1. escultura de George W. Hart
SISTEMAS DE
ECUACIÓNS LINEAIS

2. SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
Chámase sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas a un
conxunto de igualdades da forma
 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3  + a1n xn = b1
a x + a x + a23 x3 .... + a2 n xn = b2
 21 1 22 2
     = 
a x + a x + am3 x3  + amn xn = bm
 m1 1 m2 2

onde x1 x2 x3 ....xn son as incógnitas, os números reais aij os
coeficientes das incógnitas e os números bi son os termos
independentes.
Diremos que n números reais s1 s2 s3 ....sn son unha solución do
sistema se cumpren todas as ecuacións do sistema.

3. Tipos de sistemas
Incompatible
Non ten solución
Sistemas de
ecuacions lineais Determinado
Solución
Compatible única
Con solución Indeterminado
Infinitas solucións

4. Expresión matricial dun sistema
MATRIZ DE COEFICIENTES MATRIZ AMPLIADA
 a11 a12 ......... a1n   b1   x1 
   a11 a12  a1n b1     
 ..... ...... ......... .....     b2  x 
A =  ..... ..... ......... .....        B=  .....  X = 2
     .... 
 ..... ..... ......... .....  a bm   
a   m1 am 2  amn   .....  x 
 m1 am 2 ......... amn  b   n
 m
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3  + a1n xn = b1
a x + a x + a23 x3 .... + a2 n xn = b2
 21 1 22 2
     = 
a x + a x + am 3 x3  + amn xn = bm
 m1 1 m2 2

O sistema anterior pódese escribir en forma matricial como A·X = B, sendo A a
matriz de coeficientes, X a matriz columnas de incógnitas e B a matriz columna
dos termos independentes.

5. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
 Rango(A) ≠Rango(A’)
Sistema incompatible.(non ten solución)
 Rango(A)=Rango (A’) = nº de incógnitas
Sistema compatible determinado.
 Rango(A)=Rango (A’)< nº de incógnitas
Sistema compatible indeterminado.

6. REGRA DE CRAMER
 Chámase sistema de Cramer a un sistema de n
ecuacións lineais con n incógnitas e no que o rango de A
sexa n.
 Un sistema de Cramer é compatible.
 O valor de cada incógnita obtense mediante a regra de
Cramer:
O valor de xi é igual ao cociente do determinante da matriz que resulta
ao substituír en A a columna i pola columna dos termos independentes,
partido polo determinante da matriz de coeficientes.

7. Exemplo 1
O sistema é compatible determinado. Resolvémolo pola regra de Cramer

8. EXEMPLO 2
sigue→

9. Exemplo 2 continuación

10. Exemplo 3
1 m 3   1 m 3 2
 x + my + 3z = 2    
 A =  1 −1 − 2 A* =  1 − 1 − 2 3 
x − y − 2z = 3 m 1 m 1 1 5
mx + y + z = 5  1 
  

A = −1 + 3 − 2m 2 + 3m + 2 − m = −2m 2 + 2m + 4
A = 0 ⇒ − 2 m 2 + 2 m + 4 = 0 ⇒ m = −1 m = 2
Cando m ≠ -1 e m≠ 2 entón ran(A)=tan(A*)=·3= nº incógnitas SCD.
Resolvemos por Cramer
2 m 3 1 2 3 1 m 2
3 −1 − 2 1 3 −2 1 −1 3
5 1 1 − 13m + 26 m 5 1 − 13m + 26 m 1 5 3m 2 − 3m − 6 3
x= = y= = z= = =−
A − 2m 2 + 2m + 4 A − 2m 2 + 2m + 4 A − 2 m + 2m + 4
2
2
..... continuación .....

11. Exemplo 3 continuación
Cando m = −1:
 1 −1 3   1 −1 3 2  rg(
    A) = 2
A =  1 −1 − 2 A* =  1 − 1 − 2 3 
 −1 1  −1 1 1 5
 1 
   rg(
A*) = 3
O sistema é incompatible
Cando m =2
1 2 3  1 2 3 2 rg(A) = 2 =rg(A*)
   
A =  1 −1 − 2 A* =  1 − 1 − 2 3 
2 1 1  2 1 Compatible indeterminado
   1 5 
 x + 2 y = 2 − 3t
z = t,  ⇒ y=−
1 + 5t
, x=
8+t
 x − y = 3 + 2t
3 3