ninguno

1. 1 2
FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ecuación lineal: )
(
)
( x
q
y
x
p
dx
dy

 , 










 
dx
x
p
dx
x
p
e
c
dx
e
x
q
y )
(
)
(
)
(
Factor integrante:  dx
x
p
e )
(
Ecuación exacta: 0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
x
y
x
N
y
y
x
M




 )
,
(
)
,
(
, )
,
(
)
,
(
y
x
M
x
y
x
f



y )
,
(
)
,
(
y
x
N
y
y
x
f



Factor integrante:
 













dx
x
N
y
M
N
e
x
m
1
)
( y
 













dy
y
M
x
N
M
e
y
m
1
)
(
Soluciones por sustitución
Ecuación homogénea:
0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
Función homogénea: )
,
(
)
,
( y
x
f
t
ty
tx
f k

Sustituciones: uy
x  o vx
y 
Ecuación de Bernoulli:
n
y
x
f
y
x
P
dx
dy
)
(
)
( 

Sustitución: n
y
w 
 1
)
(
)
1
(
)
(
)
1
( x
f
n
w
x
P
n
dx
dw





APLICACIONES (ED de Primer Orden)
Ley de enfriamiento de Newton: )
( m
T
T
k
dt
dT


Trayectorias ortogonales: 1
2
1














C
C
dx
dy
dx
dy
Circuitos eléctricos:  
t
E
Ri
dt
di
L 
 ,  
t
E
q
C
dt
dq
R 

1
,
dt
dq
i 
Caída libre (resistencia del aire  velocidad): kv
mg
dt
dv
m 

Mezclas: 



















sal
la
de
salida
de
razón
sal
la
de
entrada
de
razón
R
R
dt
dA
o
i

















entrada
de
efluente
el
en
sal
de
ión
concentrac
salmuera
la
de
entrada
de
razón
Ri

















salida
de
efluente
el
en
sal
de
ión
concentrac
salmuera
la
de
salida
de
razón
Ro
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Segunda solución (reducción de orden): 


 dx
x
y
e
x
y
x
y
dx
x
P
)
(
)
(
)
( 2
1
)
(
1
2
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
- Raíces reales diferentes: x
m
n
x
m
x
m n
e
c
e
c
e
c
y 


 
2
1
2
1
- Raíces reales iguales: x
m
n
n
x
m
x
m
e
x
c
xe
c
e
c
y 1
1
1 1
2
1




 
- Raíces complejas diferentes (de la forma i
b
a
m k
k
k 
 y i
b
a
m k
k
k 

1 ):
   
x
b
sen
c
x
b
c
e
x
b
sen
c
x
b
c
e
y n
n
n
n
x
a
x
a n
2
2
1
1
2
1
1
cos
cos 2
1




 

- Raíces complejas iguales:
   
x
b
sen
c
x
b
c
e
x
x
b
sen
c
x
b
c
e
y n
n
x
a
n
x
a
1
1
1
1
1
2
1
1 cos
cos 1
1




 


Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes
Operador anulador (coeficientes indeterminados)
- n
D anula 1
2
,
,
,
,
1 
n
x
x
x 
-  n
D 
 anula x
n
x
x
x
e
x
e
x
xe
e 


 1
2
,
,
,
, 

-  
 n
D
D 2
2
2
2 

 

 anula x
e
x x
n


cos
1

y x
sen
e
x x
n


1

Soluciones propuestas (coeficientes indeterminados)
Forma de la función  
x
g Forma de la solución particular P
y
Constante: a A
xs (1)
Polinomio:   0
1
a
x
a
x
a
x
p n
n
n



     
0
1
A
x
A
x
A
x
x
P
x n
n
s
n
s



  (2)
Exponencial: x
ae x
s
Ae
x 
Senos y cosenos: x
bsen
x
a 
 
cos  
x
Bsen
x
A
xs

 
cos
Producto de polinomio y exponencial:
  x
n e
x
p 
  x
n
s
e
x
P
x 
Productos de senos y cosenos por
polinomios:
    x
sen
x
q
x
x
p m
n 
 
cos
donde:   0
1 b
x
b
x
b
x
q n
m
m 


 
   
 
x
sen
x
Q
x
x
P
x N
N
s

 
cos ,
donde   0
1 B
x
B
x
B
x
Q n
N
N 


 
y  
m
n
N ,
max

Productos de senos y cosenos por
exponencial: x
sen
be
x
ae x
x

 


cos
 
x
Bsen
x
A
e
x x
s




cos
Productos de polinomios, senos y
cosenos y exponencial:
    x
sen
e
x
q
x
e
x
p x
m
x
n

 


cos
   
 
x
sen
x
Q
x
x
P
e
x N
N
x
s




cos
donde  
m
n
N ,
max

(1) El entero no negativo s se elige como el menor entero tal que ningún término de la
solución particular  
x
yP sea solución de la ecuación homogénea correspondiente.
(2)  
x
Pn debe incluir todos los términos aunque  
x
pn tenga algunos términos nulos.
Variación de parámetros:
)
,
,
,
(
)
(
'
2
1 n
i
i
y
y
y
w
x
c




2. 3 4
Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables
- Raíces reales diferentes: n
m
n
m
m
x
c
x
c
x
c
y 


 
2
1
2
1
- Raíces reales iguales:   1
2
1
ln
ln 1
1
1





n
m
n
m
m
x
x
c
x
x
c
x
c
y 
- Raíces complejas diferentes:   


 )
ln
(
)
ln
(
cos 1
2
1
1
1
x
sen
c
x
c
x
y 


 
)
ln
(
)
ln
(
cos 2
2
1
2
x
sen
c
x
c
x n
n
n
n
n




 

- Raíces complejas iguales:   


 )
ln
(
)
ln
(
cos 1
2
1
1
1
x
sen
c
x
c
x
y 


   
)
ln
(
)
ln
(
cos
ln 1
1
1
1
2
1
x
sen
c
x
c
x
x n
n
n




 


APLICACIONES (ED de Orden Superior)
Ecuación General del Movimiento: )
(
2
2
t
f
kx
dt
dx
dt
x
d
m 

 
Movimiento Armónico Simple
m
k

2
 ,


2

T ,


2
1


T
f ,  

 
 t
Asen
t
x )
( , 2
2
2
1
c
c
A 
 ,
A
c
sen 1

 ,
A
c2
cos 
 y
2
1
tan
c
c


Movimiento Vibratorio Amortiguado
m

 
2 , Caso 3:  






 
t
Sen
Ae
t
x t 2
2
)
( , 2
2
2





do
cuasiperio ,



2
2
2


encia
cuasifrecu
,
2
2







n
t
,
2
2
2
)
1
2
(
*








n
t
Circuitos eléctricos: )
(
1
2
2
t
E
q
C
dt
dq
R
dt
q
d
L 


TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición:   



0
)
(
)
( dt
t
f
e
t
f st
L
Primer Teorema de la
Traslación:
Forma inversa:
  a
s
s
at
s
F
a
s
F
t
f
e 



 )
(
)
(
)
(
L
    )
(
)
(
)
( 1
1
t
f
e
s
F
a
s
F at
a
s
s


 



L
L
Función escalón unitario:








a
t
a
t
a
t
U
,
1
0
,
0
)
(
Segundo Teorema de la
Traslación:
Forma inversa:
Forma alterna:
  )
(
)
(
)
( s
F
e
a
t
U
a
t
f as




L
 
     
a
t
U
a
t
f
s
F
e as




1
L
   
)
(
)
(
)
( a
t
g
e
a
t
U
t
g as


 
L
L
Derivadas de
transformadas:  
         
 
n
n
n
n
n
n
n
ds
t
f
d
ds
s
F
d
t
f
t
L
L 1
1 



Convolución:    
 


t
d
t
g
f
g
f 0



Teorema de la
Convolución:
Forma inversa:
     
     
)
(
)
(
0
t
g
t
f
d
t
g
f
g
f
t
L
L
L
L 


  


 
  g
f
s
G
s
F 


)
(
1
L
Transformada de una
derivada:
 
 
     
   
   
 
0
...
0
0 1
2
1 






 n
n
n
n
n
f
f
s
f
s
s
F
s
t
f
L
Transformada de una
integral:
Forma inversa:
 
  s
s
F
d
f
t )
(
0

 

L
 









t
d
f
s
s
F
0
1 )
(


L







a
t
t
h
a
t
t
g
t
f
),
(
0
),
(
)
( se puede escribir )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( a
t
U
t
h
a
t
U
t
g
t
g
t
f 















b
t
b
t
a
t
g
a
t
t
f
,
0
),
(
0
,
0
)
( se puede escribir  
)
(
)
(
)
(
)
( b
t
U
a
t
U
t
g
t
f 



MÉTODO MATRICIAL (Sistemas de ecuaciones diferenciales)
t
Ke
X 
 ,   0

 K
I
A  ,   0
det 
 I
A 
- Valores propios reales distintos:
t
n
n
t
t n
e
K
c
e
K
c
e
K
c
X 





 
2
1
2
2
1
1
- Valores propios repetidos
Para 2

m , t
t
Pe
Kte
X 1
1
2



 , con K
P
I
A 
 )
( 1

Para 3

m , t
t
t
Qe
Pte
e
t
K
X 1
1
1
2
2
3





 , con P
Q
I
A 
 )
( 1

- Valores propios complejos: i


 

1 y i


 

2 ,
  t
e
t
sen
B
t
B
X 

 2
1
1
cos 
 ,   t
e
t
sen
B
t
B
X 

 1
2
2
cos 
 ,
con )
Re( 1
1
K
B  y )
Im( 1
2
K
B 
Solución general: 







 dt
t
F
t
t
C
t
X
X
X P
c
)
(
)
(
)
(
)
( 1













11
21
12
22
1
)
t
(
det
1
)
t
(




, o en general  
)
t
(
adj
)
t
(
det
1
)
t
(
1




, con
   T
)
t
(
cof
)
t
(
adj 


SERIES DE POTENCIAS
Solución en torno a puntos ordinarios: 




0
0 )
(
n
n
n x
x
c
y
Si 0
0 
x , entonces 



0
n
n
n x
c
y