2. Precálculo
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Modelamiento
Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Modelamiento
3. Sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias variables.
Una solución para el sistema es un juego de valores de las
variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.
4. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene
la forma:
222
111
cybxa
cybxa
Sistema de dos Ecuaciones Lineales
con dos variables
5. Métodos de solución
• Método de Igualación
• Método de Sustitución
• Método de Eliminación
6. Ejemplo del Método de Igualación
• Resolver:
2 4
3 2 1
x y
x y
4 2
3 1
2
y x
x
y
Igualando:
3 1
4 2
2
3 1 8 4
7 7
1
x
x
x x
x
x
Sustituyendo:
4 2 1
2
y
y
Despejando y:
1, 2CS
7. Ejemplo del Método de Sustitución
• Resolver:
1, 2CS
2 4
3 2 1
x y
x y
4 2y x
Sustituyendo:
4 2 1
2
y
y
Despejando y:
3 2 4 2 1
3 8 4 1
7 7
1
x x
x x
x
x
Reemplazando:
8. Ejemplo del Método de Eliminación
• Resolver:
1, 2CS
1
2
2 4 ...
3 2 1 ...
x y
x y
Multiplicando Ec (1) por 2 y
sumándola con Ec. (2):
1*
2
4 2 8 ...
3 2 1 ...
7 = 7
1
x y
x y
x
x
Sustituyendo en Ec. (1):
2 1 4
4 2
2
y
y
y
9.
3yx2
5y3x
)a
16y8x24
1y6x3
)c
4 5 1
)
9 14 5
x y
b
x y
Ejercicios: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas, combinando los tres métodos:
2 5 2
) 1 5
1
2 2
x y
d
x y
0,2 0,5 7,8
)
1,25 0,75 10
x y
e
x y
280 325 1085
)
120 415 4345
x y
f
x y
Soluciones:
) 2, 1a CS ) 1, 1b CS
11 1
) ,
15 5
c CS
2
) 0,
5
d CS
e) 14, 10CS ) 12, 7f CS
10. Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
)
2
x ay
a
ax y
2 5
)
x my n
c
nx y m
0
)
1
ax by
b
bx ay
) 1 1
0
x my a
d
x y
a m
10
)
1
ap bq
e
p q
Soluciones:
2 2
2 1 2
) ,
1 1
a a
a CS
a a
2 2 2 2
) ,
b a
b CS
a b a b
2 2
5 2
) ,
5 2 5 2
m n n m
c CS
mn mn
2
2 2
) ,
a am
d CS
m a m a
10 10
e) ,
b a
CS
a b a b
Resolución de sistemas de ecuaciones con
coeficientes literales
11. Precálculo
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Modelamiento
Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Modelamiento
12. 1. PROBLEMA
Seis libras de café y 5 libras de azúcar costaron
$ 227. Si por 5 libras de café y 4 libras de
azúcar (a los mismos precios) se pagó $ 188.
Calcular el precio de una libra de café y una de
azúcar.
$ 32 una libra de café
$ 7 una libra de azúcar
13. 2. PROBLEMA
Una compañía paga a sus agentes de ventas con base
a un porcentaje de los primeros
$100 000 en ventas, más otro porcentaje sobre
cualquier cantidad que supere esos $100 000. Si un
agente recibió $8 500 por ventas de
$175 000, y otro recibió $14 800 por ventas de
$280 000, encuentre los dos porcentajes.
Reciben 4% por ventas de hasta
$100 000 y 6% por ventas superiores.
14. 3. PROBLEMA
Tengo el doble de monedas de 10 centavos en
mi bolso que de monedas de 25 centavos. Si
tuviera 4 monedas menos de 10 centavos y 3
monedas más de 25 centavos tendría $2,60.
¿Cuántas monedas de cada tipo tengo?
10 monedas de 10 cent.
5 monedas de 25 cent.
15. 4. PROBLEMA
En una cierta cadena de tiendas se realiza la
siguiente oferta para grupos corporativos: Por cada 5
TV que compren, se regala 7 DVD, y por cada 4
computadoras compradas se regala 9 DVD. Si en
cierta ocasión se regaló 261 DVD y el número de
computadoras que vendió la cadena era 2/3 del
número de TV que vendió ¿Cuántas computadoras
se vendió?
Se vendió 60 computadoras.
16. M : Monto capital final.
C : Capital inicial
I : Interés
I = C i t
i : Tasa relación de la ganancia y capital por
cada periodo de tiempo.
t : Tiempo.
INTERÉS
I
M
C
17. Observación:
El tiempo y la tasa de interés, deben
estar siempre expresados en las
mismas unidades de tiempo.
M = C + I
18. 5. PROBLEMA
Un hombre invierte al 8% el doble de lo que
destina al 5%. El interés total anual
obtenido por las dos inversiones es de
$840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?
$8 000 al 8%
$4 000 al 5%
19. 6. PROBLEMA
Una ONG debe repartir leche entre cierta
cantidad de niños de comedores populares.
Si la ONG reparte la leche en envases de 5k
litros, sobrarán mk litros de leche, pero si el
reparto se hace en envases de 6k litros,
entonces faltará leche para n niños. ¿A
cuántos niños debe repartir leche la ONG?
(m + 6n) niños
20. 7. PROBLEMA (Resuelto)
La empresa W.H. se dedica a la fabricación de bebidas
refrescantes. Dicha empresa ha anunciado que su naranjada
tiene “saborizante natural”, aunque contiene sólo 10% de
jugo de naranja. De acuerdo con una nueva norma de
INDECOPI, para que una bebida se llame natural debe tener
por lo menos 20% de jugo de fruta. ¿Cuánto de jugo natural
puro debe mezclar la empresa con bebida de naranja ya
preparada para tener 1800 litros de bebida que cumpla con
la nueva norma?
200 litros de jugo natural
21. 200 litros de jugo natural
Solución: x: Cantidad de jugo natural puro.
y: Cantidad de bebida ya preparada.
1800 yx
1800.20,010,0 yx
1600;200 yx
Restando la primera menos la segunda ecuación:
360180090,0 y 1600 y
22. Precálculo
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Modelamiento
Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Modelamiento
24. Ejercicios: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con
tres incógnitas:
Respuesta:
2
123
1
2
)
azayx
azyax
azyx
e
1;;1.. aaSC
25. Precálculo
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Modelamiento
Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Modelamiento
26. 1. PROBLEMA
Un cajero automático contiene 95 billetes entre
denominaciones de $10, $20 y $50, haciendo un
total de $2000. Si el número de billetes de $10 es
el doble que el número de billetes de $20.
¿Cuántos billetes hay de cada tipo?
50 billetes de $10, 25 billetes de $20 y
20 billetes de $50.
27. 2. PROBLEMA
Una fábrica elabora tres productos A, B y C los que produce en
tres máquinas. El tiempo requerido, en horas, para procesar una
unidad de cada producto por las tres máquinas está indicado en la
siguiente tabla.
Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1
200 horas y de la III 550 horas.
¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con la
finalidad de emplear las máquinas todo el tiempo disponible?
Máquina / producto A B C
I 3 1 2
II 1 2 4
III 2 1 1
100 unidades de A, 150 unidades de B y 200 unidades de C.
28. 3. PROBLEMA
Una compañía de artículos electrodomésticos produce tres
modelos de cocina: A, B y C. Estos electrodomésticos pueden
ser entregados por camión, camioneta o vagoneta. Un camión
tiene capacidad para 2 cajas del modelo A, 1 del modelo B y 3
del modelo C. Una camioneta tiene capacidad para 1 caja del
modelo A, 3 cajas del modelo B y 2 cajas del modelo C. Una
vagoneta tiene capacidad para 1 caja del modelo A, 3 cajas del
modelo B y 1 caja del modelo C.
Si deben entregarse 15 cajas del modelo A, 20 cajas del modelo
B y 22 del modelo C, ¿cuántos vehículos de cada tipo deben
usarse de manera que operen a capacidad plena?
5 camiones, 2 camionetas y 3 vagonetas.
29. 4. PROBLEMA
Un equipo obtiene 3 puntos por victoria, 1 punto
por empate y no obtiene puntos en caso de
derrota. Un equipo lleva jugados 22 partidos y ha
obtenido 19 puntos, perdiendo el triple de
partidos de los que ganó. ¿Cuántos partidos
ganó, empató y perdió?
Ganó 3 partidos, empató 10
partidos y perdió 9 partidos.
