1. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
Copules, avenir de l'actuariat
ou gadget statistique?
Arthur Charpentier
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/
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7. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
... de la théorie à la pratique, considérations générales
Le paradoxe de Saint Petersbourg: le prix d'un jeu est le produit scalaire des
probabilités et des gains
n
p, x = pi xi = EP (X),
i=1
i.e. l'espérance mathématique est donc le juste prix des chances (Cournot A.
A. (1843). Exposition de la théorie des chances et des probabilités).
• réponse de Bernoulli, introduire une utilité morale de l'argent, i.e. distortion
sur les gains, Bernoulli, D. (1738). Exposition of a New Theory on the
Measurement of Risk. Econometrica, 22, 23-36.
• réponse de d'Alembert, introduire une distorsion sur les probabilités,
D’Alembert, J. (1768). Sur l'analyse des jeux. Opuscules mathématiques,
4, 80-92.
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8. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
... de la théorie à la pratique, considérations générales
Problème d'allocation d'actifs et de frontière d'ecience, deux articles en 1956:
• approche moyenne-variance, Markowitz, H. (1956). Portfolio Selection.
Journal of Finance 7, 1, 77-91.
• approche moyenne-quantile, Roy, A.D. (1956). Safety First and the Holding
of Assets. Econometrica, 20, 3, 431-449.
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10. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
le problème de la dépendance... les lois elliptiques
idée: si X = µ + AX 0 où X 0 ∼ N (0, 1), alors X ∼ N (µ, Σ = A A).
on passe ainsi de vecteurs sphériques aux vecteurs elliptiques.
marche pour le vecteur Student t multivarié.
permet de modéliser d'autres types de lois, e.g. des lois binomiales multivariées:
modèle probit multivarié (cf CreditMetrics)
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11. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
le problème de la dépendance... les mélanges
deuxième piste pour générer des lois multivariés dépendentes: l'indépendance
conditionnelle et les modèles de frailty.
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12. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
Conditional independence, two classes Conditional independence, two classes
20
3
2
15
1
10
0
!1
5
!2
!3
0
0 5 10 15 !3 !2 !1 0 1 2 3
Figure 1: Deux classes de risques, (Xi , Yi ) et (Φ−1 (FX (Xi )), Φ−1 (FY (Yi ))).
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13. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
Conditional independence, three classes Conditional independence, three classes
3
40
2
30
1
0
20
!1
10
!2
!3
0
0 5 10 15 20 25 30 !3 !2 !1 0 1 2 3
Figure 2: Trois classes de risques, (Xi , Yi ) et (Φ−1 (FX (Xi )), Φ−1 (FY (Yi ))).
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15. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
le problème de la dépendance... les chocs communs
troisième piste pour générer des lois multivariés dépendentes: les modèles à choc
commun
premier exemple, la loi de Poisson Soient X, Y, Z trois variables P(λX ),
P(λY ) et P(λZ ) independentes. On pose alors
U = X + Z ∼ P(λX + λZ ) et Z = Y + Z ∼ P(λY + λZ )
deuxième exemple, la loi exponentielle Soient X, Y, Z trois variables E(µX ),
E(µY ) et E(µZ ) independentes. On pose alors
U = min{X, Z} et V = min{Y, Z}
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16. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de l'actuariat ou gadget statistique?
comment comparer ces diérentes dépendances
Pour comparer les structures de dépendance, il faut que les lois marginales soient
identiques,
• deux lois uniformes sur [0, 1]
• deux lois normales centrées réduites N (0, 1)
Si X a pour fonction de répartition F continue,F (x) = P(X ≤ x), alors F (X)
suit une loi uniforme sur [0, 1]. Aussi, Φ−1 (F (X)) suit une loi N (0, 1).
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