1. 1. Indicar verdadero ó falso. 7. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y ADFG se
I. Dos planos son perpendiculares cuando encuentran en planos que forman un diedro de 120º. Hallar
determinan diedros que mide 90º. BF , si : CD = AG = 2m y FG = 6m.
II. El lugar Geométrico de los puntos equidistantes
C
de las caras de un diedro es el plano bisector del a) 4 B
diedro. b) 3
III. Dos planos que se cortan forman diedros c) 4 3
D
adyacentes suplementarios. A
d) 3 3
a) VFF b) VVF c) VVV
d) FFV e) FVF e) 2 6
G F
2. En un rectángulo ABCD: AB = 2 y BC = 4. Se dobla el 8. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y ADFG se
rectángulo por los puntos medios de BC y AD formándose encuentran en planos que forman un diedro de 120º.
un ángulo diedro de 60º. Hallar la distancia entre los Hallar BF, si: CD = AG = 2m y FG = 6m.
vértices A y C en la posición final.
a) 4 B C
a) 2 b) 3 3 c) 3
b) 3
d) 2 2 e) 6 c) 4 3
A D
d) 3 3
3. Se tiene un triángulo isósceles AOB; AO = OB = 2a, se levanta
e) 2 6 G F
la perpendicular OM al plano del triángulo, tal que OM =
a 6 se une “M” con “A” y “B”. Hallar el diedro AB . 9. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB en el cual
Si: m ∡ AOB = 90º. AO = OB = 6 m por el punto O se levanta la
a) 30º b) 60º c) 37º perpendicular OM al plano del triángulo. Hallar OM si el
d) 53º e) 45º
diedro AB formado mide 60º.
4.
∧
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB ( O = 90º ) a) 1m b) 2m c) 3m
d) 3,5m e) 3,8m
AO = OB = 2m por “O”. Se levanta la perpendicular OM al
10. Se tiene un plano Q y un segmento AB = 12m en el espacio.
plano del triángulo tal que OM= 2 , se une M con A y B.
Hallar la medida del ángulo α formado por AB con el plano,
Hallar la medida del diedro AB .
si las proyectantes de A y B miden 13m y 7m
respectivamente.
a) 30º b) 37º c) 45º a) 30º b) 37º c) 45º
d) 53º e) 60º d) 53º e) 60º
5. En el gráfico “BF” perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si :
11. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden
AB = BF = a y M es punto medio de CD . Calcular el área del
15 y 20m. Por B se levanta la perpendicular BP = 12 3m al
triángulo FDM.
F plano del triángulo, luego se une P con A y C. Calcular la
a2
a) medida del diedro AC .
2
a) 30º b) 37º c) 45º
a2 2 d) 53º e) 60º
b) B C
2
c) a2 2 12. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre el plano. ¿A
M qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo
a2 2 que corta a P1 tal que sus intersecciones distan 42cm?.
d)
4 a) 21cm b) 31,5cm c) 21 2
38a2 d) 21 2 e) 21 2
e) A D
4
13. Se traza PQ perpendicular a un plano “Q” esta en el
6. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6cm , del lado AB se plano haciendo centro en Q. Se traza una circunferencia
toma el punto “P” y exterior al plano del cuadrado se toma de radio 24cm, por un punto B de esta se traza la
tangente BC de 30 m.
“Q” de modo que PQ sea perpendicular al plano. Calcular
Hallar: “PC”. Si: PQ = 32.
el ángulo diedro que forman los planos del triángulo CDP y a) 40 b) 30 c) 50
el cuadrado ABCD sabiendo que PQ = 3cm. d) 60 e) 20
a) 53º b) 53/2 c) 37º
d) 37º/2 e) 30º

2. 14. Averiguar el máximo número de planos que determinan 5 a) 15 b) 17 c) 20
puntos no colineales en el espacio. d) 25 e) 13
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12 22. ABCD es un cuadrado de lado 8cm PA es perpendicular al
plano del cuadrado. Si “o” es centro del cuadrado; PA = 4
15. Averiguar el máximo número de planos que determinan 4
puntos no colineales en el espacio. 2 . Calcular PO.
P
a) 1 b) 2 c) 3 B C
d) 4 e) 5 a) 2
b) 4
16. ¿Cuántos planos como máximo forman 3 rectas paralelas? c) 6 O
a) 1 b) 2 c) 3 d) 8
d) 4 e) 5 e) 10
D
A
17. ¿Cuántos planos como máximo forman 6 rectas paralelas?
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
23. En la figura los planos “P”, “Q” y “R” son paralela. Si: MB =
12cm y ND = 9cm. Hallar AB sabiendo que excede a CD en
18. En la figura AB es exterior al plano “P” AM = 5cm;
7cm.
BN = 12cm, MN = 24cm. Calcular AB.
B C P
a) 12 A
a) 5 A b) 24
b) 10 c) 16
c) 20 Q
d) 28 M N
d) 25 M N e) 21
e) 15 P
R
B D
19. En la figura “a” pertenece al plano “P” si: AB = 5 y BH = 3.
Calcular la proyección de AB sobre el plano P.
B
a) 1 AD 4
24. En la figura “P”, “Q” y “r” son planos paralelos = ;
b) 2 DG 3
c) 3 BE = 12cm; IF = 6. Calcular EH – CF.
d) 4
A H
e) 5 P
A B C
P
20. En la figura AB es secante al plano “P” , “Q” pertenece al
D E F
plano “P” y al segmento AB . Si: AB = 13cm y MN = Q
12cm. Calcular: AM + BN. B
G H I
R
M
N
Q
P
a) 1 b) 3 c) 5
A d) 2 e) 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 25. Señalar la afirmación falsa.
a) Una recta que es paralela a dos planos que se cortan,
21. En la figura PQ es perpendicular al plano “A”. “Q” es centro en paralela a su intersección.
de la circunferencia de radio 9cm y “B” punto de tangencia. b) Una recta y un plano perpendiculares a una recta, son
Si: BC = 8cm y PQ = 12cm. Calcular: PC. paralelos entre si.
P c) Una recta que forma ángulos iguales con otras tres
rectas que pasan por su pie en el plano, es paralela a
dicho plano.
d) Es imposible, trazar desde un punto dos
Q perpendiculares distintas a un mismo plano.
C e) La proyección de un segmento paralelo a un plano es
B igual a la longitud del segmento.
P

3. 26. Señala la afirmación correcta. 35. Calcular la diagonal del cubo. Si el área total es 30m2.
a) Si un plano es perpendicular a una recta, es paralelo a a) 5 b) 3 c) 2
un plano cualquiera que pasa por dicha recta. d) 30 e) 15
b) Toda recta paralela a la intersección de dos planos, es
perpendicular a uno de los planos. 36. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.
c) Por un punto de un plano solo se puede trazar un plano a) a2
que le sea perpendicular. b) a2 3
d) Por una recta cualquiera en el espacio siempre se puede
c) 2 a2 3 a
trazar un plano paralelo a un plano dado.
e) Por una recta paralela a un plano, solamente se puede d) a2 3
trazar otro plano paralelo anterior. 2
a2 3
e)
27. Se tiene una circunferencia de diámetro AB, contenida en 4
un plano. Por “A” se levanta una perpendicular al plano en
37. Calcular el área total del cubo mostrado, sabiendo que el
la cual se toma el punto “F” en la circunferencia se toma el
punto “C” tal que FC = 9 y BC = 4. Hallar: “FB”. área de la región sombreada es 18 3m2 . (Ver figura del
a) 3 b) 3 13 c) 13 problema anterior).
a) 3 b) 6 c) 36
13 d) 144 e) 216
d) e) 4 13
2
38. Calcular el volumen del tetraedro regular inscrito en el cubo
cuya arista es “a”.
28. Un triángulo equilátero ABC se encuentra en un plano
3
perpendicular a un cuadrado ABDE el segmento de recta a) a2 2 d) a 3
2
que une el punto medio de AC con el punto medio de BD
3 3
mide 1cm. Calcular la longitud de la diagonal del cuadrado. b) a 2 e) a 2
a) 1 b) 2 c) 3 2 3
3
d) 4 e) 5 a 3
c)
3
29. Si la arista de un tetraedro es 3. Calcular su altura. 39. Calcular el área de la región sombreada.
a) 3 b) 3 6 c) 6 a) a2 2
B C
a2 2
d) 6 e) 6 b)
2 A D
2 3
2
c) a 2
4 a O
30. Calcular el área de un tetraedro regular cuya arista es 3 .
d) 2
a 3 G
a) 3 b) 3 3 c) 2 3 F
2
d) 4 3 e) 3 2 e) a 3
2 E H
31. Calcular el volumen del tetraedro regular, sabiendo que su 40. Calcular el volumen del hexaedro regular, si el área de la
área es 18 3 m2. región sombreada del problema anterior es 9 2 m.
a) 3m3 b) 9m3 c) 12m3 a) 225 m3 b) 144 c) 316
d) 9 2 m3 e) 1 m3 d) 216 e) 200
32. Calcular el volumen de un tetraedro regular, sabiendo que 41. Calcular el área de la región sombreada, si el volumen del
cubo es 216m3. B C
su área total es 3 .
A D
a) 2 b) 2 c) 2 a) 6 2
6 12
b) 36 2 O
d) 3 e) 2 c) 9 2
12 3 G
F
d) 3 2
33. Calcular el volumen del hexaedro regular cuya arista es 4 E H
e) 2
2.
a) 128 b) 128 2 c) 64 2 42. Calcular el área de la región sombreada si el volumen del
d) 32 2 e) 4 2 tetraedro regular es 144 2 .
a) 36 2 d) 72 2
34. Calcular el área de un hexaedro regular cuya diagonal es 2 b) 36 2 e) 72 3
3. c) 144 2
a) 64 b) 18 c) 36
d) 24 e) 17