Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.

1. Tema: Formas geométricas.
Subtema: Figuras planas

2. • El estudio de las figuras planas y
sus propiedades geométricas, abarca a
los polígonos en general, tanto regulares
como irregulares, como así también al
círculo, que puede ser considerado un
caso especial de polígono.

3. Dicho estudio comprende:
• Las relaciones referentes a las líneas, puntos y
ángulos de los polígonos regulares;
• Los métodos para el dibujo de los polígonos
regulares;
• Los métodos para el cálculo de la superficie de
los polígonos regulares e irregulares.

4. Líneas y puntos en los polígonos.
• En los polígonos regulares, se
consideran las propiedades
geométricas de las siguientes
líneas y puntos:
• El perímetro — que está
formado por la continuidad, o
la suma, de todos sus lados.
• La diagonal — que es la línea
que une dos ángulos no
consecutivos.

5. • El centro — que es el punto que se encuentra
a una misma distancia de todos sus vértices.
• El radio — que es la línea que une el centro con
uno de sus vértices; por lo cual un polígono
regular tiene tantos radios como ángulos.
• El apotema — que es la línea perpendicular que
une el centro con cualquiera de sus lados; por lo
cual un polígono regular tiene tantos apotemas
como lados.

6. Líneas y puntos en el circulo.
• El círculo es la figura plana delimitada por la
circunferencia; por lo que a los efectos geométricos
equivale a un polígono regular con infinitos lados.
• En el círculo se consideran las propiedades
geométricas de las siguientes líneas y puntos:
• La circunferencia — que lo delimita, y que es el
equivalente al perímetro.

7. • El centro — es el punto del cual equidistan todos
los puntos de la circunferencia.
• El radio — es la medida de distancia entre el
centro y la circunferencia, es el equivalente al
radio de los polígonos regulares, y también al
apotema.
• El diámetro — que es la línea que pasando por el
centro une dos puntos opuestos de la
circunferencia, y por lo tanto mide el doble del
radio, es el equivalente a la diagonal.

8. • La secante — que es la línea que incluye
dos puntos de la circunferencia, sin pasar
por el centro. El tramo entre esos
puntos, es la cuerda.
• La tangente — que es la una línea recta
que toca solamente un punto de la
circunferencia.
• El arco — que es el tramo de la
circunferencia comprendido entre dos
puntos distintos de la misma.
• La flecha — que es la una línea
perpendicular al punto medio de la
secante, que lo une con la circunferencia.
• El sector — que es la superficie
comprendida entre dos radios y el arco
que delimitan.

9. Los ángulos en los polígonos.
• En los polígonos regulares se
distinguen dos tipos de ángulos:
• Los ángulos interiores — que son los
que se forman en el vértice entre los
lados.
• Los ángulos centrales — que son los
que se forman con vértice en el centro
del polígono, y cuyos lados son los
radios que unen ese centro a dos
vértices consecutivos. Por lo tanto, un
polígono regular tiene tantos ángulos
centrales, todos iguales, como lados.

10. • Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los
ángulos que pueden formarse alrededor de un
punto, es de 360° la medida del ángulo central de un
polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad
de lados.
• Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 =
120°.
• Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
• Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
• Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.
• Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
• Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.

11. Polígonos inscritos y circunscriptos.
• Se dice que un polígono
está inscripto en un
círculo, cuando todos los
vértices coinciden con puntos
de su circunferencia.
• Se dice que un polígono
está circunscripto en un
círculo, cuando los puntos
medios de todos sus
lados coinciden con puntos de
su circunferencia.

12. Construcción de polígonos mediante el compás.
• Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos
de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo
que es el compás, para construir gráficamente diversos
polígonos.
• El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado
de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el
círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de
polígono regular, en el cual todos sus lados están constituidos
solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por
la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del
compás.

13. • El método a utilizar para construir polígonos
mediante el uso del compás, se basa en
determinar los vértices de los lados del
polígono, estableciendo en qué puntos de la
circunferencia deben situarse para que el
polígono resulte inscripto en ella.
• Esa determinación se realiza a partir del
conocimiento de los valores de los ángulos
centrales del polígono que se desea construir.

14. • Para trazar un triángulo
equilátero inscripto en un
círculo, manteniendo el radio
(abertura del compás) empleado
para trazar el círculo, se determina
un punto de la circunferencia
(preferiblemente en la vertical
inferior de su centro), y centrando en
ese punto se traza un arco con
extremos en la circunferencia.
• Los puntos de intersección (A y B)
determinan un lado del triángulo
equilátero; por lo cual tomando la
medida de ese segmento con el
compás y trasladándola sobre la
parte superior de la
circunferencia, se determinará el
vértice (C) de unión de los otros dos
lados.

15. • Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se
traza una recta que pasando por el centro llegue a la
circunferencia en sus extremos (diámetro AB).
• Con una abertura del compás mayor a la empleada
para trazar el círculo, centrando en los puntos
extremos del diámetro, se marcan puntos en la
circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos
(C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un
nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos
puntos de contacto con la circunferencia serán los
vértices del cuadrado inscripto.
• Como el cuadrado inscripto queda en posición
transversal, puede trazarse otro con los lados en
posición horizontal y vertical, simplemente trazando
las medianas del cuadrado anterior, para determinar
los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado
inscripto en el mismo círculo.

16. • Para trazar
un hexágono inscripto en un
círculo, se fija un punto sobre la
circunferencia, y con la misma
abertura del compás, se marcan
puntos haciendo centro primero
en ese punto y luego
sucesivamente en los nuevos
puntos.
• Ello determinará que se
marquen sobre la circunferencia
los seis puntos que
corresponden a los vértices del
hexágono.

17. • Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el
punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al
terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo.
A .
• a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto
A?___________ Si se puede, trácenla.
• b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?_____________________
• c) ¿Qué relación hay entre el punto A, el punto O y la circunferencia?
_____________
• __________________________________________________________
• d) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada
círculo?________________________________
• e) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los
círculos trazados con el punto A?______________

18. • Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos
A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten
las preguntas.
A .
. B
• ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos?
____________ Si se puede, trácenla.
• ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por
qué?___________________________________________________
• Unan con una recta los puntos A y B.
• Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron.
• ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí?
• ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron?
• ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?

19. • En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo
central de una cancha de básquetbol se borró por el
uso, por la proximidad de un campeonato se necesita
repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se
muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que
trazaran el círculo?
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