2. 2แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้
เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
1. ลิมิตของฟังก์ชัน
หลักการ
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x L แล้ว lim ( )
x a
f x L มีลิมิตที่ a
( ลิมิตเข้ำทำงซ้ำย เท่ำกับ ลิมิตเข้ำทำงขวำ)
2. lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x แสดงว่ำ f(x) ไม่มีลิมิตที่ a
ตัวอย่างที่ 1 ให้ f(x) = 4x – 3 จงหำ
2 2
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x
วิธีทำ 2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 8 3 5
x x
f x x
2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 5
x x
f x x
ตัวอย่างที่ 2 ให้ f(x) = | x-3 | จงหำ (1)
3 3
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x
(2)
3 3
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x
วิธีทำ เนื่องจำก f(x) เป็นค่ำสัมบูรณ์ ค่ำ x ภำยในค่ำสัมบูรณ์มี 2 ค่ำ
, 0
| |
, 0
x x
x
x x
3 , 3 0 3
| 3|
( 3) , 3 0 3
x x x
x
x x x
(1)
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim ( 3) (3 3) 0
x x x
f x x x
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim 3 3 3 0
x x x
f x x x
(2)
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim ( 3) ( 3 3) 6
x x x
f x x x
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim 3 3 3 6
x x x
f x x x
เข้ำทำงขวำ , ทำงด้ำนบวก
เข้ำทำงซ้ำย , ทำงด้ำนลบ
3. 3แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ
2
, 1
( ) 1 ,0 1
0 , 0
x x
f x x x
x
จงหำค่ำของ
0 1 0
lim ( ) , lim ( ), lim ( )
x x x
f x f x f x
วิธีทำ (1)
0
lim ( ) 0
x
f x
(2)
2 2
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x x
(3) 0 0
lim ( ) lim 1 0 1 1
x x
f x x
ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ 2
( ) 5 4f x x x จงหำ 3
lim ( )
x
f x
วิธีทำ
2 2
3 3
lim ( ) lim( 5 4) 3 5(3) 4 20
x x
f x x x
ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำ
2
( )f x
x
จงหำ 4
lim ( )
x
f x
,
0
lim ( )
x
f x
วิธีทำ (1) 4 4
2 2 1
lim ( ) lim
4 2x x
f x
x
(2) 0 0
2 2
lim ( ) lim
0x x
f x
x
หำค่ำไม่ได้
ตัวอย่างที่ 6 ถ้ำ
3
( )
5
x
f x
x
จงหำ 5
lim ( )
x
f x
,
3
lim ( )
x
f x
วิธีทำ (1) 5 5
3 3 5 2
lim ( ) lim
5 5 5 0x x
x
f x
x
หำค่ำไม่ได้
(2) 3 3
3 3 3 0
lim ( ) lim 0
5 3 5 2x x
x
f x
x
ตัวอย่างที่ 7 ถ้ำ
2
4
( )
2
x
f x
x
จงหำ 2
lim ( )
x
f x
วิธีทำ แทนค่ำ x = 2 ใน f(x) จะได้
2
2 4 4 4 0
(2)
2 2 2 2 0
f
ข้อสังเกต :: เรำจะสนใจพิจำรณำลิมิตทำงซ้ำยหรือทำงขวำ เมื่อ ฟังก์ชัน เป็นแบบ ………………………….
ถ้ำ เป็นฟังก์ชันปกติ เรำสำมำรถหำค่ำ lim ( ) ( )
x a
f x f a
โดยกำรแทนค่ำได้เลย
4. 4แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
กรณี ผลของ ลิมิต ออกมาในรูปของ 0
0
lim ( )
x a
f x
อำจหำค่ำได้โดยพยำยำมเปลี่ยนรูปของ f(x) ใหม่เพื่อให้สำมำรถตัดทอนกันและหำค่ำลิมิตได้โดยตรง
การเปลี่ยนรูปของ f(x) มีวิธีการหลายวิธี ดังนี้
1. แยกตัวประกอบ 2. ใช้คอนจูเกต (conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน (เน้น ติดรูท )
3. กฎของโลปิตำล (L ‘ Hopital ‘ Rule) 4. 0
sin
lim 1
จำกตัวอย่ำงที่ 7 กำหนดให้
2
4
( )
2
x
f x
x
เรำจะต้องเปลี่ยนรูปของ f(x) ใหม่เพื่อทำให้สำมำรถตัดทอนกันได้
และหำลิมิตได้โดยตรง จะได้
2
2 2 2
4 ( 2)( 2)
lim ( ) lim lim
2 ( 2)x x x
x x x
f x
x x
2
lim( 2) 2 2 4
x
x
ดังนั้น
2
2
4
lim 4
2x
x
x
สูตรการแยกตัวประกอบ
# กาลัง 2 สมบูรณ์
1.
2 2 2
2 ( )x xy y x y
2.
2 2 2
2 ( )x xy y x y
# กาลัง 3 สมบูรณ์
4.
3 3 2 2 3
3 3 ( )x x y xy y x y
5.
3 3 2 2 3
3 3 ( )x x y xy y x y
# ผลต่างกาลัง 2
3.
2 2
( )( )x y x y x y
# ผลต่างกาลัง 3
6.
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y
7.
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y
ตัวอย่างที่ 8 ถ้ำ
3
2
27
( )
2 3
x
f x
x x
จงหำ 3
lim ( )
x
f x
วิธีทำ นำ x = 3 แทนใน f(x) จะได้
3
2
3 27 27 27 0
(3)
3 2(3) 3 9 6 3 0
f
เปลี่ยนรูปโดยกำรแยกตัวประกอบ 3 2
27 ( 3)( 3 9)x x x x
2
2 3 ( 3)( 1)x x x x
จะได้
3 2
23 3 3
27 ( 3)( 3 9)
lim ( ) lim lim
2 3 ( 3)( 1)x x x
x x x x
f x
x x x x
2 2
3
( 3 9) 3 3(3) 9 27
lim
( 1) 3 1 4x
x x
x
5. 5แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 9 ถ้ำ
2
2
1
( )
2 1
x
f x
x x
จงหำ 1
lim ( )
x
f x
วิธีทำ นำ x = 1 แทนใน f(x) จะได้
2
2
1 1 0
(1)
2(1 ) 1 1 0
f
เปลี่ยนรูปโดยกำรแยกตัวประกอบ 2
1 ( 1)( 1)x x x
2
2 1 (2 1)( 1)x x x x
จะได้
2
21 1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim
2 1 ( 1)(2 1)x x x
x x x
f x
x x x x
1
( 1) 1 1 2
lim
(2 1) 2(1) 1 3x
x
x
ดังนั้น
2
21
1 2
lim
2 1 3x
x
x x
ตัวอย่างที่ 10 ถ้ำ
4 2
( )
x
f x
x
จงหำ 0
lim ( )
x
f x
วิธีทำ นำ x = 1 แทนใน f(x) จะได้
4 0 2 2 2 0
(0)
0 0 0
f
เปลี่ยนรูปโดย ใช้คอนจูเกต (conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน ติดรูท คอนจูเกต ทันที
จะได้
0 0 0
4 2 4 2 4 2
lim lim lim
4 2 ( 4 2)x x x
x x x x
x x x x x
0
1 1 1 1
lim
2 2 44 2 4 0 2x x
ดังนั้น 0
4 2 1
lim
4x
x
x
2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
หลักการ
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เมื่อเป็นจริง
ทั้ง 3 ข้อดังนี้
1. f(a) หำค่ำได้
2. lim ( )
x a
f x
หำค่ำได้ นั่นคือ lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
และ
3. lim ( ) ( )
x a
f x f a
** ถ้ำเงื่อนไขข้อใด ข้อหนึ่งขำดไป แสดงว่ำ f ไม่ต่อเนื่อง x = a
6. 6แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 11 ถ้ำ
2
3 , 3
( ) 2 5 , 1 3
3 2 , 1
x x
f x x x
x x
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. f ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ไม่ต่อเนื่องที่ x =3
2. f ต่อเนื่องที่ x = – 1 และ x =3
3. f ไม่ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ต่อเนื่องที่ x =3
4. f ไม่ต่อเนื่องที่ x = – 1 และ x =3
วิธีทำ
มี 2 จุดที่ต้องพิจำรณำคือ x = 1 และ x = 3
1. พิจำรณำควำมต่อเนื่องของ f ที่ x = – 1
f(-1) = 2(-1) + 5 = 3
2 2
1 1
lim ( ) lim 3 3( 1) 3
x x
f x x
1 1
lim ( ) lim(2 5) 2( 1) 5 3
x x
f x x
แสดงว่ำ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = – 1
2. พิจำรณำควำมต่อเนื่องของ f ที่ x = 3
f(3) = 3(3) - 2 = 9 – 2 = 7
3 3
lim ( ) lim(2 5) 2(3) 5 6 5 11
x x
f x x
33
lim ( ) lim(3 2) 3(3) 2 9 2 7
xx
f x x
แสดงว่ำ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = 3
ดังนั้น f ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ไม่ต่อเนื่องที่ x = 3 ตอบ ตัวเลือก 1
8. 8แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…เอกสารฝึกหัดที่ 2…
1. กำหนด
3
( )
8
x
f x
mx
ถ้ำ f ต่อเนื่องที่ 2x แล้ว m มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [ 8 ]
2. กำหนด
3 5
( )
3
x
f x
x
จงหำค่ำ
3
lim ( )
x
f x
[ 18 ]
3. กำหนด
3
2
3
4
( )
1
1
a
f x
x
x
ถ้ำ f ต่อเนื่องที่ 1x แล้ว a มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [ 2 ]
, เมื่อ 2x
, เมื่อ 2x
, เมื่อ 3x
, เมื่อ 3x
, เมื่อ 1x
, เมื่อ 1x
9. 9แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 1
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
หลักการ
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ
( ) ( )f x h f x
h
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ 3
( )y f x x แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง
x = 2 ถึง x = 4
วิธีทา จำกโจทย์ 3
( )y f x x
อัตรำกำรเปลี่ยนเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 2 ถึง x = 4 h =4 – 2 = 2
เท่ำกับ
3 3
(4) (2) 4 2 64 8 56
28
2 2 2 2
f f
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ ( ) 2 1f x x แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ในช่วง x ถึง x + h
วิธีทา จำกโจทย์ ( ) 2 1y f x x
อัตรำกำรเปลี่ยนเฉลี่ย ในช่วง x ถึง x + h คือ
( ) ( )f x h f x
h
( ) 2( ) 1f x h x h , ( ) 2 1f x x
ดังนั้น
2( ) 1 2 1( ) ( ) x h xf x h f x
h h
2( ) 1 2 1 2 2 1 2 1
2
2
x h x x h x
h h
h
h
11. 11แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 2
อัตราการเปลี่ยนแปลง
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด ๆ =
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
=
dy
dx
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้
2
( )y f x x แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x
มีค่ำใด ๆ และ ที่ x = 3
วิธีทา จำกโจทย์
2
( )f x x
2 2 2
( ) ( ) 2f x h x h x xh h
นั่นคือ
2 2 2
0 0
2( ) ( )
lim lim
h h
x xh h xf x h f x
h h
2 2 2
0
2
0
2
lim
2
lim
h
h
x xh h x
h
xh h
h
0
0
(2 )
lim
lim2
2
h
h
h x h
h
x h
x
และ อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ที่ x = 3 เท่ำกับ 2(3) = 6
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้
2
( )y f x x x แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด
ๆ และ ที่ x = – 2
วิธีทา จำกโจทย์
2
( )f x x x
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2f x h x h x h x xh h x h
2 2
2x xh h x h
12. 12แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
นั่นคือ
2 2 2
0 0
2( ) ( )
lim lim
h h
x xh h x h x xf x h f x
h h
2 2 2
0
2
0
0
0
2
lim
2
lim
(2 1)
lim
lim 2 1
2 1
h
h
h
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x h
h
x h
x
และ อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ที่ x = – 2 เท่ำกับ 2(-2) + 1 = – 2
14. 14แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 3
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
บทนิยาม ถ้ำ y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรจน์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริงและ
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
หำค่ำได้เรียกว่ำค่ำลิมิตที่ได้นี้ว่ำ “ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f
ที่ x ” เขียนแทนด้วย
dy
dx
หรือ y หรือ ( )f x หรือ
( )d f x
dx
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x dy
y
h dx
Note : 1.
dy y
dx x
2.
dy
dx
คืออัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด ๆ
3. เมื่อ s แทนระยะทำงที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลำ t หรือ s = f(t)
ถ้ำ v คือ ควำมเร็วขณะเวลำ t ใดๆ จะได้ v = 0
( ) ( )
lim
h
f t h f t
h
ds
s v
dt
กฎห้าขั้นสาหรับการหาค่าอนุพันธ์
วิธีกำรหำค่ำอนุพันธ์ของฟังก์ชันตำมบทนิยำม 1 สำมำรถทำตำมลำดับ 5 ขั้นตอน ซึ่งเรียกว่ำ กฎห้าขั้นของการ
หาค่าอนุพันธ์ มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1. เขียน y = f(x) ตำมที่โจทย์กำหนดให้
ขั้นที่ 2. แทนค่ำ x ในฟังก์ชันด้วย x + x แล้วคำนวณหำค่ำใหม่ของฟังก์ชัน y +y
ขั้นที่ 3. เอำค่ำเดิมของฟังก์ชันไปลบออกจำกค่ำใหม่เพื่อหำ y
ขั้นที่ 4. หำรด้วย x ตลอด
ขั้นที่ 5. หำลิมิตของผลหำร เมื่อ x เข้ำสู่ 0 จะได้ค่ำอนุพันธ์ตำมต้องกำร
ตัวอย่างที่ 1 จงหำค่ำอนุพันธ์ของ f(x) = 3x2
+ 5
วิธีทา ขั้นที่ 1 ให้ y = f(x) = 3x2
+ 5 หรือ y = 3x2
+ 5
ขั้นที่ 2 y + y = 3(x + x)2
+ 5
= 3x2
+ 6x. x + 3(x)2
+ 5
Δx
Δy
20. 20แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 5
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร
ถ้ำ c , n เป็นค่ำคงที่ใดๆ และ u = f(x) , v=g(x) , w=h(x) เป็นฟังก์ชัน
1. ( ) 0
d
c
dx
2. ( ) 1
d
x
dx
3. ( )
d d
cu c u
dx dx
4.
1n nd
x n x
dx
5. ( )
d d d d
u v w u v w
dx dx dx dx
6. ( )
d d d
u v v u u v
dx dx dx
ดิฟผลคูณ หลัง ดิฟหน้ำ + หน้ำดิฟหลัง
7. 2
( )
d d
v u u v
d u dx dx
dx v v
ดิฟผลหำร ล่ำงดิฟบน - บนดิฟล่ำง
ล่ำงยกกำลัง 2
8.
1
ln
d d
u u
dx u dx
9.
u ud d
e e u
dx dx
ตัวอย่าง จงหำค่ำของอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. y = 5 วิธีทำ 5 0
d
dx
2. y = x วิธีทำ 1
d
x
dx
3. y = 5x + 3 วิธีทำ 5 3 5 3 5 0 5
d d d
x x
dx dx dx
4. y =
4
2x วิธีทำ
4 4 1 3
2 4 2 8
d
x x x
dx
5. y =
2
x
วิธีทำ
2 2 1 3
( 2) 2
d
x x x
dx
6. y = 2
2 5 3x x วิธีทำ 2 2
2 5 3 2 5 3 4 5
d d d d
x x x x x
dx dx dx dx
21. 21แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
7. 2
2y x x วิธีทำ 2 2 2
2 2 2
d d d
x x x x x x
dx dx dx
2
(2) 2 (2 )x x x
2 2
2
2 4
6
x x
x
จำกข้อ 7 สำมำรถทำได้อีกแบบ คือ 2 3
2 2y x x x
วิธีทำ
3 2 2
2 (2)(3) 6
d
x x x
dx
8.
2 1x
y
x
วิธีทำ
2
2 1 2 1
2 1
( )
d d
x x x x
d x dx dx
dx x x
2
2
2
(2) 2 1
2 2 1
1
x x
x
x x
x
x
9. ln(2 1)y x วิธีทำ
1
ln(2 1) (2 1)
(2 1)
d d
x x
dx x dx
1
(2)
(2 1)
2
(2 1)
x
x
10.
2x
y e วิธีทำ
2 2 2 2
2 (2) 2x x x xd d
e e x e e
dx dx
กฏลูกโซ่
ถ้ำ ( )y f z และ ( )z g x
จะได้ ( )
dy dy dz
f x
dx dz dx
22. 22แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 1 ถ้ำ 9
( ) (2 1)f x y x จงหำ
dy
dx
และ (0)f , (0)f
วิธีทำ ให้ 2 1z x จะได้
9
y z
จำกสูตร
dy dy dz
dx dz dx
9
2 1
dy d d
z x
dx dz dx
8 8
9 (2) 18
dy
z z
dx
แทน 2 1z x จะได้
8
18(2 1)
dy
x
dx
จำก 9
( ) (2 1)f x x แล้ว
9 9
(0) 2(0) 1 1 1f
และ 8
( ) 18(2 1)f x x แล้ว
8 8
(0) 18 2(0) 1 18 1 18f
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ 2
( ) 1f x y x จงหำ ( )f x และ (2)f
วิธีทำ จำก
1
2 2 21 1y x x
ให้
2
1z x จะได้
1
2
y z
จำกสูตร ( )
dy dy dz
f x
dx dz dx
1 1
1
22 2
1
1 (2 )
2
dy d d
z x x
dx dz dx
z
1
2
1
2
1
( ) ( )
x
z x x
z
z
แทน
2
1z x จะได้ 2
( )
1
x
f x
x
จะได้ว่ำ 2
2 2 2 3 2 3
(2)
33 3 32 1
f
23. 23แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 5…
จงหำค่ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1. y = 2
2. 2
( ) 4f x x
3.
3 2
2 3 1y x x x
4. ( ) (3 1)(2 )f x x x ที่ x = 1
5. ( ) ( 2)(5 1)f x x x ที่ x = 0
6.
3
( )f x
x
ที่ x = 1
7. 2
4
4
y
x
8.
2
2
3 1
x
y
x
9.
4
2
( ) 2 2 5f x x x ที่ x = 0
10.
2
y x x
11.
1
( )f x
x
ที่ x = 2
12.
1
3 3
( 2 1)y x x
13.
1
2 2
(2 3 )y x x
24. 24แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 6
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต หรือฟังก์ชันประกอบ
ถ้ำ ( )( ) ( ( ))y g f x g f x แล้ว
( )
( ( ))
( )
dy d df x
g f x
dx df x dx
ให้ ( )u f x และ ( )y g u จะได้ ( )
dy d du dy du
g u
dx du dx du dx
ใช้เทคนิคของกฎลูกโซ่
ตัวอย่างที่ 1 ให้ ( )( )y g f x , 3
( ) 2g x x และ 2
( ) 2 3 4f x x x จงหำ
dy
dx
วิธีทำ จำก ( )( ) ( ( ))y g f x g f x
2
3
2
(2 3 4)
2 3 4 2
g x x
x x
เทคนิค 1. ดิฟข้ำงนอก
3 2
2 2
2 3 4 2 3 2 3 4
d
x x x x
dx
2. ดิฟข้ำงใน 2
2 3 4 4 3
d
x x x
dx
3. เอำผลดิฟมำคูณกัน
2
2
3 2 3 4 4 3
dy
x x x
dx
หรืออีกวิธีหนึ่ง ให้
2
2 3 4u x x จะได้ 3
1y u
3 2
1 2 3 4
dy dy du d d
u x x
dx du dx du dx
2
3 4 3u x
แทน
2
2 3 4u x x จะได้
2
2
3 2 3 4 4 3
dy
x x x
dx
ตัวอย่างที่ 2 ให้ 3 2
( ) 2 1f x x x x , ( ) ( )g x f x จงหำ ( )( )g f x และ ( )(1)g f
วิธีทำ จำก ( ) ( )g x f x จะได้
2
( ) 3 2 2
( ) 6 2
f x x x
f x x
นั่นคือ ( ) ( ) 6 2g x f x x
25. 25แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
จำก
3 2
( )( ) ( ( )) ( 2 1)g f x g f x g x x x
3 2
6( 2 1) 2x x x
3 2
3 2
6 6 6 6 2
6 6 12 8
x x x
x x x
ดังนั้น 3 2
( )(1) 6(1) 6(1) 12(1) 8g f
6 6 12 8
4
ตัวอย่างที่ 3 ให้ 8 6
( )f x x x และ f คือ อนุพันธ์ ของ f ถ้ำ na เป็นลำดับซึ่งมี lim 1n
x
a
แล้ว lim n
x
f f a
เท่ำกับเท่ำใด
วิธีทำ 8 6
( )f x x x
7 5
( ) 8 6f x x x
นั้นคือ ( ( ))f f x f f x
8 6
8 67 5 7 5
( ) ( )
8 6 8 6
f x f x
x x x x
ดังนั้น
8 67 5 7 5
8 6 8 6n n n n nf f a a a a a
8 67 5 7 5
lim lim 8 6 lim 8 6n n n n n
x x x
f f a a a a a
8 6
7 5 7 5
8lim 6lim 8lim 6limn n n n
x x x x
a a a a
8 6
8 6
8 6 8 6
2 2
256 64
192
26. 26แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 6…
คาชี้แจง ข้อ 1 – 5 จงหำ
1. y = u2
+ 3u – 7 , u = 2x + 1
2. y = , u =
3. y = , z = x2
+ 1
4. y = w2
– w – 1
, w = 3x
5. y = 2v3
+ , v =
คาชี้แจง ข้อ 6 – 10 จงหำ
6. x = 3t + 1, y = t2
7. x = t2
, y = t3
8. x = , y = t2
9. x = , y =
10. x = , y = t2
dx
dy
12u
2u
1x2
3
2
z
3v
2
3
2
2)x(3
dx
dy
t1
t
t1
t
t1
2t
42t
27. 27แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 7
อนุพันธ์อันดับสูง
ข้อกาหนด
ให้ ( )y f x เป็นฟังก์ชันที่สำมำรถหำอนุพันธ์ได้และ ( )f x เป็นอนุพันธ์ ของ ( )f x ซึ่งสำมำรถหำ
อนุพันธ์ได้
1. จะเรียกอนุพันธ์ ของ อนุพันธ์ ของ ( )f x หรือ อนุพันธ์ ของ ( )f x ( diff ซ้อน diff ) ว่ำ
อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ( )f x
2. สำมำรถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เป็น ( )f x หรือ
2
2
d y
dx
อนุพันธ์อันดับที่ 1 ( )
dy
f x
dx
อนุพันธ์อันดับที่ 2
2
2
( )
d dy d y
f x
dx dx dx
อนุพันธ์อันดับที่ 3
2 3
(3)
2 3
( ) ( )
d d y d y
f x f x
dx dx dx
อนุพันธ์อันดับที่ 4
4
(4)
4
( )
d y
f x
dx
... …
อนุพันธ์อันดับที่ n ( )
( )
n
n
n
d y
f x
dx
ตัวอย่างที่ 1 ถ้ำ
5
( )f x x จงหำ (4)
( )f x ที่ x = 2
วิธีทำ ให้ 5
( )f x x
5 4
( ) 5
d
f x x x
dx
5 4 3
( ) 5 20
d d d d
f x x x x
dx dx dx dx
(3) 2
( ) 60f x x
(4)
( ) 120f x x
(4)
( )f x ที่ x = 2 เท่ำกับ (4)
(2) 120(2) 240f
28. 28แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ
4 3
( ) 4 2 9f x x x x จงหำ
5
5
d y
dx
วิธีทำ ให้ 4 3
( ) 4 2 9f x x x x
3 2
4 12 2
dy
x x
dx
2
2
2
12 24
d y
x x
dx
3
3
24 24
d y
x
dx
4
4
5
5
24
0
d y
dx
d y
dx
ดังนั้น
5
5
0
d y
dx
29. 29แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 7…
คาชี้แจง ข้อ 1 – 5 จงหำ yและ y และข้อ 6 – 10 จงหำ y
1. y = x4
– 7x3
+ 2x2
+ 5
2. y = 5x3
– 3x5
3. y = 4x2
– 8x + 1
4. y =
5. y = 2x4
– 4x2
– 8
6. 12y = 6x4
– 18x2
– 12x
7. y = 3x7
– 7x3
+ 21x2
8. y = x2
(x3
– 1)
9. y = (x – 2)(x + 3)
10. y = (3x – 1)(2x + 5)
3x
2
x
3
x
4
x 234
30. 30แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 8
การประยุกต์อนุพันธ์
1.ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
หลักการ ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บนช่วง ( , )a b และต่อเนื่องบน [ , ]a b แล้ว
1. ถ้ำ ( ) 0f x สำหรับทุกค่ำ x แล้ว f(x) เป็นฟังก์ชัน เพิ่มบนช่วง (a,b)
2. ถ้ำ ( ) 0f x สำหรับทุกค่ำ x แล้ว f(x) เป็นฟังก์ชัน ลดบนช่วง (a,b)
ตัวอย่างที่ 1 3 21
( ) 3 8
3
f x x x x เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด ในช่วงใด
วิธีทำ หำอนุพันธ์ของ f(x)
3 2 21
( ) 3 8 6 8 ( 2)( 4)
3
d
f x x x x x x x x
dx
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ ( 2)( 4) 0x x
4x หรือ 2x
และ f เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ ( 2)( 4) 0x x
2 4x
นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( ,2) (4, )
และ f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (2,4)
ตัวอย่างที่ 2 2
( ) 2 8 5f x x x เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด ในช่วงใด
วิธีทำ หำอนุพันธ์ของ f(x)
2
( ) 2 8 5 4 8
d
f x x x x
dx
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ 4 8 0x 2x
และ f เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ 4 8 0x 2x
นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง (2, )
และ f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง ( ,2)