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3-4-力學能守恆
- 2. 力學能守恆定律 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 48 力學能(Mechanical Energy)：只探 討動力學的情況，能量僅有兩種形式 位能 、 動能 沒有摩擦力、阻力或其他外力不做功 僅保守力作功，則系統的動能與位能 可以互換，而總值不變 𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓 (𝟑. 12)
- 3. 力學能守恆定律 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 49 系統受諸多外力作用，合力做功=保守力做功+非保守力做功 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝛥𝐾 ⇒ 𝑊 𝑛𝑐 + 𝑊 𝑐 = 𝛥𝐾 保守力對物體做功=物體位能變化的負值 𝑊 𝑐 = −Δ𝑈 ∴ 𝑊 𝑛𝑐 − Δ𝑈 = Δ𝐾 ⇒ 𝑊 𝑛𝑐 = Δ𝑈 + Δ𝐾 若外力僅有保守力時候，則 𝑊 𝑛𝑐 = 0 ∴ Δ𝑈 + Δ𝐾 = 0 𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓
- 4. 力學能守恆定律的範例 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 50 拋體運動 R H 𝑣0 θ 𝑈0 = 0 𝐾0 = 1 2 𝑚𝑣0 2 𝑣 ℎ 𝑣 𝑈′ = 𝑚𝑔ℎ 𝐾′ = 1 2 𝑚𝑣2 𝑣0cos𝜃 𝑈 = 𝑚𝑔𝐻 𝐾 = 1 2 𝑚(𝑣0cos𝜃)2 物體在地面的力學能 物體在最高點時 物體在某高度
- 5. 物體受彈力作用的運動 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 51 將力常數k之彈簧水平放置，一 端繫在牆上一端繫一質量m物 體，施力拉長R後放手使物體在 無摩擦的平面來回滑動 x x - R 0 R x 端點 端點 𝑭 𝒙
- 6. 左端點 平衡點 右端點 任意 位置 位移 彈力 量值 動能 彈性 位能 力學能 物體受彈力作用的運動 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 52 x x - R 0 R x 端點 端點 𝑭 𝒙 - R 0 R 𝒙 kR kR 𝒌𝒙 0 0 0 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒎𝒗′𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 0 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 x x - R 0 R x 𝑭 𝒙 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 𝒙 𝒗′
- 7. 左端點 平衡點 右端點 任意 位置 位移 彈力 量值 動能 彈性 位能 力學能 物體受彈力作用的運動 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 53 x - R 0 R 端點 端點 - R 0 R 𝒙 kR kR 𝒌𝒙 0 0 0 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 0 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 x - R 0 R 𝟏 𝟐 𝒌𝑹𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒙 𝟐 能量 x 𝟏 𝟐 𝒌𝒙𝟐 力學能 𝟏 𝟐 𝒎𝒗′𝟐
- 12. 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 【基礎題】力學能守恆在水平彈簧運動的應用 如圖所示，一條彈力常數𝐾的輕質彈簧連接質量𝑚的物體。使物體在 光滑接觸面作振幅𝑅的SHM，當位能與動能之比為1:2時 (1) 𝑚的加速 度為？ (2) 𝑚的速率為? (3)所受合力為?。 例題16. 平 衡 點 端 點 端 點
- 13. 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 動量守恆與力學能守恆 如圖所示，一彈簧槍內有一質量 𝑚 的活塞固定於力常數 𝑘 的輕彈簧 之頂端，子彈質量𝑀將彈簧壓縮 𝑑，當子彈裝妥時用板機將它扣住， 若不計摩擦力，則 (1)子彈射出時的速率﹖ (2)從扣板機到子彈離開活塞歷時多久﹖ (3)彈簧將多少位能交給彈丸﹖ (4)子彈射出後活塞做S.H.M 的振幅為何 (5)活塞做S.H.M最大加速度為何? 例題17.
- 14. 力學能守恆定律的缺陷(限制 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 60 僅陷於理想狀態 限保守力 ：重力、彈力..等 𝑚𝑔 僅能討論 動能 與 位能 之間轉換關係
- 15. 力學能守恆定律的缺陷 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 61 𝑚𝑔 不可能僅有 保守力 作用，可能會有 非保守力 能量的轉換不侷限於 位能 、 動能 兩種 實際情況 𝑓𝑘 由 摩擦力作負功而減少的力學能仍在 系統中 𝑊 𝑛𝑐 = Δ𝐾 + Δ𝑈 < 0 轉換成「熱能」或「內能」 𝐾 + 𝑈 + 𝐸𝐻 = 定值 能量守恆
- 17. CH 3 功與能量 3-5 重力位能的一般 形式
- 19. 重力位能一般式 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 65 𝑀 𝑚 ∞ 𝐹 𝑟 將𝑚從𝑟向外等速移動到無窮遠處，重 力與位移方向相反，重力對𝒎做負功。 變力做功 Δ𝑟 → 0 等分成𝑛 等分 𝑊𝑖 = −𝐹 𝑟 Δr = 𝑮𝑴𝒎 𝒓 線下總面積 𝑾 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝑾𝒊 重力做負功 𝑾𝒈 = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓 𝑟 系統位能必然增加 𝑾𝒈 = −𝚫𝑼 = −[𝑼∞ − 𝑼𝐫] 𝑼𝒈 = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓 (𝟑. 𝟏𝟑) 𝒓 = ∞ 𝑼𝒈 = 𝟎
- 20. 重力位能的一般式 ሜ 𝐹1 = 1 2 ( 𝐺𝑀𝑚 𝑟2 + 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)2 ) = 𝐺𝑀𝑚 𝑟(𝑟 + Δ𝑟) 𝑊1 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟(𝑟 + Δ𝑟) Δ𝑟 第一個分割區間的平均力 第一個分割區間的作功 ሜ 𝐹2 = 1 2 ( 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)2 + 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + 2Δ𝑟)2 ) = 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)(𝑟 + 2Δ𝑟) 𝑊2 = 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)(𝑟 + 2Δ𝑟) Δ𝑟 第二個分割區間的平均力 第二個分割區間的作功 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 66
- 21. 重力位能的一般式 阿 S A M N 的 物 理 課 本 67 𝑊1 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟(𝑟 + Δ𝑟) Δ𝑟 第一個分割區間的作功 𝑊2 = 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)(𝑟 + 2Δ𝑟) Δ𝑟 第二個分割區間的作功 系統總作功 𝑊 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟(𝑟 + Δ𝑟) Δ𝑟 + 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)(𝑟 + 2Δ𝑟) Δ𝑟 + 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + 2Δ𝑟)(𝑟 + 3Δ𝑟) Δ𝑟+. . . . . 2 0 2 2 / 6 / 5
- 22. 重力位能的一般式 阿 S A M N 的 物 理 課 本 68 𝑊 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟(𝑟 + Δ𝑟) Δ𝑟 + 𝐺𝑀𝑚 (𝑟 + Δ𝑟)(𝑟 + 2Δ𝑟) Δ𝑟+. . . . 𝑊 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + Δ𝑟 + 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + Δ𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + 2Δ𝑟 𝑊 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + 𝑛Δ𝑟 2 0 2 2 / 6 / 5 +. . . . + 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + (n − 1)Δ𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + 𝑛Δ𝑟
- 23. 重力位能的一般式 阿 S A M N 的 物 理 課 本 69 𝑊 𝑔 = −[ 𝐺𝑀𝑚 𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + 𝑛Δ𝑟 ] −Δ𝑈 = −[𝑈(𝑟𝐵) − 𝑈(𝑟𝐴)] 𝑀 𝑚 ∞ 𝐹 𝑟 𝑟A 2 0 2 2 / 6 / 5 𝑼𝐀 = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓𝐀 𝑼B = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓B 𝑊 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 + 𝑛Δ𝑟 𝑼𝒈 = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓 (𝟑. 𝟏𝟑) 𝒓 = ∞ 𝑼𝒈 = 𝟎 𝑟B
- 24. 重力位能一般式 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 70 兩個物體以上之間有交互作用的 力，才會有位能 只有一個物體，是毫無位能可言 的。 𝑼 = − 𝑮𝑴𝒎 𝒓 𝑴 𝒎 𝒓 一個系統內含有兩個以上的質點?
- 26. 重力位能一般式 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 72 重力位能的變化(重力所作的功) 與 路徑 無 關，只與其物體的起點和終點位置到物體M 中心的徑向距離有關
- 27. 重力位能一般式與𝑼 = 𝒎𝒈𝒉的差別 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 73 重力位能一般式的零位能面選定在 無窮遠處 。 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ 的零位能選定在 地表 ，並且 𝑅 >> ℎ 𝒓 = ∞ 𝑼 = 𝟎 𝑼𝟎 = − 𝑮𝑴𝒎 𝑹 𝑼𝒉 = − 𝑮𝑴𝒎 𝑹 + 𝒉 𝑼′𝟎 = 𝟎 𝑼′𝒉 =? 𝒉 𝑹
- 33. 星體運動的軌道與力學能 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 79 橢圓軌跡 1 2 3 5 圓形軌跡 4 拋物線、雙曲線 6 7 From Yung 𝐸 = 1 2 𝑚𝑣2 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 𝐸 > 0 𝐸 = 0 𝐸 < 0 1 2 3 4 5 6 7 不受引力拘束 到達無窮遠處 假設一衛星(質量為𝑚)距離地球(質 量為𝑀)地心𝑟處，繞地球運動速率 為𝑣，則 力學能 (𝟑. 𝟏𝟒)
- 34. 星體運動的軌道與力學能 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 80 橢圓軌跡 1 2 3 5 圓形軌跡 4 拋物線、雙曲線 6 7 From Yung 𝐸 = 1 2 𝑚𝑣2 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 𝐸 > 0 𝐸 = 0 6 7 不受引力拘束 到達無窮遠處 脫離動能 1 2 𝑚𝑣𝑒 2 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 (𝟑. 𝟏𝟓) 脫離速率 𝑣𝑒 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 (𝟑. 𝟏𝟔)
- 35. 星體運動的軌道與力學能 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 81 4 𝐹 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟2 = 𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2 𝑟 𝑚𝑣2 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟 力學能 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝟐 = 𝑮𝑴𝒎 𝟐𝒓 軌道為圓形並做等速率圓週運 動 ，則 4 𝑬 = − 𝑮𝑴𝒎 𝟐𝒓 動能 (𝟑. 𝟏7) (𝟑. 𝟏8)
- 36. 束縛能(Binding Energy ,𝐸𝑏) 2 0 2 2 / 6 / 5 阿 S A M N 的 物 理 課 本 82 無窮遠處 𝐸0 = − 𝐺𝑀𝑚 2𝑟 𝑈𝑔′ = 0 𝐾′ ≥ 0 𝐸′ ≥ 0 使運動中的衛星從運行軌道移到 無窮遠處所需要的最小能量 Δ𝐸 = 𝐸′ − 𝐸0 ≥ 0 − (− 𝐺𝑀𝑚 2𝑟 ) 提供能量Δ𝐸 Δ𝐸 ≥ 𝐺𝑀𝑚 2𝑟 𝐸𝑏 = 𝐺𝑀𝑚 2𝑟 r 對應名詞：游離能