Cours econometrie-uqam-st-2-v2

` ´
Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012)

Mod`les de pr´vision
e e
Partie 2 - s´ries temporelles
e

Arthur Charpentier
charpentier.arthur@uqam.ca

http ://freakonometrics.blog.free.fr/

Automne 2012

` ´

Plan du cours
• Motivation et introduction aux s´ries temporelles
e
• M´thodes de lissage
e
◦ Mod`les de r´gression (Buys-Ballot)
e e
◦ Lissage(s) exponentiel(s) (Holt-Winters)
• Notions g´n´rales sur les processus stationnaires
e e
• Les processus SARIM A
◦ Les mod`les autor´gressifs, AR(p), Φ(L)Xt = εt
e e
◦ Les mod`les moyennes mobiles, M A(q) (moving average), Xt = Θ(L)εt
e
◦ Les mod`les autor´gtressifs et moyenne mobiles, ARM A(p, q),
e e
Φ(L)Xt = Θ(L)εt
◦ Les mod`les autor´gtressifs, ARIM A(p, d, q), (1 − L)d Φ(L)Xt = Θ(L)εt
e e
◦ Les mod`les autor´gtressifs, SARIM A(p, d, q),
e e
(1 − L)d (1 − Ls )Φ(L)Xt = Θ(L)εt
◦ Pr´vision avec un SARIM A, T XT +h
e

` ´

Le mod`le AR(p) - autor´gressif ` l’ordre p
e e a
On appelle processus autoregressif d’ordre p, not´ AR (p), un processus
e
stationnaire (Xt ) v´rifiant une relation du type
e
p
Xt − φi Xt−i = εt pour tout t ∈ Z, (1)
i=1

o` les φi sont des réls et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (1) est
u e
´quivalent ` l’ćriture
e a e

Φ (L) Xt = εt o` Φ (L) = I − φ1 L − ... − φp Lp
u

Remarque : En toute gń´ralit´, supposons Φ (L) Xt = µ + εt . Il est possible de
e e e
se ramener ` un processus (1) centr´ par une simple translation : on pose
a e
Yt = Xt − m o` m = µ/Φ (1). En effet, Φ (L) m = Φ (1) m.
u

` ´

Le mod`le AR(p) - autor´gressif ` l’ordre p
e e a
Si Φ(L) = 1 − (ϕ1 L + · · · + ϕp L) et que |z| ≤ 1 ⇒ Φ(z) = 0 (les racines de Φ sont
de module strictement sup´rieur ` 1 ), (Xt ) admet une repr´sentation M A(∞) i.e.
e a e
+∞ +∞
Xt = ak εt−k o` a0 = 1, ak ∈ R,
u |ak | < +∞.
k=0 k=0

On sait que Φ(L)Xt = εt , donc Xt = Φ(L)−1 (εt ).

` ´

Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ρ(h)
e
Le processus (Xt ) s’´crit
e

Xt = φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p + εt . (2)

En multipliant par Xt , on obtient
2
Xt = φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt + εt Xt
= φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt
+εt (φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p + εt )
= φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt + ε2
t

+ [φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p ] εt ,

d’o`, en prenant l’esp´rance
u e

γ (0) = φ1 γ (1) + φ2 γ (2) + ... + φp γ (p) + σ 2 .

` ´

e
Le derni`re terme ´tant nul
e e

E ([φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p ] εt ) = 0

car εt est suppos´ ind´pendant du pass´ de Xt , {Xt−1 , Xt−2 , ..., Xt−p , ...}. De
e e e
plus, en multipliant (2) par Xt−h , en prenant l’esp´rance et en divisant par γ (0),
e
on obtient
p
ρ (h) − φi ρ (h − i) = 0 pour tout h > 0.
i=1

` ´

e
Proposition 1. Soit (Xt ) un processus AR (p) d’autocorr´lation ρ (h). Alors
e

..
 
. ρ (p − 1) 
   
ρ (1)  1 ρ (1) ρ (2) φ1
   ..  
 ρ (2)

 
  ρ (1) 1 ρ (1) . ρ (p − 2)   φ2




 ρ (3)
  ..  
ρ (2) ρ (1) 1 . ρ (p − 3)   φ3
   
=
   
 .
. .. .. .. ..
 .
 .


 .  
  . . . .  .


    
 ρ (p − 1)   .. ..   φp−1 
  
 . . 1 ρ (1)  


ρ (p) φp
ρ (p − 1) ρ (p − 2) ρ (p − 3) ρ (1) 1

Ce sont les ´quations de Yule-Walker. De plus les ρ(h) d´croissent
e e
exponentiellement vers 0.

` ´

e
Preuve : ∀h > 0, ρ(h) − ϕ1 ρ(h − 1) − · · · − ϕp ρ(h − p) = 0. Le polynˆme
o
caract´ristique de cette relation de r´currence est :
e e

p p−1 p ϕ1 ϕp−1 ϕp p 1
z − ϕ1 z − · · · − ϕp−1 z − ϕp = z 1− − · · · − p−1 − p = z Φ( ),
z z z z
avec Φ(L)Xt = εt etΦ(L) = 1 − ϕ1 L − · · · ϕp Lp .
Proposition 2. Pour un processus AR (p) les autocorr´lations partielles ψ sont
e
nulles au del` de rang p, ψ (h) = 0 pour h > p.
a
Preuve : Si (Xt ) est un processus AR(p) et si Φ(L)Xt = µ + εt est sa
repr´sentation canonique, en notant ψ(h) le coeﬃcient de Xt−h dans
e
EL(Xt |Xt−1 , . . . , Xt−h ) alors,

Xt = µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + εt
∈L(1,Xt ,...,Xt−p )⊂L(1,Xt ,...,Xt−h )

` ´

Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ψ(h)
e
... de telle sorte que

EL(Xt |Xt−1 , . . . , Xt−h ) = µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + EL(εt |Xt−1 , . . . , Xt−h )
= µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + 0

Aussi, si h > p, le coeﬃcient de Xt−h est 0. Et si h = p, le coeﬃcient de Xt−p est
ϕp = 0.
Proposition 3. Pour un processus AR (p) les autocorr´lations partielles ψ est
e
non nulle au rang p, ψ (p) = 0.

` ´

Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1
e e a
La forme gń´ral des processus de type AR (1) est
e e

Xt − φXt−1 = εt pour tout t ∈ Z,

o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 .
u
Remark si φ = ±1, le processus (Xt ) n’est pas stationnaire. Par exemple, pour
φ = 1, Xt = Xt−1 + εt peut s’ćrire
e

Xt − Xt−h = εt + εt−1 + ... + εt−h+1 ,
2
et donc E (Xt − Xt−h ) = hσ 2 . Or pour un processus stationnaire, il est possible
2
de montrer que E (Xt − Xt−h ) ≤ 4V (Xt ). Puisqu’il est impossible que pour tout
h, hσ 2 ≤ 4Var (Xt ), le processus n’est pas stationnaire.
Ici, si φ = 1, (Xt ) est une marche alátoire.
e

` ´

Remark si |φ| < 1 alors on peut inverser le polynˆme, et
o
∞
−1
Xt = (1 − φL) εt = φi εt−i (en fonction du pass´ de (εt ) ).
e (3)
i=0

Proposition 4. Si (Xt ) est stationnaire, la fonction d’autocorr´lation est
e
donn´e par ρ (h) = φh .
e
Preuve : ρ (h) = φρ (h − 1)

> X=arima.sim(n = 240, list(ar = 0.8),sd = 1)
> plot(X)
> n=240; h=1
> plot(X[1:(n-h)],X[(1+h):n])
> library(ellipse)
> lines(ellipse(0.8^h), type = ’l’,col="red")

` ´

e e a

` ´

Le mod`le AR(1), ρ(1) et ρ(2)
e

` ´

Le mod`le AR(1), ρ(3) et ρ(4)
e

` ´

e e a
> X=arima.sim(n = 240, list(ar = -0.8),sd = 1)

` ´

e e a
Consid´rons un processus AR(1) stationnaire avec φ1 = 0.6.
e

> plot(X)

` ´

e e a
> plot(acf(X),lwd=5,col="red")
> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")

` ´

e e a
Consid´rons un processus AR(1) stationnaire avec φ1 = −0.6.
e

> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = -0.6),sd = 1)
> plot(X)

` ´

e e a
Consid´rons un processus AR(1) presque plus stationnaire avec φ1 = 0.999.
e

> plot(X)

` ´

e e a
Ces processus sont ´galement appel´s mod`les de Yule, dont la forme gń´rale est
e e e e e

Xt − φ1 Xt−1 − φ2 Xt−2 = 1 − φ1 L − φ2 L2 Xt = εt pour tout t ∈ Z,

o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 , et o` les racines du polynˆme
u u o
caract´ristique Φ (z) = 1 − φ1 z − φ2 z 2 sont supposés ` l’ext´rieur du disque
e e a e
unit´, de telle sorte que le processus soit stationnaire. Cette condition s’ćrit
e e

 1 − φ1 + φ2 > 0


1 + φ1 − φ2 > 0


φ2 + 4φ2 > 0,

1

` ´

e e a
La fonction d’autocorr´lation satisfait l’´quation de rćurence
e e e

ρ (h) = φ1 ρ (h − 1) + φ2 ρ (h − 2) pour h ≥ 2,

et la fonction d’autocorr´lation partielle v´rifie
e e

 ρ (1) pour h = 1


2 2
ψ (h) = ρ (2) − ρ (1) / 1 − ρ (1) pour h = 2


0 pour h ≥ 3.


`
A partir des ´quations de Yule Walker, la fonction d’autocorr´lation v´rifie la
e e e
relation de rćurence
e

 ρ (0) = 1 et ρ (1) = φ / (1 − φ ) ,
1 2
 ρ (h) = φ1 ρ (h − 1) + φ2 ρ (h − 2) pour h ≥ 2,

` ´

e e a
> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(0.6,0.4)),sd = 1)

` ´

e e a
> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(0.6,-0.4)),sd = 1)

` ´

e e a
> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(-0.6,0.4)),sd = 1)

` ´

e e a
> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(-0.6,-0.4)),sd = 1)

` ´

Le mod`le M A(q) - moyenne mobile d’ordre q
e
On appelle processus moyenne mobile (moving average’) d’ordre q, not´ M A (q),
e
un processus stationnaire (Xt ) v´rifiant une relation du type
e
q
Xt = εt + θi εt−i pour tout t ∈ Z, (4)
i=1

o` les θi sont des réls et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (4) est ´quivalent
u e e
a e
` l’ćriture
Xt = Θ (L) εt o` Θ (L) = I + θ1 L + ... + θq Lq .
u

Remarque : Contrairement aux processus AR (p), les processus M A (q) sont
toujours des processus stationnaires (si q < ∞ ou si la s´rie des θk est absolument
e
convergente si q = ∞).

` ´

e
La fonction d’autocovarariance est donn´e par
e

γ (h) = E (Xt Xt−h )
= E ([εt + θ1 εt−1 + ... + θq εt−q ] [εt−h + θ1 εt−h−1 + ... + θq εt−h−q ])

2
 [θ + θ
h h+1 θ1 + ... + θq θq−h ] σ si 1 ≤ h ≤ q
=
 0 si h > q,

avec, pour h = 0, la relation

γ (0) = 1 + θ1 + θ2 + ... + θq σ 2 .
2 2 2

Cette derni`re relation peut se r´´crire
e ee
q
γ (k) = σ 2 θj θj+k avec la convention θ0 = 1.
j=0

` ´

e
D’o` la fonction d’autocovariance,
u
θh + θh+1 θ1 + ... + θq θq−h
ρ (h) = 2 2 2
si 1 ≤ h ≤ q,
1 + θ1 + θ2 + ... + θq
et ρ (h) = 0 pour h > q.
Proposition 5. Si (Xt ) est un processus M A(q), γ (q) = σ 2 θq = 0, alors que
γ (k) = 0 pour k > q.

` ´

Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1
e
La forme g´n´rale des processus de type M A (1) est
e e

Xt = εt + θεt−1 , pour tout t ∈ Z,

o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . Les autocorr´lations sont donn´es par
u e e

θ
ρ (1) = , et ρ (h) = 0, pour h ≥ 2.
1 + θ2
On peut noter que −1/2 ≤ ρ (1) ≤ 1/2 : les mod`les M A (1) ne peuvent avoir de
e
fortes autocorr´lations ` l’ordre 1.
e a

> X=arima.sim(n = 240, list(ma = 0.8),sd = 1)
> plot(X)
> n=240;h=1
> plot(X[1:(n-h)],X[(1+h):n])
> library(ellipse)
> lines(ellipse(.8/(1+.8^2)), type = ’l’,col="red")

` ´

e

` ´

e
> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = .7),sd = 1)

` ´

e
> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = -0.7),sd = 1)

` ´

e
La forme g´n´rale de (Xt ) suivant un processus M A (2) est
e e

Xt = εt + θ1 εt−1 + θ2 εt−2 pour tout t ∈ Z,

o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 .
u
La fonction d’autocorr´lation est donn´e par l’expression suivante
e e

2 2
 θ1 [1 + θ2 ] / 1 + θ1 + θ2 pour h = 1


ρ (h) = 2 2
θ2 / 1 + θ1 + θ2 pour h = 2


0 pour h ≥ 3,


` ´

e
> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = c(0.7,0.9)),sd = 1)

` ´

e
> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = c(0.7,-0.9)),sd = 1)

` ´

Le mod`le ARM A(p, q)
e
On appelle processus ARM A (p, q), un processus stationnaire (Xt ) v´rifiant une
e
relation du type
p q
Xt − φi Xt−i = εt + θi εt−i pour tout t ∈ Z, (5)
i=1 j=1

o` les θi sont des réls et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (5) est ´quivalent
u e e
a e
` l’ćriture

 Θ (L) = I + θ L + ... + θ Lq
1 q
Φ (L) Xt = Θ (L) εt o` u
 Φ (L) = I − φ1 L − ... − φp Lp

On supposera de plus de les polyˆmes Φ et Θ n’ont pas de racines en module
o
strictement sup´rieures ` 1, et n’ont pas de racine commune. On supposera de
e a
plus que θq = 0 et φp = 0. On dira dans ce cas que cette ćriture est la forme
e
minimale.

` ´

e
Proposition 6. Soit (Xt ) un processus ARM A (p, q), alors les autocovariances
γ (h) satisfont
p
γ (h) − φi γ (h − i) = 0 pour h ≥ q + 1. (6)
i=1

Proposition 7. Soit (Xt ) un processus ARM A (p, q), alors les autocorr´lations
e
γ (h) satisfont
p
γ (h) − φi γ (h − i) = σ 2 [θh + h1 θh+1 + ... + hq−h θq ] pour 0 ≤ h ≤ q, (7)
i=1

o` les hi correspondent aux coeﬃcients de la forme M A (∞) de (Xt ),
u
+∞
Xt = hj εt−j .
j=0

` ´

e
Remarque : La variance de Xt est donn´e par
e
2 2
1 + θ1 + ... + θq + 2φ1 θ1 + ... + φh θh 2
Var (Xt ) = γ (0) = 2 − ... − φ2 σ o` h = min (p, q) .
u
1 − φ1 p

` ´

Le mod`le ARM A(1, 1)
e
Soit (Xt ) un processus ARM A (1, 1) d´ﬁni par
e

Xt − φXt−1 = εt + θεt−1 , pour tout t,

o` φ = 0, θ = 0, |φ| < 1 et |θ| < 1. Ce processus peut de mettre sous forme
u
AR (∞), puisque
−1
(1 − φL) (1 + θL) Xt = Π (L) Xt = εt ,

o`
u
h
Π (L) = (1 − φL) 1 − θL + θ2 L2 + ... + (−1) θh Lh + .. ,

aussi 
+∞  π =1
0
Π (L) = πi Li o`
u
 πi = (−1)i [φ + θ] θi−1 pour i ≥ 1.
i=0

` ´

e
La fonction d’autocorr´lation s’´crit
e e

 ρ (1) = (1 + φθ) (φ + θ) / 1 + θ2 + 2φθ
 ρ (h) = φh ρ (1) pour h ≥ 2,

et la fonction d’autocorr´lations partielles a le mˆme comportement qu’une
e e
moyenne mobile, avec comme valeur initiale aψ (1) = ρ (1).

` ´

e
> X=arima.sim(n = 2400, list(ar=0.6, ma = 0.7),sd = 1)

` ´

Le mod`le ARIM A(p, d, q)
e
D´ﬁnission l’op´rateur ∆ par ∆Xt = Xt − Xt−1 , i.e.
e e

 ∆X = X − X
t t t−1 = (1 − L) Xt
 ∆d Xt = (1 − L)d Xt

Un processus (Xt ) est un processus ARIM A (p, d, q) - autor´gressif moyenne
e
mobile int´gr´ - s’il v´riﬁe une ´quation du type
e e e e
d
Φ (L) (1 − L) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0

o`
u 
 Φ (L) = I − φ L − φ L2 + ... − φ Lp o` φ = 0
u p
1 2 p
 Θ (L) = I + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq o` θq = 0
u

sont des polynˆmes dont les racines sont de module sup´rieur ` 1, ...
o e a

` ´

e
... et o` les conditions initiales
u

Z−1 = {X−1 , ..., X−p , ε−1 , ..., ε−q }

sont non-corr´l´es avec ε0 , ..., εt , ... et o` le processus (εt ) est un bruit blanc de
ee u
variance σ 2 .
Remarque : Si les processus ARM A peuvent ˆtre d´ﬁnis sur Z, il n’en est pas
e e
de mˆme pour les processus ARIM A qui doivent commencer ` une certaine date
e a
(t = 0 par convention), avec des valeurs initiales (q valeurs pour les εt , et p + d
pour Xt ).
Proposition 8. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) alors le processus
∆d Xt converge vers un processus ARM A (p, q) stationnaire.

` ´

e
Proposition 9. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) de valeurs initiales
Z−1 , alors (Xt ) peut s’ćrire sous la forme suivante, fonction du pass´ du bruit,
e e
t
Xt = hj εt−j + h∗ (t) Z−1 ,
j=1

o` les hj sont les coefficients de la division selon les puissances croissantes de Θ
u
par Φ, et h∗ (t) est un vecteur (ligne) de fonctions de t
Proposition 10. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) de valeurs initiales
Z−1 , alors (Xt ) peut s’ćrire sous la forme suivante, fonction du pass´ de Xt
e e
t
∗
Xt = πj Xt−j + h (t) Z−1 + εt ,
j=1

o` les πj sont les coefficients (pour j ≥ 1) de la division selon les puissances
u
∗
croissantes de Φ par Θ, et h (t) est un vecteur (ligne) de fonctions de t quand
tend vers 0 quand t → ∞.

` ´

Le(s) mod`le(s) SARIM A(s, p, d, q)
e
De fa¸on gń´rale, soient s1 , ..., sn n entiers, alors un processus (Xt ) est un
c e e
processus SARIM A (p, d, q) - autor´gressif moyenne mobile int´gr´ saisonnier -
e e e
s’il v´rifie une ´quation du type
e e

Φ (L) (1 − Ls1 ) ... (1 − Lsn ) Xt = Θ (L) (1 − L)d εt pour tout t ≥ 0

o` Φ (L) = I − φ1 L − φ2 L2 + ... − φp Lp (o` φp = 0) et
u u
Θ (L) = I + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq (o` θq = 0) sont des polynˆmes dont les
u o
racines sont de module sup´rieur ` 1, et o` les conditions initiales
e a u

Z−1 = {X−1 , ..., X−p , ε−1 , ..., ε−q }

sont non-corr´lés avec ε0 , ..., εt , ... et o` le processus (εt ) est un bruit blanc de
ee u
variance σ 2 .

` ´

e
Les deux formes les plus utilis´es sont les suivantes,
e

Φ (L) (1 − Ls ) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0
d
Φ (L) (1 − Ls ) (1 − L) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0

` ´

e
Soit S ∈ N{0} correspondant ` la saisonnalit´, et consid´rons le processus
a e e

Xt = (1 − αL) 1 − βLS εt = εt − αεt−1 − βεt−S + αβεt−S−1 .

Les autocorr´lations sont donn´es par
e e

−α 1 + β 2 −α
ρ (1) = 2 ) (1 + β 2 )
= 2
,
(1 + α 1+α
αβ
ρ (S − 1) = ,
(1 + α2 ) (1 + β 2 )
−β 1 + α2 −β
ρ (S) = 2 ) (1 + β 2 )
= 2
,
(1 + α 1+β
αβ
ρ (S + 1) = ,
(1 + α2 ) (1 + β 2 )
et ρ (h) = 0 ailleurs. On peut noter que ρ (S − 1) = ρ (S + 1) = ρ (1) × ρ (S) .

` ´

e
Soit S ∈ N{0} correspondant ` la saisonnalit´, et consid´rons le processus
a e e

1 − φLS Xt = (1 − αL) 1 − βLS εt ou Xt −φXt−1 = εt −αεt−1 −βεt−S +αβεt−S−1 .

Les autocorr´lations sont donn´es par
e e

−α 1 + β 2 −α
ρ (1) = 2 ) (1 + β 2 )
= 2
,
(1 + α 1+α

2
α β − φ − φ (β − φ) / 1 − φ2
ρ (S − 1) = ,
2
(1 + α2 ) 1 + (β − φ) / (1 − φ2 )

− 1 + α2
ρ (S) = ρS−1 ,
α
avec ρ (h) = 0 pour 2 ≤ h ≤ S − 2, puis ρ (S + 1) = ρ (S − 1) et
ρ (h) = φρ (h − S) pour h ≥ S + 2. En particulier ρ (kS) = φk−1 ρ (S) .

` ´

Le thór`me de Wold
e e
Theorem 11. Tout processus (Xt ), centr´, et stationnaire au second ordre, peut
e
ˆtre repr´sent´ sous une forme proche de la forme M A
e e e
∞
Xt = θj εt−j + ηt ,
j=0

où
• (εt ) est l’innovation, au sens o` εt = Xt − EL (Xt |Xt−1 , Xt−2 , ...) ,
u
• EL (εt |Xt−1 , Xt−2 , ...) = 0, E (εt Xt−j ) = 0, E (εt ) = 0, E ε2 = σ 2
t
(ind´pendant de t) et E (εt εs ) = 0 pour t = s,
e
• toutes les racines de Θ (L) sont ` l’ext´rieur du cercle unit´ : le polynome Θ
a e e
est inversible,
∞ 2
– j=0 θj < ∞ et θ0 = 1,
• les coefficients θj et le processus (εt ) sont uniques,
• (ηt ) v´rifie ηt = EL (ηt |Xt−1 , Xt−2 , ...) .
e

` ´

Estimation d’un SARIMA : Box & Jenkins
La m´thdologie pour estimer un processus SARIMA est la suivante
e
• identification de l’ordre d : poser Yt = (1 − L)d Xt
• identification de l’ordre S : poser Zt = (1 − LS )Yt
• identification de l’ordre p, q tels que Φp (L)Zt = Θq (L)εt
• estimer φ1 , · · · , φp et θ1 , · · · , θq
• construite la s´rie (εt ), en d´duire un estimateur de σ 2
e e
• v´rifier que (εt ) est un bruit blanc
e

` ´

Identification de l’ordre d d’int´gration
e
Le test de Dickey & Fuller simple, H0 : le processus suit une marche alátoire
e
contre l’hypoth`se alternative H1 : le processus suit un mod`le AR (1)
e e
(stationnaire).
– Yt = ρYt−1 + εt : on teste H0 : ρ = 1 (marche alátoire sans d´rive)
e e
– Yt = α + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1 (marche alátoire sans
e
d´rive)
e
– Yt = α + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1 (marche alátoire avec
e
d´rive)
e
– Yt = α + βt + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1 (marche alátoire
e
sans d´rive)
e

` ´

e
Le test de Dickey & Fuller augment´, H0 : le processus suit une marche al´atoire
e e
contre l’hypoth`se alternative H1 : le processus suit un mod`le AR (p)
e e
(stationnaire).
– Φ (L) Yt = εt : on teste H0 : Φ (1) = 0
– Φ (L) Yt = α + εt : on teste H0 : α = 0 et Φ (1) = 0
– Φ (L) Yt = α + εt : on teste H0 : α = 0 et Φ (1) = 0
– Φ (L) Yt = α + βt + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et Φ (1) = 0
Ces 4 cas peuvent ˆtre r´´crits en introduisant les notations suivantes,
e ee
p−1
Φ (L) = Φ (1) + (1 − L) Φ∗ (L) = Φ (1) − αi Li (1 − L)
i=0

o` α0 = Φ (1) − 1 et αi = αi−1 − φi = φi+1 + ... + φp , pour i = 1, ..., p.
u

` ´

e
En posant ρ = 1 − Φ (1), on peut r´´crire les 4 cas en
ee
(1) Yt = ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : ρ = 1
(2) Yt = α + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1
(3) Yt = α + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1
(4) Yt = α + βt + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1

> library(urca)
> summary(ur.df(y=,lag=1,type="trend"))

Il est aussi possible de laisser le logiciel choisir le nombre optimal de retard `
a
consid´rer (` l’aide du BIC, e.g.)
e a

> library(urca)
> summary(ur.df(y=,lag=6,selectlags="BIC",type="trend"))

Cours econometrie-uqam-st-2-v2

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (18)

Semelhante a Cours econometrie-uqam-st-2-v2

Semelhante a Cours econometrie-uqam-st-2-v2 (19)

Mais de Arthur Charpentier

Mais de Arthur Charpentier (20)

Cours econometrie-uqam-st-2-v2