1. x (x + y + z) = x2 + xy + xz
MÉTODOS DE LA FACTORIZACION
A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O POLINOMIO
Factorizar: 91187510
yx25yx10yx5 
)yx5y2x(yx5 4433
monomio
comúnFactor
57

B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
1) Factorizar:
F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1
Resolución:
Agrupando en la forma indicada.
1

cbabcacababcF
F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1)
)1()1(  baabcF
F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]
Del corchete se extrae el factor común (b + 1):
)1a)(1b)(1c(F 
C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS
1. Factorizar
N = x6 – x4 + 2x2 – 1
Resolución
Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo (–).
N = x6 – ( 1x2x 24
 )
N=x6 – 22
)1x(  ...... Diferencia de cuadrados
 )1xx)(1xx( 2323

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Factorizar: 8x2 – 22x + 15
Resolución: 8x2 – 22x + 15
4x – 5 = – 10x +
2x – 3 = – 12x
– 22x
 Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)
E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE
Factorizar:
A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
Resolución:
A (x,y) = 3x 2
+ 4xy + y 2
+ 4x + 2y + 1
3x
x
+y
+y
+1
+1
(I) (II)(III)
Comprobaciones:
(I) : (3x) y + x (y) = 4xy
(II) : y (1) + y (1) = 2y
(III) : 3x (1) + x (1) = 4x
Finalmente:
 (3x + y + 1) (x + y + 1)
F) MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL:
Factorizar: A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6
Resolución:
A(x) = x4
+ 5x 3
+ 9x 2
+ 11x + 6
x2
x2
4x
x
(I)
+3
+2
(II) (III)
Se observa que:
(I) (2) (x2) + x2(3) = 5x2.
Luego: 9x2 (término central) – 5x2 = 4x2, se descompone
4x2 en 2 factores: (4x) y (x)
(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3
(III) 4x(2) + x(3) = 11x
Finalmente:
A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)
G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS:
Cero de un Polinomio: Es el valor o conjunto de valores que
tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a
determinado polinomio.
Ejemplo: Sea: F(x) = x3 + 3x – 4
FACTORIZACIÓN

2. Para x = 1
F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0
 1 será un “cero” de F
REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN
POLINOMIO:
Posibles ceros =
.Coef.er1delDivisores
.indep.TdelDivisores

Ejemplos explicativos
Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21
Resolución:
P.C. =  1,  3,  7,  21
Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1)
determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.
1 -11 31 -21
1 1 -10 21
1 -10 21 0
P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)
P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)
AHORA PRACTICA TU
01. Factorizar. M(a; b) = a
2
- 4 + 2ab + b
2
e indicar un factor primo.
a) a + b + 2 b) b – 2 c) a + b – 4
d) a + 2 e) b + 2
02.Señalar un factor primo, luego de factorizar:
P(x)=x2 +(b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc
a) x + b + d b) x + 2d c) x+ d+ b+ c
d) x + c e) x – 2c
03.Señalar un factor primo de:
H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2
a) 3x2 + 2x – 6 b) (x – 2)2 c) 3x2 – 2x– 6
d) (x + 2)2 e) x – 2c
04.Factorizar:
P (a; b; c) = a (b – c)2 + b(c – a)2 + c (a – b)2 +
8 abc
a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c)
b) (ab + ac + bc) (a + b + c)
c) (a + b ) (b + c) (c + a)
d) (a – b) (b – c) (c – a)
e) (ab + ac + bc) (a – b + c)
05.Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de
coeficientes, después de factorizar:
M ( x) = x4 + 4x2 + 16
a) x2 + x – 2 b) x2 +2 x – 4 c) x2 + x – 8
d) x3 + 8 e) x2 + 2x + 4
06.¿Cuántos divisores primos posee:
T (a; b) = (a2 + b2 – 6ab)2 – 4ab (a + b)2 ?
a) 2 b) 5 c) 4
d) 3 e) 6
07. Indicar el número de factores irreductibles de:
P(x; y; z)=x4 y2 z7 + xy2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7
a) 4 b) 3 z7 c) 2
d) 5 e) 1
08.Indicar un factor primo de:
P(x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2 - 4(x - y)2
a) x + y + z + 1 b) x – y + z + 1
c) x – y + z d) x – y + z + 2
e) z + y – z + 2
09.¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un
factor primo de:
F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)
a) – x2 b) 2xy c) y2
d) 2x2 e) –y2
10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del
polinomio.
H (x) = x3 – x2 – 17x + 33
a) –3 b) –6 c) –7
d) –5 e) –8
11. Factorizar:
M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2 + z4)
y dar como respuesta el número de factores primos
a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6
12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de
coeficientes en:
P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10
a) x2 + 3x + 2 b) x2 - 2x + 5 c) x2 - 4x - 2
d) x2 + 4x + 2 e) x2 - 2x + 2
13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:
P(x) = (1 + x2) (1 – x2)2 + (x – x2)2
a) 2 b) 4 c) 1
d) 5 e) 3
14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:
P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1
a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1
c) x3 + x + x2 – 1 d) x3 – x + 1
e) x3 – x2 + 1

3. 15. Del polinomio
P (a; b) = a4 + 5bc2 – a2b – a2c2 – 2b2 – 2c4
Decir si es verdadero o falso con respecto a las
proposiciones siguientes:
I. Tiene 3 factores primos
II. Tiene 2 factores primos cuadráticos
III. La mayor suma de coeficientes de un factor primo es 2 -
2c2 ; 0 < c < 1.
a) VVV b) VFF c) FVF
d) FVV e) VVF
16. Factorizar
F(a;b;c)=(a+ b+ c)2+(a+ b- c)2+4c(a+ b)+5(a+ b+ c)+ 2
E indicar el factor primo de mayor término independiente.
a) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c – 2
c) 2a + 2b + c – 1 d) a + b + c + 2
e) 2a + 2b + 2c – 1
17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del
polinomio.
P (x; y) = (x + 2y)2 – 2xy (3x – 4xy + 6y)
a) x2 + 4y2 b) 2x2 + 2xy + 8y2
c) x2 – 4y2 d) 2x + 4y – 6xy
e) 2x2 – 2xy + 8y2
18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de
un factor primo de:
P (x; y) = 6x2n – 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn – 17xn
a) 0 b) 2 c) 12
d) 1 e) 6
19. Con respecto al polinomio:
P(a;b;c) = b3 (a – c2) +c3 (b – a2) + a3 (c – b2)+
abc (abc – 1)
Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las
proposiciones siguientes:
I. Un factor primo es a2 – b
II. Un factor primo es a2 + b
III. a – c2 no es un factor primo
a) VVF b) VFV c) VFF
d) VVV e) FFF
20.Mencionar un factor primo del polinomio:
3x)2222(2x)32(3x2Q(x) 
a) x b)  c) 2
d) 2x  e) x
21. Indicar un factor de:
S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5
a) x4 + x3 + x2 + x + 1b) x9 + 1 c) x5 + 1
d) x3 + x2 + x + 1 e) x4 + 1
22. Si x2 - 5x + 6 es un factor de:
P(x)=x4 – 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m
a) 1 b) – 3 c) 10
d) –5 e) 3
23. Siendo b + 1 y a – 1 cuadrados perfectos, factorizar
M(x)=x6–(a+b+1)x4+(ab+2a–1)x2– a+b–ab+1
y señale aquél que no es un factor de M(x).
a) 1bx  b) 1ax  c) 1bx 
d) x2 – 1 e) x2 + 1 – a
24. Con respecto al polinomio
P(z) = z6 – 9z4 + 16z3 – 9z2 +1
Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Un factor primo es z2 + 4z + 1
II. Un factor algebraico es (z - 1)3
III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos
a) VVV b) FVF c) VVF
d) VFV e) FFF
25. Indicar aquel polinomio que no es factor de:
Q(x;y) = x3 + 2x2y – 4xy2 – 8y3 – x + 2y
a) x – 2y b) x + 2y + 1
c) x – 1 + 2y d) x + 2y
e) x2 – 1 + 4y (x + y)
26. Luego de factorizar:
P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2
Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las
proposiciones:
I. Un factor primo es x3 + x + 1
II. Un factor primo es x2 - x + 1
III. La suma de coeficientes de un factor primo mónico es 1.
a) VVV b) VFV c) FFV
d) VFF e) VFF
27. Señalar un factor de:
P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6
a) x – 1 b) x – 2 c) 2x – 1
d) 3x2 – 7x + 2 e) 3x + 1
28.Luego de factorizar
S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z – x)5
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Un factor primo es 2x + y – 2z
II. La suma de 2 factores primos es 2x + y  2z
III. Un factor primo es 3x + y + 5z
a) VVV b) VVF c) VFV
d) VFF e) FVF
29. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio:
P(x) = x(x  1) (x + 2) (x  3) + 8
I. Tiene 2 ceros racionales.
II. Tiene 3 factores primos mónicos.
III. Tiene 2 factores cuadráticos.
a) VVV b) VVF c) VFV
d) VFF e) FVF
30.Luego de factorizar:
P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2
Indicar un factor primo cuadrático.
a) 4x2 + x + 1 b) x2  5x + 1
c) 4x2 +x+3 d) 2x2 + x + 12
e) 4x2 + 6x + 3