p,h)∈E
xph

 ∧
(p,h),(p ,h)∈E
p=p
(¬xph ∨ ¬xp h).
Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.
В выводе есть дизъюнкция C, следующая в точности из
уравнений для множества P размером ∈ 1
3 ρ|P|..2
3 ρ|P| .
Для каждой клетки из ∂P в C должна быть переменная. 2 / 8

7. Корректность метода резолюций (Reflection)
Корректность системы док-в Π — невыполнимость формул
Π(x, y) = 1 ∧ x[z] = 1
(для конкретного размера формулы x, набора значений z, док-ва y).
3 / 8

8. Корректность метода резолюций (Reflection)
Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x, y) = 1 ∧ x[z] = 1
(для конкретного размера формулы x, набора значений z, док-ва y).
В Res нет коротких док-в корректности Res.
3 / 8

9. Корректность метода резолюций (Reflection)
Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x, y) = 1 ∧ x[z] = 1
(для конкретного размера формулы x, набора значений z, док-ва y).
В Res нет коротких док-в корректности Res.
Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax,y ∨ x, ¬ax,y ∨ y, ¬x ∨ ¬y ∨ ax,y .
В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.
3 / 8

10. Корректность метода резолюций (Reflection)
Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x, y) = 1 ∧ x[z] = 1
(для конкретного размера формулы x, набора значений z, док-ва y).
В Res нет коротких док-в корректности Res.
Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax,y ∨ x, ¬ax,y ∨ y, ¬x ∨ ¬y ∨ ax,y .
В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.
. . . и корректности Res(2).
3 / 8

11. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: переменные
Индексы:
Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).
. . . из m дизъюнкций (индексы ∈ [1..m]).
Вывод из r дизъюнкций (индексы ∈ [1..r]).
Отрицания указываются индексами b ∈ {0, 1}.
4 / 8

12. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: переменные
Индексы:
Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).
. . . из m дизъюнкций (индексы ∈ [1..m]).
Вывод из r дизъюнкций (индексы ∈ [1..r]).
Отрицания указываются индексами b ∈ {0, 1}.
Формула — таблица вхождений x ,v,b.
4 / 8

13. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: переменные
Индексы:
Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).
. . . из m дизъюнкций (индексы ∈ [1..m]).
Вывод из r дизъюнкций (индексы ∈ [1..r]).
Отрицания указываются индексами b ∈ {0, 1}.
Формула — таблица вхождений x ,v,b.
Набор — значения zv и указатели z ,v,b (что вып. ?).
4 / 8

14. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: переменные
Индексы:
Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).
. . . из m дизъюнкций (индексы ∈ [1..m]).
Вывод из r дизъюнкций (индексы ∈ [1..r]).
Отрицания указываются индексами b ∈ {0, 1}.
Формула — таблица вхождений x ,v,b.
Набор — значения zv и указатели z ,v,b (что вып. ?).
Док-во —
дизъюнкции y ,v,b,
зависимости p , ,b: дизъюнкция получена резольвированием ,
b — знак резольвируемой переменной,
резольвируемая переменная w ,v .
4 / 8

15. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
5 / 8

16. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
5 / 8

17. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
5 / 8

18. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
не с потолка упало:
<
p , ,b,
v
w ,v .
5 / 8

19. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
не с потолка упало:
<
p , ,b,
v
w ,v .
Резольвента по одной переменной: ¬w ,v ∨ ¬w ,v .
5 / 8

20. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
не с потолка упало:
<
p , ,b,
v
w ,v .
Резольвента по одной переменной: ¬w ,v ∨ ¬w ,v .
Которая была: ¬w ,v ∨ ¬p , ,b ∨ y ,v,b.
5 / 8

21. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
не с потолка упало:
<
p , ,b,
v
w ,v .
Резольвента по одной переменной: ¬w ,v ∨ ¬w ,v .
Которая была: ¬w ,v ∨ ¬p , ,b ∨ y ,v,b.
Остальные переменные на месте: ¬p , ,b ∨ ¬w ,v ∨ ¬y ,v,b ∨ y ,v,b.
5 / 8

22. Корректность метода резолюций
Точная формулировка: дизъюнкции
Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:
v,b
z ,v,b.
Тем, что есть в ней: ¬z ,v,b ∨ x ,v,b.
Набор согласован с указателями: ¬z ,v,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z ,v,1.
Формула — часть вывода: ¬x ,v,b ∨ y ,v,b.
Для надёжности, ¬y ,v,0 ∨ ¬y ,v,1.
не с потолка упало:
<
p , ,b,
v
w ,v .
Резольвента по одной переменной: ¬w ,v ∨ ¬w ,v .
Которая была: ¬w ,v ∨ ¬p , ,b ∨ y ,v,b.
Остальные переменные на месте: ¬p , ,b ∨ ¬w ,v ∨ ¬y ,v,b ∨ y ,v,b.
«В общем, все умерли»: ¬y ,v,b.
5 / 8

23. Корректность метода резолюций
Верхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор z
выполняет все дизъюнкции вывода y, включая последнюю (пустую):
v
(y ,v,0 ∧ zv ) ∨ (y ,v,1 ∧ ¬zv ).
6 / 8

24. Корректность метода резолюций
Верхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор z
выполняет все дизъюнкции вывода y, включая последнюю (пустую):
v
(y ,v,0 ∧ zv ) ∨ (y ,v,1 ∧ ¬zv ).
Доказываем при условии p , ,0, p , ,1, w ,v ,
когда-нибудь потом воспользуемся существованием , , v.
6 / 8

25. Корректность метода резолюций
Верхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор z
выполняет все дизъюнкции вывода y, включая последнюю (пустую):
v
(y ,v,0 ∧ zv ) ∨ (y ,v,1 ∧ ¬zv ).
Доказываем при условии p , ,0, p , ,1, w ,v ,
когда-нибудь потом воспользуемся существованием , , v.
Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,
модицифируем старые д. в новую.
6 / 8

26. Корректность метода резолюций
Верхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор z
выполняет все дизъюнкции вывода y, включая последнюю (пустую):
v
(y ,v,0 ∧ zv ) ∨ (y ,v,1 ∧ ¬zv ).
Доказываем при условии p , ,0, p , ,1, w ,v ,
когда-нибудь потом воспользуемся существованием , , v.
Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,
модицифируем старые д. в новую.
Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаем
знак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталось
срезольвировать).
6 / 8

27. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
7 / 8

28. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Теорема (Alon, Boppana)
3 ≤ k ≤ K и K
√
k ≤ m/(8 log m) =⇒ монотонные схемы,
отделяющие k-раскрашиваемые графы с m вершинами от
содержащих K-клики, имеют размер ≥ 1
8
m
4K
√
k log m
(
√
k+1)/2
.
Осталось извлечь схему для раскрашиваемости из доказательств
для Reflection.
7 / 8

29. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Граф G → формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменные
для всех конъюнкций длины (log n)O(1).
7 / 8

30. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Граф G → формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменные
для всех конъюнкций длины (log n)O(1).
В первом случае F выполнима.
7 / 8

31. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Граф G → формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменные
для всех конъюнкций длины (log n)O(1).
В первом случае F выполнима.
Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2
→ k;
у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)
):
7 / 8

32. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Граф G → формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменные
для всех конъюнкций длины (log n)O(1).
В первом случае F выполнима.
Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2
→ k;
у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)
):
разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,
какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k → k
2
;
иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k → k
2
.
композиция инъекций k2
→ k, k → k
2
даёт k2
→ k
2
.
повторим log k раз.
7 / 8

33. Корректность метода резолюций
Нижняя оценка для метода резолюций
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Граф G → формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменные
для всех конъюнкций длины (log n)O(1).
В первом случае F выполнима.
Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2
→ k;
у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)
):
разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,
какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k → k
2
;
иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k → k
2
.
композиция инъекций k2
→ k, k → k
2
даёт k2
→ k
2
.
повторим log k раз.
Упражнение
Доделать док-во принципа Дирихле k2
→ k в Res((log k)O(1)
).
7 / 8

34. Корректность метода секущих плоскостей
Нижняя оценка для CP
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
8 / 8

35. Корректность метода секущих плоскостей
Нижняя оценка для CP
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.
Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:
обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!
8 / 8

36. Корректность метода секущих плоскостей
Нижняя оценка для CP
Короткое док-во → маленькая монотонная схема, отделяющая
выполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.
Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:
обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!
Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что это
можно сделать, сохранив условие на монотонность вхождений
переменных формулы, ведь
обе части действительно монотонно от них зависят,
а остальное делается так же, как в док-ве теоремы Кука-Левина об
NP-полноте SAT.
8 / 8