สมการค่ารังวัดและคำตอบระบบสมการเชิงเส้น

1. การคํานวณปรับแก
ปเอกสารประกอบการบรรยาย

2. หัวขอการบรรยายหวขอการบรรยาย
สมการคารังวัด
คําตอบของระบบสมการเชิงเสนต ก

3. การสํารวจการสารวจ
รังวัด
คํานวณ
ป ั 
คาเปนไปไดมากที่สุด
คารังวัดหลังปรับแกคารังวัดร วด
ปรับแก - คารงวดหลงปรบแก
- คาของตัวแปรที่
ตองการ
(กอน)
รังวัดเกิน- รงวดเกน
- ความคลาดเคลื่อน

4.  ั ัสมการคารังวัด
Observation equation

5. Differential LevelingD ff r n a L ng
5วิชาการคํานวณปรับแก
Ghilani, C.D. and Wolf, P.R., 2012, Elementary Surveying – An Introduction to Geomatics 13th edition
figure 5.4, page 107.

6. คาตาง ๆ ในงานระดับๆ
ตัวแปรไมทราบคา - ElevBM Oak, TP
 ี่คาคงที - ElevBM Mil
คารังวัด - BS,FS

7. Elev 1 – Elev = BS1 – FS1ElevTP1 ElevBM Mil = BS1 FS1
ElevTP2 – ElevTP1 = BS2 – FS2
ElevTP3 – ElevTP2 = BS3 – FS3
ElevBM Oak – ElevTP3 = BS4 – FS4

8. Bl Bl1 l2
C
A
รูปแสดงการหาคาระดับสูงของจุด B และ C จากจุด A ซึ่งมีคาู ู ุ ุ
ระดับสูงเทากับ 10.00 ม. โดยการวัดคาตางระดับตามตาราง
สายการ
ระดับ
จากจุด ถึงจุด
ค่าต่างระดับ
(ม.)
l A B 0 75l1 A B -0.75
l2 B C 0.50

9. จํานวนของคารังวัด, ตัวแปรไมทราบคา และ สมการ, ต ท ก
n จํานวนคารังวัดทั้งหมด
่no จํานวนคารังวัดเทาที่จําเปนo
u จํานวนตัวแปรไมทราบคา
c จํานวนสมการคารังวัด

10. Bl1 l2
C
l2
A
n = 2 : l1,l2n = 2 : l1,l2
no = 2
2 A B
no = 2
2 A Bu = 2 : A,B
c = 2
u = 2 : A,B
c = 2c = 2c = 2
การหา no
ใหวาดภาพของปญหาที่กําหนด โดยเริ่มจากสิ่งที่เปนคาคงที่ จากนั้นใหเพิ่มญ
คารังวัดใสไปในภาพทีละคาเทาที่จําเปนจนไดภาพของปญหานั้น

11. สมการคารังวัดก
Observation equation
● สมการที่แสดงความสัมพันธระหวางคารังวัดและตัวแปรไมทราบคา (บางสมการ
่อาจมีคาคงที่)
● ในแตละสมการมีคารังวัด 1 คา และจํานวนสมการ (c) เทากับจํานวนคารังวัด (n)● ในแตละสมการมคารงวด 1 คา และจานวนสมการ (c) เทากบจานวนคารงวด (n)
c = nc = n

12. สมการคารังวัดก
Observation equation
Bl1 l2
C
l2
A
C
B = l1 + A
C – B = l22

13. B = 9.25 (= -0.75 + 10.00)
C – B = 0 50C – B = 0.50
หรือหรอ
(1) (0) 9 25 ร ส ร ชิ ส(1)B + (0)C = 9.25
(-1)B + (1)C = 0.50
ระบบสมการเชงเสน
System of linear equations

14. สมการเชิงเสน
Linear equation
ป
Linear equation
รูปแบบ
สมการเชิงเส้นของตัวแปรไม่ทราบค่า จํานวน u ค่าสมการเชงเสนของตวแปรไมทราบคา จานวน u คา
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + auxu = y
a1,a2,…,au และ y เป็นจํานวนจริง
x1,x2,…,xu แทนตัวแปรไม่ทราบค่า (unknown)
วิชาการคํานวณปรับแก 14

15. สมการเชิงเสน
Linear equation
ป ป ไ   
Linear equation
รูปแบบ ตัวแปรไมทราบคาตอง
- ไมมีการคณกันเอง เชน x1x2 + x3
2 = 5ไมมการคูณกนเอง เชน x1x2 + x3 5
- ไมเปนฟงกชันทางตรีโกณมิติ เชน x1 sin(x2) = 1
ไ - ไมเปนฟงกชันของลอการิทึม เชน logn(x1) = 10
- ไมเปนฟงกชันเอ็กโปเนนเชียล เชน ex1 = 2- ไมเปนฟงกชนเอกโปเนนเชยล เชน e = 2
วิชาการคํานวณปรับแก 15

16. ระบบสมการเชิงเสน
f li iSystem of linear equations
รูปแบบ
ระบบของสมการเชิงเส้นจํานวน 2 สมการ ที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าจํานวน 2 ค่าระบบของสมการเชงเสนจานวน 2 สมการ ทมตวแปรไมทราบคาจานวน 2 คา
a1,1x1 + a1,2x2 = b1
a2,1x1 + a2,2x2 = b2
วิชาการคํานวณปรับแก 16

17. ระบบสมการเชิงเสน
f li iSystem of linear equations
รูปแบบ
ระบบของสมการเชิงเส้นจํานวน สมการ ที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าจํานวน ค่าระบบของสมการเชงเสนจานวน c สมการ ทมตวแปรไมทราบคาจานวน u คา
a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 + … + a1,uxu = y1
a2,1x1 + a2,2x2 + a2,3x3 + … + a2,uxu = y2
…
ac,1x1 + ac,2x2 + ac,3x3 + … + ac,uxu = ym
วิชาการคํานวณปรับแก 17

18. คําตอบของระบบสมการเชิงเสน
Solutions to system of linear equations

19. คําตอบของระบบสมการเชิงเสนก
 ั ปร ( )คาของตวแปร (x1,x2,…,xu)
ที่ทําใหระบบสมการเปนจริง

20. เมื่อ c = uเมอ c = u

21. พิจารณาระบบสมการตอไปนี้พจารณาร บบสมการตอไปน
(1) 2(1) x1 + x2 = 2
x1 - x2 = 21 2
(2) x + x 2(2) x1 + x2 = 2
x1 + x2 = 1
(3) x + x = 2(3) x1 + x2 = 2
-x1 - x2 = -2

22. (1) 2(1) x1 + x2 = 2
x1 - x2 = 2
มี 1 คําตอบ : (2,0)
1 2
(2) x + x 2(2) x1 + x2 = 2
x1 + x2 = 1
ไมมีคําตอบ
(3) x + x = 2(3) x1 + x2 = 2
-x1 - x2 = -2
มีคําตอบหลายคําตอบ

23. (1) 2(1) x1 + x2 = 2
x1 - x2 = 2
consistent
1 2
(2) x + x 2(2) x1 + x2 = 2
x1 + x2 = 1
inconsistent
(3) x + x = 2(3) x1 + x2 = 2
-x1 - x2 = -2
consistent

24. การเขียนระบบสมการเชิงเสนในรูปเมตริกซ
a1,1x1 + a1,2x2 = b1
b
ู
a2,1x1 + a2,2x2 = b2
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ b
2
1
2
1
2212
2,11,1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
b
b
x
x
aa
aa
11
222,21,2
=
⎦⎣⎦⎣⎦⎣
bxA
bxaa
11 ××× cuuc
A เรียกวา เมตริกซของสัมประสิทธิ์ (coefficient matrix)A เรยกวา เมตรกซของสมประสทธ (coefficient matrix)
x เปนเวกเตอรของตัวแปรไมทราบคา
b ป ก ต ร า ที่b เปนเวกเตอรของคาคงท

25. bax =
11
bax
11
= b
a
ax
a
=
b
aa
1
bax 1−
=

26. ⎥
⎤
⎢
⎡
=⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ 112,11,1 bxaa
⎥
⎦
⎢
⎣
=⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣ 222,21,2 bxaa
A x = b
A 1A A 1bA-1A x = A-1b
x = A-1bx = A 1b
⎥
⎤
⎢
⎡ −
=⎥
⎤
⎢
⎡
=
−
− 2,12,2
1
2,11,11 1 aaaa
A ⎥
⎦
⎢
⎣−−
⎥
⎦
⎢
⎣ 1,11,21,22,12,21,12,21,2 aaaaaaaa

27. aaaa
AA ⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ −
=− 1 2,11,12,12,21
aaaaaaaa
AA
⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣−−
=
2,21,21,11,21,22,12,21,1
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−
−−
−
=
1 2,22,12,22,11,22,12,21,1
I
aaaaaaaaaaaa
⎥
⎤
⎢
⎡
⎦⎣ ++
01
2,21,11,22,11,21,11,21,11,22,12,21,1
I=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10

28. (1)B + (0)C = 9.25(1)B + (0)C 9.25
(-1)B + (1)C = 0.50
⎥
⎤
⎢
⎡
=⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ 25.901 B
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣−
259011
50.011
B
C
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
50.0
25.9
11
01
1
1
C
B
⎥
⎤
⎢
⎡
=
⎦⎣⎦⎣⎦⎣
25.9
⎥
⎦
⎢
⎣ 75.9

29. A
ถาตองการทราบคามุมรอบจุด o
ํ ป   ํ ี่ A จําเปนตองทราบคามุมจํานวนกีคา
(no)
B
o
o
D C
กําหนดมุมที่ตองการหาคาลงในงาม
โ ใ  ื่ ั ป ป
D
มุมโดยใชชือตัวแปร x1,…,xno
เปน
ตัวแปรไมทราบคา

30. A ถา l1,l2,l3 เปนคามุมที่ไดจากการ
ั ั ใ  ี  ั ั โรังวัด ใหเขียนสมการคารังวัดโดย
ใชตัวแปรไมทราบคาที่กําหนดขึ้น
B
l1
l2
o
l1
2
l3
D C

32. Q
ในงานสํารวจ
Q
ในงานสารวจ
่เมื่อ n > no
ขนาดของระบบสมการ
คารังวัดจะเปนอยางไร

33. A
ขนาดของ A เทากับ c x u
c = n
u = no
c > uc > u

34. ตัวอยาง ในการหาระยะทางระหวางจด 2 จดตวอยาง ในการหาระยะทางระหวางจุด 2 จุด
โดยการรังวัดโดยตรง จํานวน 2 ครั้ง
ไดคารังวัด ดังนี้
1 12 มl1 = 15.12 ม.
l2 = 15.14 ม.
ถา x แทนตัวแปรไมทราบคา ใหเขียนสมการคารังวัดของปญหานี้
34วิชาการคํานวณปรับแก

35. n = 2 : l ln = 2 : l ln = 2 : l1,l2
n = 1
n = 2 : l1,l2
n = 1
12.151 == lx
no 1
u = 1 : x
no 1
u = 1 : x 14.152 == lx
c = 2c = 2
r = n- no = c-u =1r = n- no = c-u =1

36. สมการคารังวัดในการคํานวณปรับแก
vlx +
vlx
vlx
+=
+= 11
vl
vlx
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
+= 22
1
v
v
l
l
x ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 11
1
1
vlAx
vl
+=
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 221
vlAx +=
v เปนเวกเตอรของคาเศษเหลือ (residuals)v เปนเวกเตอรของคาเศษเหลอ (residuals)

37. ตัวอยาง
่ระบบสมการเชิงเสน เมื่อ c = u
-x1 + 4x2 = 6
2 6
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
6
6
2
4
1
1
21 xx
X1 + 2x2 = 6 ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 621
37วิชาการคํานวณปรับแก

38. เมื่อ c > u : Overdetermined Systemsเมอ c > u : Overdetermined Systems
-x1 + 4x2 = 6
X + 2x = 6X1 + 2x2 = 6
X1 = 2.1
วิชาการคํานวณปรับแก 38

39. += vlAx
⎤⎡⎤⎡⎤⎡− 1641 v
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
+⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
=⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡ 1
1
6
6
21
41
v
v
x
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
+
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
=⎥
⎦
⎢
⎣⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
2
2
12
6
01
21
v
v
x
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 31.201 v
x = ?
T b ti dTo be continued …

40. หนังสืออางอิงและอานประกอบหนงสออางองและอานประกอบ
L S J 1998 Li Al b ith A li ti 5thLeon, S.J., 1998, Linear Algebra with Applications 5th
edition, Prentice Hall, Inc.

41. แบบฝกหัดแบบฝกหด
จากโจทย ให
- หาคา n, no, u, c, r
ี  ใ  ใ ป l- เขียนสมการคารังวัด และ จัดใหอยูในรูป Ax = l + v

42. 11.
รูปแสดงการหาคาระดับสูงของจุด B และ C จากจุด A ซึ่งมีคาู ู ุ ุ
ระดับสูงเทากับ 10.00 ม. โดยการวัดคาตางระดับตามตาราง
่ ่ ั
สายที่ จากหมุด ถึงหมุด
ค่าต่างระดับ
(ม.)
l A B 0 75l1 A B -0.75
l2 B C 0.50
l3 C A 0.28

43. A
22.
B
l1
l2
o
1
l3
l4
D C
- l1,l2,l3,l4 เปนคามุมที่ไดจากการรังวัด
กําหนดตัวแปรไมทราบคาที่เปนอิสร ตอกันของการคํานวณ- กาหนดตวแปรไมทราบคาทเปนอสระตอกนของการคานวณ