taller 1

1. Taller 1 Fundamentos de Oscilaciones y Ondas
Jos´e Esteban Rodriguez Quintero - jerodriguezq@unal.edu.co - Grupo 1
Guillermo Ospino De La Hoz - geospinoh@unal.edu.co - Grupo 3
Diego Alejandro Poveda V´asquez - dapovedav@unal.edu.co - Grupo 3
Yeison Arley Boyaca Candil - Yaboyacac@unal.edu.co - Grupo 4
16 de Febrero de 2018
Resumen
Este documento presenta la primera serie de ejercicios de la asignatura
’Fdtos de Oscilaciones y Ondas’, los cuales encierran principalmente los
conceptos de sistemas de masa - resorte en condiciones ideales, movimien-
tos pendulares, conceptos de movimientos arm´onico.
1. Desarrollo de ejercicios
1. se muestra que la ecuaci´on m d2
x
dt2 = −kx es satisfecha por:
a) x(t)= Acos(ωt + φ)
Al derivar la ecuaci´on anterior se obtiene:
x’(t)= -ωAsen(ωt + φ)
Y nuevamente derivando se obtiene:
x”(t)= -ω2
Acos(ωt + φ)
Reemplazando en la ecuacion inicial se observa lo siguiente:
m[-ω2
Acos(ωt + φ)]= -k[Acos(ωt + φ)]
y eliminando Acos(ωt + φ) se puede ver que:
-(ω2
)(m)=-k
y sabiendo que ω2
= k/m se reemplaza en la ecuaci´on anterior y podemos
comprobar que nos da de respuesta -k= -k y que el resultado si satisface
la ecuaci´on.
1

2. b) x(t)= Bsen(ωt) + Ccos(ωt)
Al derivar la ecuaci´on anterior se obtiene:
x’(t)= ωBcos(ωt) - ωCsen(ωt) Y como se realiz´o anteriormente, nueva-
mente se deriva para obtener:
x”(t)= -ω2
Bsen(ωt) - ω2
Ccos(ωt) Reemplazando en la ecuacion inicial se
observa lo siguiente:
m[-ω2
Bsen(ωt) - ω2
Ccos(ωt)]=-k[Bsen(ωt) + Ccos(ωt)]
factorizando ω2
y el signo negativo se obtiene:
-mω2
[Bsen(ωt) + Ccos(ωt)]=-k[Bsen(ωt) + Ccos(ωt)]
luego eliminando la expresi´on Bsen(ωt) + Ccos(ωt) da como resultado:
-mω2
= -k
como se realiz´o en el procedimiento anterior se realiz´o la sustituci´on de
ω2
= k/m en la ecuaci´on y se obtiene que -k= -k lo cual nuevamente
comprueba que este resultado tambi´en satisface la ecuaci´on inicial.
2. Ahora se procedera a demostrar la relaci´on que hay entre A,B,C y φ.
Partiendo de la soluci´on x(t)= Acos(ωt+φ) y usando la propiedad de la
suma de angulos, obtenemos que:
x(t)= A[cos(ωt)cos(φ)-sen(ωt)sen(φ)]
repartiendo A se obtiene que:
x(t)= Acos(ωt)cos(φ)-Asen(ωt)sen(φ)
De esta ecuaci´on es posible observar que los terminos Acos(φ) y -Asen(φ)
son constantes, ya que el valor de φ depender´a ´unicamente de condiciones
iniciales y no cambiar´a con el paso del tiempo; de esta manera se llega a
la relaci´on con B y C ya que B=-Asen(φ) y C=Acos(φ).
Ahora se eleva las dos ecuaciones al cuadrado y se suman llegariamos a
que: B2
+ C2
= A2
sen2
(φ) + A2
cos2
(φ) en donde se factoriza A2
y por
propiedad obtenemos como resultado:
2

3. A2
= B2
+ C2
En otra relaci´on si despejamos A de la ecuaci´on C= Acos(φ), se obtiene
que A=C/cos(φ) y al sustituir A en la ecuaci´on B=-Asen(φ), llegamos a
que:
B=-Csen(φ)/cos(φ) = -Ctan(φ)
y al despejar el valor de φ se obtiene finalmente que:
φ=tan−
1(-B/C).
3. En este ejercicio se propone determinar los valores de A,B,C y φ, para
x(0)= x0 y v(0)= x0 como condiciones iniciales del problema: Para mas
facilidad en el an´alisis matem´atico se har´a uso de la segunda forma de so-
luciom. Al reemplazar el valor de x(0) en la ecuaci´on de soluci´on llegamos
a:
x0=Bsen(0) + Ccos(0)
Asi C=x0., si derivamos la ecuaci´on de desplazamiento se obtiene la veloci-
dad. La ecuaci´on de velocidad est´a dada por v(t)=(B)(ωcos(ωt)-(C)(ωsen(ωt)
y reemplazando en esta las condiciones iniciales se llega a que:
V0=(B)(ωcos(0)-(C)(ωsen(ωt)
De lo que se puede observar, B=V0/ω, donde el valor de ω se deduce de
la ecuaci´on diferencial y es ω=
√
(k/m), as´ı quedar´ıa:
B=(V0)(
√
(k/m))
Ya dado a conocer el valor de B y C, es posible determinar los valores de
A y de φ de la siguiente manera:
El valor de A se obtiene al reemplazar los valores en la ecuaci´on A2
=
B2
+ C2
, se obtiene que:
A=
√
(x2
0 + (v2
0)(m/k)) el valor de φ se obtiene de la ecuaci´on φ=tan−
1(-
B/C), lo que nos da como resultado φ=tan−
1(−(V0)(m)/(X0)(ω)).
4. Para demostrar que para una masa atada a un resorte, puesto de manera
3

4. horizontal, la ecuaci´on es equivalente a cuando se pone de manera verti-
cal; es necesario tener en cuenta la acci´on de la fuerza de la gravedad y
la posici´on de equilibrio del sistema. Para esto, teniendo como direcci´on
positiva hacia abajo, tenemos la primera ecuacion
FN = mg − Ky
Con la anterior, se nota que y es el valor de elongaci´on del resorte; pero, es
necesario encontrar un valor de elongaci´on inicial para que el sistema se en-
cuentre en equilibrio, realizando an´alisis de fuerzas, es necesario que el peso
sea igual a la fuerza de elongaci´on de la forma mg = kyequilibrio. Ahora, se
busca la forma de relacionar una distancia adicional al sistema que muestre
la elongaci´on agregada hacia abajo. Para ello, simplemente se suma este va-
lor adicional a la ecuacion anterior as´ı: FN = mg−k(yadicional+yequilibrio)
y, despejando el yequilibrio de la ecuaci´on anterior se obtiene una nueva
ecuaci´on: FN = k(mg/k + yadicional)
Ahora, desarrollando matem´aticamente se tiene
FN = mg − mg − k ∗ yequilibrio
donde se puede ver, de manera clara, la ecuaci´on FN = −k ∗ Yequilibrio
que es equivalente a la ecuaci´on de un sistema masa resorte colocado de
manera horizontal.
5. En este ejercicio se va a calcular la energ´ıa, tanto potencial como cin´etica,
para un p´endulo con valores para la masa y la longitud de m y l. La
energ´ıa cin´etica del sistema es de rotaci´on y , por eso, se tiene la ecuaci´on
Erot = 1/2∗I∗w2
siendo w la velocidad angular e I el momento de inercia;
sabiendo que I = m ∗ l2
, reemplazando en la ecuaci´on de energ´ıa, se llega
4

5. a que la energ´ıa cin´etica del p´endulo est´a dada por
Ek = 1/2m ∗ l2
∗ w2
Ahora, para determinar la ecuaci´on de la energ´ıa potencial del p´endulo,
se tiene la forma matem´atica de la energ´ıa potencial gravitacional EP g =
m ∗ g ∗ h de la cual, mirando el comportamiento del p´endulo, se tiene que
variar el valor de la altura h de acuerdo a la oscilaci´on del pendulo; para
esto, se tiene en cuenta una altura inicial y, que va desde el eje de rotaci´on
hasta el suelo, y el ´angulo que forma el p´endulo con el eje vertical.Usando
trigonometr´ıa, se tiene que el valor de la altura ser´a igual a l ∗ cos(θ)
siendo l la longitud de la uni´on entre el eje de rotaci´on y la masa. Con
esto, relaci´onando las ecuaciones anteriores, se obtiene la ecuaci´on para la
energ´ıa potencial de un p´endulo:
Ek = mg(y − h) = mg(y − lcos(θ))
6. Este ejercicio consiste en un resorte que est´a colgado en posici´on vertical
y en reposo, al cu´al se le cuelga una masa de 100 gramos en el extremo
produciendo un alargamiento en el resorte de 10 cms. Luego se pone la
misma masa a 6 cms del punto de equilibrio y se deja libre en un tiempo
t=0. Lo que se nos pide es encontrar la ecuaci´on que describe el movimiento
de la masa en funci´on del tiempo. Para ello, debemos hacer el an´alisis de
las fuerzas en el sistema masa- resorte, como no hay fuerzas en el eje
horizontal ya que el resorte est´a ubicado en posici´on vertical, solo actuan
sobre ´el fuerzas en el eje vertical, las fuerzas que act´uan en este eje y sobre
el sistema masa-resorte son:
Fy= -mg+k∆y=0
5

6. Donde se conocen todas las variables excepto la constante del resorte K,
como el sistema inicia en posici´on de equilibrio, la sumatoria se iguala a
cero, porque no hay aceleraci´on. De la ecuaci´on resultante despejamos K
y hallamos su valor:
m ∗ g=-k*∆y
k=m*g/∆y
K= (0,1Kg) ∗ (9,8m/s2
)/0.1m.
K= 9.8 N/m
Ahora tenermos que encontrar la ecuaci´on de movimiento que es la solu-
ci´on de la ecuaci´on obtenida luego de hacer la sumatoria de las fuerzas en
el sitema, en el primer punto de este taller se demuestra que la soluci´on a
esta ecuaci´on, es la ecuaci´on de movimiento siguiente:
y(t)=Acos(ωt+φ)
Para encontrar el valor de las constantes aplicamos las siguientes formulas
y reemplazamos:
ω= k
M
ω= 9,8N/m
0,1Kg
ω=9.90
Luego hallamos A: A= x2
0 +
v2
0
ω2
Como la velocidad inicial es cero, en la fomula solo nos queda la posici´on
inicial, que en este caso es 0.6m. Es evidente que luego de reemplazar en
la ecuaci´on, el valor de la constante A ser´a igual a la posici´on inicial:
A= 0.6
Para hallar el angulo φ aplicamos la siguiente f´ormula:
φ= arctan(- v0
x0ω )
Pero como sabemos que la velocidad inicial es cero, el resultado dar´a cero
tambi´en.
6

7. φ=0
Reemplazando el valor de las constantes en la ecuaci´on de movimiento
tenemos la ecaci´on completa y damos respuesta al ejercicio:
y(t)=0.6cos(9.9t)
7. En este problema tenemos dos pendulos que oscilan libremente, uno de
ellos mide 1 metro y el otro tiene una longitud que desconocemos, tam-
bien nos dicen que cuando uno de los pendulos completa 12 oscilaciones
el otro solo llega a 11 oscilaciones. para el periodo de un pendulo simple
con oscilaciones de peque˜na amplitud tomaremos la siguiente formula:
T = 2π( 2
l/g)
Donde l viene siendo la longitud del pendulo y g la gravedad, luego de
esto observamos la relaci´on que tienen los pendulos con respecto a sus
oscilaciones donde obtenemos la siguiente igualdad
12T1 = 11T2
Reemplazando esta igualdad en la ecuacion para hallar el periodo obtene-
mos el siguiente resultado
24T1π( 2
l1/g) = 22T2π( 2
l2/g)
Podemos eliminar pi y la gravedad en ambos lados de la igualdad y des-
pejar la longitud desconocida del pendulo 2, lo que obtenemos es:
(12T1 ∗ l1)/11T2) = l2
despues de reemplazar el valor de la longitud del pendulo 1 y operar en-
7

8. contamos que el valor de la longitud del pendulo 2 es 1,19 m
8. En este problema tenemos un resorte que se encuentra pegado en el techo,
luego se le ata una masa y se deja caer una distancia de 49 cm, luego
empieza a realizar un movimiento armonico simple con una oscilacion de
49 cm, lo que se pide es hallar el periodo y la frecuencia de este sistema.
Lo primero que debemos hallar es la distancia que se encuentra del punto
de reposo, para eso tomamos la oscilacion dada en el enunciado y la divi-
dimos en 2, lo que nos da un valor de 24,5 cm.
Luego en el punto de reposo podemos usar la siguiente ecuacion:
F = k ∗ x
donde F=m*g y x=24.5 cm, luego podemos despejar k y nos queda:
k = (m ∗ g)/ x
por ultimo usando la ecuacion de periodo tenemos que
T = 2π( 2
m/k)
reemplazando el valor de k hallado previamente
T = 2π( 2
(m ∗ x)/(m ∗ g))
Podemos cancelar las masas y eso nos da
T = 2π( 2
x/g)
luego resolviendo la ecuacion el valor de periodo obtenido el sistema es
8

9. T=0,98 s, para la frecuencia usamos la siguiente ecuacion:
F = 1/T
al final la frecuencia del sistema sera F=1,02 Hz
9. En este problema tenemos un resorte que esta en posicion vertical y tiene
atada una masa de 100 gr, gracias a la fuerza que efectua la masa por la
gravedad el resorte se estira 9,8 cm.
a)la primera pregunta se enfoca en ver que sucede con el estiramiento del
resorte si se aumenta la masa 200 gr mas, podemos establecer una relaci´on
de la siguiente manera:
Si 100 gr provoca 9,8 cm de estiramiento entonces 300 gr provocan x cm,
despejando x nos queda
x = (300gr ∗ 9, 8cm)/100gr
Por lo tanto el resorte con una masa de 300 gr se estirara 29,4 cm.
b)La segunda pregunta se enfoca en como poder hallar la constante del
resorte, para esta parte tomamos la siguiente formula:
F = k ∗ x
donde F puede ser reemplazado por la masa por la gravedad de la siguiente
manera:
m ∗ g = k ∗ x
luego despejamos la constante y nos queda de la siguiente manera
k = m ∗ g/ x
9

10. operando nos damos cuenta que el resultado buscado es k=10 N/m
10. En este problema se tiene que un resorte ubicado horizontalmente y en
equilibrio en una mesa sin fricci´on, est´a atado a una masa de 2 Kg hacia la
cual se dirige otra masa de 2 Kg con una velocidad de 8 m/S, que golpea
a la masa est´atica quedando adherida a ella, y se pide hallar una funcion
que describa la posici´on como funci´on del tiempo x(t). Para solucionar
este problema, tenemos que hallar una soluci´on general para el sistema,
que con lo aprendido en clase se sabe que es x(t)=Acos(ωt+φ), solucion
que se encontr´o luego de hacer el diagrama de fuerzas para el sistema
masa-resorte del problema. Necesitamos ahora encontrar las condiciones
iniciales, para hallar las constantes A (amplitud), ω (frecuencia angular)
y φ (fase). Las condiciones iniciales en este problema son:
x0 = 0
v0 = 8m/s
k=16N/m
m=2Kg
m0 = 2Kg
M = m + m0 = 4Kg
Con estas condiciones, procedemos ahora a encontrar el valor de las cons-
tantes, aplicando las formulas existentes para cada una de ellas:
ω= k
M
ω=2
A= x2
0 +
v2
0
ω2
A= 4 φ= arctan(- v0
x0ω )
φ=π/2
Reemplazando en la solucion general
10

11. x(t)=4cos(2t+π/2)
11