Logarítmos

1. LOGARITMOS
El logaritmo de un número real positivo “N” en una
base positiva “b” y diferente de la unidad (b ≠ 1) es el
exponente al que se debe elevar la base “b” para
obtener el número “N”.
Simbólicamente: NxbxNlogb
=⇔=
Se lee: “El logaritmo del número N en base b es x”
Ejemplos:
481log813
3
4
=⇒=
2
25
1
log
25
1
5
5
2
−=⇒=
−
1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
N
Nblog
b =
2. LOGARITMO DE LA UNIDAD: 01blog =
3. LOGARITMO DE LA BASE: 1b
b
log =
4. LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
N
b
logM
b
logN)(M
b
log . +=
5. LOGARITMO DE UN COCIENTE:
NlogMlog
N
M
blog bb
−=





6. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
NlogMMNblog b
.=
7. LOGARITMO DE UNA RAÍZ:
Nlog
M
1
Nblog b
M =
8. PROPIEDADES ADICIONALES:
a)
a NlogaNlogNlog
a babb
==
b)
n
mmAlog
nA
=
c)
m
n
A
n A
log m =
d) Nlog
q
ppNlog
bqb
=
e) P
b
logN
b
log
NP =
9. CAMBIO DE BASE:
De base “b” a base “k”: b
k
log
Nlog
N
b
log k
=
Consecuencia: b
N
log
1
Nlog
b
=
10. REGLA DE LA CADENA:
a
d
logcdlogbclogablog =..
Base : 10
Notación: NlogN
10
log =
Ejemplos:
∗ 01log = ∗ 10,1log −=
∗ 1=10log ∗ 20,01log −=
∗
n1000....0log
cerocifrasn
= ∗
n0,00...1log
dec.cifrasn
−=
log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712
log 5 = 1 – log 2
PROPIEDAD:
Siendo:  bcde,aNlog =
Se cumple:
Nº de cifras de N = característica + 1
N es el número al que se toma logaritmo
y debe ser positivo.
b es la base del logaritmo y debe ser positiva
y diferente de 1.
x es el logaritmo (exponente)
02. PROPIEDADES
03. SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES,
VULGARES O DE BRIGGS
04. LOGARITMOS IMPORTANTES
mantisa
característica
05. SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS,
O NATURALES
01. DEFINICIÓN

2. Base: 2,7182e =
x
x
x
1
1e 





+=
∞→
lim
Notación: ALAlnA
e
log ==
Definición:






=
N
1
b
logN
b
Colog
Donde: N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1
Consecuencia: NlogNColog
bb
−=
Ejemplos: 3
8
1
log
8
1
Colog*
22
=−= 











225
5
log25
5
Colog* −=−=
Definición:
xbx
b
Antilog* =
Donde: x ∈ R > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1
Ejemplos:
32
5
25
2
Antilog* ==
16
1242)(Antilog*
4
=−=−
Propiedades:
1. xx)
b
(antilog
b
log =
2. NN)
b
(log
b
Antilog =
1. Calcular:
8log64log32logE
2
2
12
+−=
a) 17 b) 16 c) 15
d) 14 e) Más de 17
2. Calcular el valor de “x”:
05)7x3(log2
=−−
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
3. Dado el sistema:
ex+y
= 12
ex−y
= 3
Calcular el valor de y.
a) Ln 4 b) Ln 2 c) Ln 3
d) Ln 6 e) Ln 5
4. Si los números reales “a” y “b” con a > 0
verifican la ecuación:
06aa bb2
=−+
entonces se cumple:
a) balog2
= b) b2loga
= c) ba2
=
d) ab2
= e) b(-3)loga
=
5. Si: 3blog
a
=
24alog
b
=
Calcular el valor de “b”.
a) 3
22 b) 2 c)
3
24
d) 5
22 e) 5
82
6. En:
5log22)8x3log(
2
1
)9xlog( −=−−+
Un valor de “x” es:
a) 15 b) 10 c) 11
d) 12 e) 9
7. Hallar el valor de: 





z
x
log2
Si: 2
9
1
logx
=





z2log64
=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 1/2 e) 1/6
8. Si: 1810x
=
1210y
=
El valor de 6log10 es:
a)
3
x2y −
b)
3
yx −
c)
3
xy −
d)
3
y2x −
e)
3
yx +
9. La suma de los 999 primeros términos de
la sucesión:
( ) .....;
3
1
1log;
2
1
1log;11log 





+





++
es:
a) 1/2 b) 5 c) 7
d) 3 e) 3/2
10. Dada la ecuación:
x log 4 + log log 3 = log log 81
El valor de “x” es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
11. Si: log 2 = x ; log 3 = y
06 COLOGARITMO
07. ANTILOGARITMO

3. El valor de: 60log3
27
8
log −





En términos de “x” e “y” es:
a) -3(2y+x) b) 3(2y+x)
c) -3(2y−x) d) -3(2y+1)
e) -3(2x+1)
12. Si: x − y = log x
1x1010 yx
−=−
Calcular: yx
1010 +
a) x−1 b) x+1 c) x
d) y e) x+y
13. Si: xlog36
x
22
6log3log
+=+ xlog
10
El valor de “x” es:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
14. Si: 2ylog4
= 5
16
yx
log
32
4
=
El valor de IxI es:
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) 2
15. Si: x5log3
= , el valor de )243(log45 es:
a)
4x
6
+
b)
3x
4
+
c)
2x
5
+
d)
5x
4
+
e)
3x
5
+
16. El valor de:
log (2 x 4 x 6 x …. X 20) – log (9!) es:
a) 10+10 log (2) b) 1+10 log (2)
c) 10 log (2) d) log (2)
e) log (10!)
17. Calcular: )7loganti(log 24
a) 1 b) 1/2 c) 3/2
d) 5/2 e) 7/2
18. Calcular “x” si: 5,1xlog100
=
a) 10 b) 100 c) 1000
d) 1/10 e) 10
19. Resolver:
2)(xLn)1x(Ln12Ln −=−−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
20. Calcular “x” si: nlogmxlog −=
a)
m
n10
b) nm10 − c)
n
m10
d) m.n10 e) n
m
10
21. Resolver: 3log)3x2(logxlog2 +−=
a) 6 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5
22. Resolver: x47log23log2x5log2
735 =+
a) 2 b) 10 c) 11
d) 15 e) 20
23. Calcular el logaritmo en base nm
aa de
mn
aa . ( a ; m ; n > 0 ; a ≠ 1 )
a) m/n b) n/m c) m.n
d) m e) n
24. Calcular: 3 2loganti04,0logcoS 55
+=
a) 2 b) 4 c) 5
d) 1 e) 3
25. Resolver: ( )( ) 0xLnLnLn =
a) e b) ee c) 1
d) 0 e) e
26. Resolver:
3
1
1010
1010
xx
xx
=
+
−
−
−
a) 2log b) 2 c)
2log
d) 4log e) 2
27. Calcular:
27log
147log57log2
5
52
R
+
=
+
a) 4 b) 6 c) 7
d) 3 e) 9
28. Si: 2
)1xlog(
)2xlog()3xlog(
=
−
++−
Calcular: )1x(log )3x(
+−
a) 2/3 b) 3/2 c) 2
d) 1/2 e) 3
29. Calcular “x”, si: m
1mlog
1xlog
x
m =
+
+
a) m b) m c) m
m
d) 2
m e) 2m
30. Si: )c(loglog1)p(loglog xxxx
+=
Calcular “x” en:
)b(loglog)b(loglogxlog pxcxb
=+
a) b b) 1/p c) p
d) a e) 1/b
31. Si: a27log12
= . Calcular: 16log6

4. a)
3a2
4a12
+
−
b)
2a3
4a12
+
−
c)
2a
a3
+
−
d)
a3
4a12
+
−
e)
a3
4a12
−
+
32. Calcular:
1z
1
1y
1
1x
1
E
+
+
+
+
+
=
Si: ablogz;aclogy;bclogx cba
===
a) 1/3 b) 3 c) 1
d) -3 e) -1/3
33. Si:
2
1
2
3
n +=
Calcular: 4
nn
3log323logE −+=
a) 2 b) -3 c) 1
d) 5 e) 7
34. Calcular “x”en:
( ) 0,01xlog
x)log(log
x)logcolog(anti
=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
TAREA DOMICILIARIA
01. Calcular “x” en:
4log32log33log26log3xlog 55555 −+−=
a) 5 b) 2 c) 3 d) 1 e) 6
02. Calcular “x” en:
16loglog2loglog2logx =+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
03. Calcular “x” en:
2
15
xlogxlogxlogxlog 24
2
12 =+++
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3
04. Calcular “x” en:
( )[ ]9logloglogxlogloglog 81
932
xxx
xxx =
















a) 2 b) 1 c) 3 d) 9 e) 6
05. Calcular: xloglogE aa=
Si: ( ) ( )1aaaxalog
a axloga +
=
a) a2
b) a c) 2a d) 1 e) 0
06. Calcular el valor de:
49loglogantilogcologantilogantiE 75253125=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
07. Si:
16blog.clogblog.alogclog.alog abacbc =++
Calcular: 2
a
2
c
2
b clogblogalogE ++=
a) 2 b) 8 c) 16 d) 1 e) 32
08. Calcular “x” en:
( ) ( ) 343x572 7alogxalog
=+
a) a2
b) a c) 2a d) 1 e) 0
09. Calcular “x” en:
( ) 0xloglog7 7x =+
a) 7 b) 7
7 c) 7
7
d) 72 e) 77
10. Hallar “x” en:
( )[ ]{ } 0xlog1log1log1log pcba =+++
a) 1 b) 10 c) 2 d) 0 e) 5
11. Hallar “x” en:
( ) ( ) ( )( ) 10xx1x2002.3x 35log1xlog3xlog5log
++=+++ ++
a) 2 b) 3 c) -2 e) -1 e) 1
12. Hallar “x” en:
( ) 01.0xlog xloglog
xlogantilogco
=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Resolver el sistema:
nlogmn
10.myxlog =
2
ylog
xlog
n
m
ylog
xlog






=
a) 10x = ; 10y = b) n
10x = ; m
10y =
c) m
2x = ; n
2y = d) m
10x = ; n
10y =
e) N.A.