bode

1. MÉTODOS DE RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Las señales de prueba (entradas) típicas
para los sistemas de control de lazo cerrado
en el dominio del tiempo son el escalón, la
rampa y la parábola.
En los métodos de repuesta en frecuencia,
se emplea como señal de prueba (entrada)
para estado estable una señal sinusoidal.

2. “La respuesta en frecuencia de un SLIT, está
definida como la respuesta de estado estable a una
señal sinusoidal de entrada. La señal de salida
resultante es otra señal sinusoidal, que difiere de la
entrada en amplitud y fase.”
Para los métodos de respuesta en frecuencia, teniendo
𝐺 𝑆 , Se reemplaza s por jω, con ω variable.

3. Sabemos que para un sistema con función de transferencia
de lazo cerrado T(S), la salida está dada por:
)
(
)
(
)
( S
R
S
T
S
Y 
t
Sen
A
t
r 

)
(
Siendo:

4. 2
2
)
(




S
A
S
R
la señal sinusoidal de entrada, y su correspondiente transformada de
Laplace:




 n
i
i
p
S
S
m
S
q
S
m
S
T
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Si consideramos que )
(S
T esta dada por:

5. Donde se asume que los i
p polos son distintos. Entonces, se deduce que )
(S
Y
en forma de fracciones parciales esta dada por:
2
2
1
1
...
)
(











S
S
p
S
k
p
S
k
S
Y
n
n
Tomando la transformada inversa
 
Donde y son constantes.











 

2
2
1
1
)
(



S
S
e
k
e
k
t
y t
p
n
t
p n
... ℒ−1

6. Si el sistema es estable, entonces todos los i
p tienen parte real negativa diferente
de cero, y
Puesto que cada término exponencial 0

 t
p
i
i
e
k .


t
conforme
En el límite para ),
(t
y obtenemos para 

t (en estado estable):








 2
2
)
(



S
S
t
y ℒ−1












 2
2
lim
)
(
lim



S
S
t
y
t
t
ℒ−1

7. o
)
(
)
(
1
)
( 





 t
Sen
j
T
A
t
y
)
(
)
(
)
( 

 
 t
Sen
j
T
A
t
y
Donde:
 
)
( 
 j
T
Arg

En conclusión, la salida en
estado estable depende
de la magnitud y de la fase
De ).
( 
j
T
t
Sen
A
t
r 

)
( )
(
)
(
)
( 

 
 t
Sen
j
T
A
t
y
𝑟(𝑡)
𝑦(𝑡)
𝜙
A
A
𝜔𝑡(𝑟𝑎𝑑)
t
Sen
A
t
r 

)
( )
(
)
(
)
( 

 
 t
Sen
j
T
A
t
y
𝑇(𝑗𝜔)

8. PROBLEMA
Mediante la respuesta frecuencial de un sistema en lazo cerrado, se desea
determinar su performance, por lo que se hicieron las siguientes mediciones en las
frecuencias indicadas. Se pide:
a) Completar la siguiente tabla:
b) Trazar las curvas de Bode del sistema y medir el máximo pico Mpw, la frecuencia
de resonancia WR y la frecuencia de ancho de banda a – 3dB.

11. SOLUCION: a) La amplitud de la señal de entrada 𝐴𝑒(𝜔) y de la señal de salida 𝐴𝑠(𝜔),
dan la función de transferencia (Ver figura):
que en decibelios es:
De otra parte, el desfasaje temporal entre la señal de entrada y la señal de salida
(medido mediante intersecciones de las señales con el eje de las abscisas) está dado por:
𝐺 𝑗𝜔 =
𝐴𝑠
𝐴𝑒
, 20𝑙𝑜𝑔 𝐺(𝑗𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔
𝐴𝑠
𝐴2
Φ =
𝑡𝑠 − 𝑡𝑒
𝑇
2𝜋 (𝑟𝑎𝑑)
Φ =
𝑡𝑠 − 𝑡𝑒
𝑇
360°

12. Usando las expresiones de ganancia en decibelios y la fase en grados sexagesimales,
llenamos la siguiente tabla, que muestra en las columnas con recuadros anaranjados
las respuestas pedidas.
Respuesta a)

13. b) Con la tabla anterior, graficamos las curvas de ganancia en dB y de fase en grados
sexagesimales siguiente:
20𝑙𝑜𝑔 𝐺(𝑗𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔
𝐴𝑠
𝐴2
Φ(𝜔)
rad/seg
rad/seg
Donde se aprecia :
Mpw  17 db
a Wr  3.76 rad/seg
(Líneas de trazos rojas)
WB  5.9 rad/seg,
para una atenuación
de – 3dB en bajas
frecuencias.
(Líneas de trazos
verdes).
Respuesta b)

14. MÉTODOS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
1. Las curvas de Bode
de Magnitud y Fase
2. Los Diagramas
de Nyquist
3. Las Cartas de Nichols

15. CURVAS DE BODE
Las curvas de bode son dos, la de magnitud en decibelios y la de fase en grados
sexagesimales.
Para trazar las curvas de Bode de la función de transferencia de un sistema, por ejemplo
dela función de transferencia de lazo abierto 𝐺𝐻(𝑠), se debe reemplazar s por 𝑗𝜔, es
decir, 𝐺𝐻(𝑗𝜔) .
La curva de magnitud , en decibelios (dB), se trazará con la expresión
20𝑙𝑜𝑔 𝐺𝐻(𝜔)
La curva de fase, en grados sexagesimales se trazara con la fase de 𝐺𝐻 𝑗𝜔 = 𝜙 𝜔 .

16. CURVAS DE BODE PARA DIFERENTES TIPOS DE
FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Usualmente, una función de transferencia, por ejemplo contiene factores de la forma:
𝐾,
Ganancia
de Bode
Polos y/o ceros
en el origen
Polos y/o ceros reales Pares de polos y/o ceros reales
complejos conjugados
(𝑗𝜔)±𝑛
𝐺𝐻(𝑗𝜔)
(𝑗𝜔𝜏 + 1)±𝑛
[ 𝑗𝜔 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑗𝜔 + 𝜔𝑛 ]±𝑛
FORMA DE BODE DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

17. Expresión de la ganancia de la función de transferencia para trazar la curva de magnitud en decibelios:
Expresión de la ganancia de la función de transferencia para trazar la curva de magnitud en decibelios:

18. APROXIMACIÓN ASINTÓTICA DE LAS CURVAS DE BODE
Ganancia
K
j
GH
K
s
GH


)
(
)
(

K
j
GH log
20
)
(
log
20 

0
K
º
180
0
K
º
0
0








K
arctg


19. Polo en el origen (integrador)


j
j
G
s
s
G
1
)
(
1
)
( 

[dB]
log
20
log
20
1
log
20
1
log
20
)
(
log
20











j
GH
º
90
1
)
( 




 

 j
Pendiente = -20 dB/década
º
90
)
( n





[dB]
log
20
)
(
log
20 
 n
GH 

Polos múltiples en el origen:

20. Polo Real



j
j
GH
s
s
GH




1
1
)
(
1
1
)
(
[dB]
1
log
20
1
1
log
20
)
(
log
20
2
2










j
GH
)
( 1


 

 Tan






























º
90
)
1/
(
log
20
1
log
20
s)
frecuencia
(altas
º
0
)
1/
(
0
1
log
20
s)
frecuencia
(bajas
0
2
2
2
2













(Ejemplo para 𝜏 = 1)

21. Polo Real
𝜔𝑐 =
1
𝜏
frecuencia de corte: la frecuencia a la que se interceptan las dos asíntotas
Pendiente = -20 dB/década
Curva exacta
Error max. 3dB
Pendiente = -45º/dec
real
asintótico
=0.1/
=10/
c

22. Caso 𝜉< 0.707 (caso con resonancia)
Asíntotas
Exacta
20logMr
n frecuencia de corte
-90º/dec
-40dB/dec
0.1 n
10 n
Polos complejos conjugados
20𝑙𝑜𝑔 (1 − 𝑢2
)2
+(2𝜉𝑢)2 1
2 =
= −10𝑙𝑜𝑔 (1 − 𝑢2
)2
+
1
2
= −10𝑙𝑜𝑔 (1 − 𝑢2
)2
+4𝜉2
𝑢4
𝜙 𝜔 = −𝑇𝑎𝑛−1(
2𝜉𝑢
1 − 𝑢2)

24. Ejemplo
Mediante aproximación asintótica, trazar la curvas de Bode de la siguiente
función de transferencia y analice su estabilidad.
𝐺𝐻 𝑠 =
2500(𝑠 + 10)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠2 + 30𝑠 + 2500)

25. 𝐺𝐻 𝜔 =
5(1 + 𝑗0.1𝜔)
𝑗𝜔(1 + 𝑗0.5𝜔) 1 −
𝜔
50
2
+ 𝑗0.6
𝜔
50
(a) Trazado manual de curvas de Bode exactas
Se requiere la forma de Bode de GH(S):
20 log 𝐺𝐻 𝜔 = 20 log 5 + 20log 1 + 0.01𝜔2 − 20log𝜔 − 20𝑙𝑜𝑔 1 + 0.25𝜔2 − 20𝑙𝑜𝑔 1 −
𝜔
50
2 2
+ 0.6
𝜔
50
2
𝜙 𝜔 = 𝑇𝑎𝑛−1 0.01𝜔 − 90° − 𝑇𝑎𝑛−1 0.5𝜔 − 𝑇𝑎𝑛−1
0.6
𝜔
50
1 −
𝜔
50
2
Expresión para trazar la curva de ganancia en dB
Expresión para trazar la curva de ganancia en dB

26. -150
-100
-50
0
50
Magnitude
(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
>> n=[2500 25000];
>> d=[1 32 2560 5000 0];
>> sys=tf(n,d)
sys =
2500 s + 25000
--------------------------------
s^4 + 32 s^3 + 2560 s^2 + 5000 s
Continuous-time transfer function.
>> bode(sys)
(b) Trazado de curvas de Bode exactas mediante el comando “bode” de MATLAB
𝐺𝐻(𝑠) =
2500𝑠 + 25000
𝑠4 + 32𝑠3 + 2560𝑠2 + 5000𝑠

27. 0°
90°
180°
270°
360°
20𝑙𝑜𝑔 𝐺𝐻(𝜔)
𝜙(𝜔)
10−1
100
101 102
103 104
𝐺𝐻 𝑠 =
2500(𝑠 + 10)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠2 + 30𝑠 + 2500)
𝐺𝐻 𝑠 =
5(1 + 𝑗0.1𝜔)
𝑗𝜔(1 + 𝑗0.5𝜔) 1 −
𝜔
50
2
+ 𝑗0.6(
𝜔
50
)
(c) Trazado de curvas de Bode
Mediante aproximación
Asintótica.

28. -150
-100
-50
0
50
Magnitude
(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
Phase
(deg)
Bode Diagram
Gm = 28.6 dB (at 47.5 rad/s) , Pm = 48.6 deg (at 2.94 rad/s)
Frequency (rad/s)
>> n=[2500 25000];
>> d=[1 32 2560 5000 0];
>> sys=tf(n,d)
sys =
2500 s + 25000
--------------------------------
s^4 + 32 s^3 + 2560 s^2 + 5000 s
Continuous-time transfer function.
>> margin(sys)
ESTABILIDAD RELATIVA : MARGEN DEGANANCIA Y MARGEN DE FASE

29. ESPECIFICACIONES DE FUNCIONAMIENTO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
𝜔𝑛
2
𝑠(𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛)
Considerando el lazo de control:
R(s)
Y(s)
Siendo la función de transferencia de lazo cerrado:
𝑇 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2

30. La respuesta en frecuencia de la FTLC es:
Donde:
𝑀𝑝𝜔: Máximo pico.
𝜔𝑟: Frecuencia de resonancia.
𝜔𝑟: Ancho de Banda a -3dB.

31. A la frecuencia de resonancia 𝝎𝒓 se produce el máximo pico 𝑴𝒑𝝎 de la
respuesta en frecuencia de la magnitud de la FTLC.
El ancho de banda es la frecuencia 𝝎𝑩 a la cual la respuesta en Frecuencia
de la magnitud de la FTLC ha declinado 3 dB en bajas Frecuencias.
𝜔𝐵 = 𝜔𝑛(1.19𝜉 + 1.85)
Válida para 0.3 ≤ 𝜉 ≤ 0.8
Relación aproximada entre 𝝎𝑩 y 𝝎𝒏 y 𝝃

32. Relación entre 𝑴𝒑𝝎 y 𝝃
Relación entre 𝝎𝒓 y 𝝎𝒏 y 𝝃

33. PROBLEMA
El sistema de control de la figura, debe tener un sobre paso menor al 10%.
(a) Halle el valor de 𝑀𝑝𝜔 en el dominio de la frecuencia para la FTLC.
(b)Determine la frecuencia de resonancia 𝜔𝑟.
(c) Determine el ancho de banda 𝜔𝐵.

34. Solución
La función de transferencia de lazo cerrado es
(a) Para un sobrepaso del 10%, se halla
De la FTLC,
de dode
. También,
Luego:
𝑇 𝑠 =
𝐾
𝑠2 + 7𝑠 + 𝐾
0.10 = 𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2, 𝜉 = 0.59
2𝜉𝜔𝑛 = 7,de donde 𝜔𝑛 = 5.93 𝐾 = 𝜔𝑛
2 = 35.12
𝑀𝑝𝜔 = (2𝜉 1 − 𝜉2)−1= 1.05

35. (b) Para un sistema de segundo orden tenemos
Con
(c) Para un sistema de segundo orden tenemos
Estimamos
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛 1 − 2𝜉2 = 0.55𝜔𝑛 = 3.27
𝜉 = 0.59 𝜔𝑛 = 5.93
𝜔𝐵 ≈ −1.19𝜉 + 1.85 𝜔𝑛 = 1.14𝜔𝑛 = 6.8𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

36. -80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude
(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-135
-90
-45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
>> n=[35.12];
>> d=[1 7 35.12];
>> sys=tf(n,d)
sys =
35.12
-----------------
s^2 + 7 s + 35.12
Continuous-time transfer function.
>> bode(sys)
Para K = 35.12, hallamos la repuesta en frecuencia de la FTLC.

37. PROBLEMA
El diagrama de bode de un sistema en lazo cerrado se muestra en la siguiente figura.
Asuma que la FTLC tiene dos polos complejos conjugados dominantes.
(a) Halle el mejor modelo de segundo orden para el sistema.
(b)Determine el ancho de banda del sistema.
(c) Cuál será el SP% y Ts para una entrada escalón?

38. Solución
a) De la curva de Bode de Magnitud de lazo cerrado:
20𝑙𝑜𝑔𝑀𝑝𝜔 = 12 𝑑𝐵 𝑜 𝑀𝑝𝜔 = 3.981
Para el sistema de segundo orden:
𝑀𝑝𝜔 = (2𝜉 1 − 𝜉2)−1
Resolviendo para 𝜉 con 𝑀𝑝𝜔 = 3.981, tendremos 𝜉 = 0.12. También de la curva
de Bode:
𝜔𝑟 = 0.9 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

39. Luego,
𝜔𝑛 =
𝜔𝑟
1 − 2𝜉2
= 0.91 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Por lo tanto, la función de transferencia aproximada de segundo orden es:
𝑇(𝑠) =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 =
0.83
𝑠2 + 0.22𝑠 + 0.83

40. b) De la curva de Bode de Magnitud de lazo cerrado:
-3 dB
1.5

41. c) El sobrepaso del sistema es:
S𝑃% = 100𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2, 𝜉 = 0.59
con
S𝑃% = 68%
El tiempo de asentamiento del sistema es:
𝑇𝑠 =
4
𝜉𝜔𝑛
=
4
0.12(0.91)
𝑇𝑠 =36.63 seg.

42. >> n=[0.83];
>> d=[1 0.22 0.83];
>> sys=tf(n,d)
Transfer function:
0.83
-------------------
s^2 + 0.22 s + 0.83
>> bode(sys)
10
-1
10
0
10
1
-180
-135
-90
-45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Magnitude
(dB)

43. Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
>> step(sys)

44. PROBLEMA
La red principal de control en una planta de energía nuclear incluye un atraso de tiempo
necesario para transportar fluidos desde el reactor hasta el punto de medición (ver Figura ).
La función de transferencia del reactor es:
1



s
e
)
S
(
G
ST
R

seg
.
T 5
0
 .
seg
.2
0


Donde y
Calcule el valor de las constantes 2
1 K
y
K del controlador ),
S
(
Gc
Para que el sistema tenga un margen de fase de 50º a una frecuencia de cruce de ganancia
por 0dB de 2.2 rad/seg. La función de transferencia del controlador es:
S
K
K
)
S
(
Gc
2
1 


45. Generador de gas
Núcleo del
reactor
Temperatura
deseada
Medición de
temperatura
Barras de
control
Actuador )
S
(
G
c

46. Solución
La función de transferencia de lazo abierto del sistema es
)
s
(
e
)
s
K
K
(
)
s
(
GH
sT





1
2
1
)
j
(
e
)
j
K
K
(
)
j
(
GH
.
j








1
5
0
2
1
)
.
j
(
j
e
)
K
j
K
(
)
j
(
GH
.
j





2
0
1
5
0
1
2








 5
0
90
65
28 1
2
1
1
.
Tg
º
.
K
K
Tg
)
( 






47. ,
seg
/
rad
.2
2


del enunciado se deduce que, para
1
)
2
.
2
( 
j
GH y º
130
)
2
.
2
( 


1
))
2
.
2
(
2
.
0
1
(
2
.
2
)
2
.
2
( )
2
.
2
(
5
.
0
1
2


 
j
j
e
K
j
K j
1
2
2
2
0
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1



)
.
x
.
(
.
)
K
/
K
(
.
K
º
.
º
º
K
K
.
Tg
º
)
.
(
.
Tg
º
)
.
(
.
K
K
.
Tg
º
75
23
90
63
2
2
130
2
2
5
0
90
2
2
65
28
2
2
130
2
1
1
1
2
1
1













069
2
1
2
.
K
K

65
1
75
0
2
1
.
K
.
K


De las dos últimas expresiones, se halla:

48. PROBLEMA
Halle el retardo puro del sistema cuya respuesta frecuencial se ve en la Figura.

49. SOLUCIÓN
Tomamos dos frecuencias altas para la fase del donde solo se tiene influencia del retardo
sistema. Vemos que la dinámica más alta está en 10 rad/seg. Tendríamos que ir más de
una década después para tomar estas frecuencias.
Sabemos que la fase a esas frecuencias debe corresponder con:
Φ𝑖 = Φ − 57.3𝜔𝑖𝑇𝑑.
Donde Φ es el valor en el que se mantendría la fase del sistema sin retardo a altas
frecuencias y 𝑇𝑑 es el tiempo de retardo puro que debemos identificar.
Si tomamos dos frecuencias 𝜔1 y 𝜔2 y las fases respectivas Φ1 y Φ2 y hallamos la
diferencia:

50. Φ1 − Φ2 = 57.3(𝜔2−𝜔1)𝑇𝑑 ⟹ 𝑇𝑑
=
−472 + 765
57.3 700 − 200
= 0.01𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠