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Derivadas parte i
- 1. DERIVADAS DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de una función ݂ሺݔሻ respecto de (x) es la función ݂´ሺݔሻ (se lee “f prima de (x) y está dad por: ݂´ሺݔሻ ൌ lim ՜ ݂ሺݔ ݄ሻ െ ݂ሺݔሻ ݄ El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que ݂ሺݔሻ es derivable en c si existe ݂´ሺܿሻ , es decir, lim՜ ሺାሻିሺሻ existe La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea.
- 2. Al calcular el límite lim՜ ሺାሻିሺሻ lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)). REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante Sea la función ݂ሺݔሻ ൌ ܿ, donde c es una constante o número real. La derivada será ݂´ሺݔሻ ൌ 0. Ejemplo 1: ݂ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 0 Ejemplo 2: ݉ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݉´ሺݔሻ ൌ 0 Ejemplo 3: ݄ሺݔሻ ൌ 9 ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݄´ሺݔሻ ൌ 0 2. Derivada de una potencia de x Sea la Función ݂ሺݔሻ ൌ ݔ , la derivada será ݂´ሺݔሻ ൌ ݊ݔିଵ , donde n es cualquier número real. Ejemplo 1: ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 3ݔଷିଵ ൌ 3ݔଶ Ejemplo 2: ݐሺݔሻ ൌ ݔହ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݐሺݔሻ ൌ 5ݔହିଵ ൌ 5ݔସ Ejemplo 3: ݎሺݔሻ ൌ ݔିଶ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݎሺݔሻ ൌ ሺെ2ሻݔିଶିଵ ൌ െ2ݔିଷ 3. Derivada de una constante por una función Sea la Función ݂ሺݔሻ ൌ ܿݔ , la derivada será ݂`ሺݔሻ ൌ ܿ݊ݔିଵ Ejemplo 1:
- 3. ݂ሺݔሻ ൌ 6ݔସ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݂´ሺݔሻ ൌ 6ሺ4ሻݔସିଵ ൌ 24ݔଷ Ejemplo 2: ݄ሺݔሻ ൌ െ2ݔଷ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ݄´ሺݔሻ ൌ െ2ሺ3ሻݔଷିଵ ൌ െ6ݔଶ Ejemplo 3: ݍሺݔሻ ൌ 5ݔି ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ݍሺݔሻ ൌ 5ሺെ6ሻݔିିଵ ൌ െ30ݔି Ejemplo 4: ሺݔሻ ൌ 6ݔ ݁݊ݏ݁ܿ݊ݐ ´ሺݔሻ ൌ 6ሺ1ሻݔଵିଵ ൌ 6ݔ ൌ 6 4. Derivada de una suma o resta de funciones La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: Sea ݄ሺݔሻ ൌ ሾ݂ሺݔሻ േ ݃ሺݔሻ േ ݍሺݔሻሿ La derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ሾ݂´ሺݔሻ േ ݃´ሺݔሻ േ ´ݍሺݔሻሿ Ejemplo 1: ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔସ 8ݔଶ 9ݔ െ 3 ݂´ሺݔሻ ൌ 8ݔଷ 16ݔ 9 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 2: ሺݔሻ ൌ െ5ݔିଶ െ 3ݔଷ െ 12ݔ െ 20 ´ሺݔሻ ൌ 10ݔିଷ െ 9ݔ െ 12 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 3: ݏሺݔሻ ൌ െ3ݔସ െ 8ݔିଶ െ 2ݔ ´ݏሺݔሻ ൌ െ12ݔଷ 16ݔିଷ െ 2
- 4. Exponentes fraccionarios ݔ ೌ ್ y términos de la forma √ݔ್ . Los términos de la forma √ݔ್ para expresarlos como exponente se aplica la propiedad de radicación √ݔ್ ൌ ݔ ೌ ್. Ejemplo 1: derivar la función ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ భ మ െ 2ݔ ఱ య √ݔ య El primer paso es convertir los radicales en exponentes ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ భ మ െ 2ݔ ఱ య √ݔ య función inicial Convertir el término √ݔ య en exponente aplicando √ݔ್ ൌ ݔ ೌ ್ ݐሺݔሻ ൌ 4ݔ భ మ െ 2ݔ ఱ య ݔ భ య ´ݐሺݔሻ ൌ 4 ቀ ଵ ଶ ቁ ݔ భ మ ିଵ െ 2 ቀ ହ ଷ ቁ ݔ ఱ య ିଵ ቀ ଵ ଷ ቁ ݔ భ య ିଵ Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ´ݐሺݔሻ ൌ 2ݔି భ మ െ ଵ ଷ ݔ మ య ଵ ଷ ݔି మ య Simplificando, resultado final. Ejemplo 2: derivar la función ݈ሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ݔ భ ఱ െ 5√ݔଷర െ 2ݔଷ 4 El primer paso es convertir los radicales en exponentes ݈ሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ݔ భ ఱ െ 5√ݔଷర െ 2ݔଷ 4 función inicial Convertir los términos con radical en exponente aplicando √ݔ್ ൌ ݔ ೌ ್ ݈ሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ݔ భ ఱ െ 5ݔ య ర െ 2ݔଷ 4 ݈´ሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ቀ ଵ ହ ቁ ݔ భ ఱ ିଵ െ 5 ቀ ଷ ସ ቁ ݔ య ర ିଵ െ 2ሺ3ሻݔଷିଵ Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ݈´ሺݔሻ ൌ ଵ ଵହ ݔି ర ఱ െ ଵହ ସ ݔି భ ర െ 6ݔଶ Simplificando, resultado final.
- 5. 5. Derivada de un producto de funciones Sea ݄ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃ሺݔሻ, la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ. Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". 6. Derivada de un cociente de funciones Sea ݄ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ,la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado”. El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante. 7. Regla de la cadena Si ݄ሺݔሻ ൌ ሾ݂ሺݔሻሿ , entonces la derivada es ݄´ሺݔሻ ൌ ݊ሾ݂ሺݔሻሿିଵ כ ݂´ሺݔሻ La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos: ݂ሺݔሻ ൌ √ݔ 1 య Funciones Raíz ݂ሺݔሻ ൌ ሺ2ݔ െ 1ሻହ Función con paréntesis elevado a una potencia Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Ejemplo 1: derivar ݏሺݔሻ ൌ ሺ2ݔଶ 3ሻ ݏሺݔሻ ൌ ሺ2ݔଶ 3ሻ ሾ݂ሺݔሻሿ , en este caso la función 2ݔଶ 3 es la función interna y se encuentra elevada a la 6.
- 6. ´ݏሺݔሻ ൌ 6ሺ2ݔଶ 3ሻହ כ ሺ4ݔሻ Organizar términos el 4x pasa a la izquierda ´ݏሺݔሻ ൌ 24ݔሺ2ݔଶ 3ሻହ Resultado final Ejemplo 2: derivar ݎሺݔሻ ൌ √ݔଶ 12 య . Aplicando la propiedad de radicación se transforma el radical en exponente.ඥሺ݂ሺݔሻሻ್ ൌ ሺ݂ሺݔሻሻ ೌ ್ ݎሺݔሻ ൌ √ݔଶ െ 12ݔ య ൌ ሺݔଶ െ 12ݔሻ భ య Aplicar propiedad de radicación ݎሺݔሻ ൌ ሺݔଶ െ 12ݔሻ భ య ሾ݂ሺݔሻሿ , en este caso la función ݔଶ െ 12ݔ es la función interna y se encuentra elevada a la ଵ ଷ . ´ݎሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ሺݔଶ െ 12ݔሻି మ య כ ሺ2ݔ െ 12ሻ ´ݎሺݔሻ ൌ ଵ ଷ ሺ2ݔ െ 12ሻሺݔଶ െ 12ݔሻି మ య Pasar (2x-12) a la izquierda ´ݎሺݔሻ ൌ ሺ ଶ ଷ ݔ െ 4ሻ ሺݔଶ െ 12ݔሻି మ య Simplificar ´ݎሺݔሻ ൌ ቀ మ య ௫ିସቁ ሺ௫మିଵଶ௫ሻ మ య Bajar el término ሺݔଶ െ 12ݔሻି మ య con potencia positiva ´ݎሺݔሻ ൌ ቀ మ య ௫ିସቁ ඥሺ௫మିଵଶ௫ሻమయ Convertir en radical el término ሺݔଶ െ 12ݔሻ మ య ´
- 7. 8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena Si ݂ሺݑሻ ൌ ݁௨ su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ݁௨ כ ሺ´ݑሻ, la variable ݑ es el exponente de (e) y ሺ´ݑሻ significa derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ ݃ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ Función inicial ݃´ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ כ ሺ2ሻ Pasar el número 2 a la izquierda ݃´ሺݔሻ ൌ 2݁ଶ௫ାଵ Respuesta Ejemplo 2: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁௫ భ మା௫ ݃ሺݔሻ ൌ ݁௫ భ మା௫ Función inicial ݃´ሺݔሻ ൌ ሺ ଵ ଶ ݔି భ మ 1ሻ݁௫ భ మା௫ El término ሺ ଵ ଶ ݔି భ మ 1ሻ pasa a la izquierda Ejemplo 3: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ ݃ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ Función inicial ݃´ሺݔሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ כ ሺെ12ݔଶ 5ሻ Aplicar fórmula ݂´ሺݑሻ ൌ ݁௨ כ ሺ´ݑሻ ݃´ሺݔሻ ൌ ሺെ12ݔଶ 5ሻ݁ିସ௫యାହ௫ El término ሺെ12ݔଶ 5ሻ pasa a la izquierda
- 8. 9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si ݂ሺݑሻ ൌ ݊ܮሺݑሻ su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ଵ ௨ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ݍሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଷ ሻ ݍሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଷ ሻ Función inicial ´ݍሺݔሻ ൌ ଷ௫మ ௫య Organizar la expresión como fracción para simplificar ´ݍሺݔሻ ൌ ଷ ௫ Respuesta Ejemplo 2: derivar ݉ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ5ݔସ െ 4ݔଶ ሻ ݉ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ5ݔସ െ 4ݔሻ Función inicial ݉´ሺݔሻ ൌ ଵ ሺହ௫రିସ௫ሻ כ ሺ20ݔଷ െ 8ݔሻ Aplicar la fórmula ݂´ሺݑሻ ൌ ଵ ௨ כ ሺ´ݑሻ ݉´ሺݔሻ ൌ ሺଶ௫యି଼௫ሻ ሺହ௫రିସ௫ሻ Organizar los términos como fracción para simplificar ݉´ሺݔሻ ൌ ସ௫൫ହ௫మିଶ൯ ௫ሺହ௫యିସሻ Factorizar por factor común y simplificar ݉´ሺݔሻ ൌ ସ൫ହ௫మିଶ൯ ሺହ௫యିସሻ Respuesta Ejemplo 3: derivar ݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ√ݔଶ 1ሻ ݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ√ݔଶ 1ሻ Función inicial ݊ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺݔଶ 1ሻ భ మ Convertir el radical √ݔଶ 1 en exponente
- 9. Para derivar la función ሺݔଶ 1ሻ భ మ mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ݊´ሺݔሻ ൌ ሺଶ௫ሻሺ௫మାଵሻ ష భ మ ଶሺ௫మାଵሻ భ మ Organizar los términos como fracción para simplificar ݊´ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻሺ௫మାଵሻ ష భ మ ሺ௫మାଵሻ భ మ Simplificar los términos de bases iguales ݔଶ 1 ݊´ሺݔሻ ൌ ௫ ሺ௫మାଵሻ భ మሺ௫మାଵሻ భ మ Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales ݊´ሺݔሻ ൌ ௫ ௫మାଵ Respuesta DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 10. Función Seno Si ݂ሺݑሻ ൌ ܵ݁݊ሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ݏܥሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 1: derivar ݂ሺݔሻ ൌ ܵ݁݊ሺݔଶ 1ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ܵ݁݊ሺݔଶ 1ሻ ݂´ሺݔሻ ൌ ݏܥሺݔଶ 1ሻ כ ሺ2ݔሻ Pasar el término 2x a la izquierda ݂´ሺݔሻ ൌ 2ݏܥݔሺݔଶ 1ሻ Respuesta
- 10. 11. Función Coseno Si ݂ሺݑሻ ൌ ݏܥሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െܵ݁݊ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 2: derivar ݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ√2ݔଷ 4ሻ ݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ√2ݔଷ 4ሻ ݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺሺ2ݔଷ 4ሻ భ మሻ Convertir el radical √2ݔଷ 4 a exponente Para derivar la función ሺ2ݔଷ 4ሻ భ మ mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ݃´ሺݔሻ ൌ െܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ 4ሻ భ మቁ כ ሾ3ݔଶሺ2ݔଷ 4ሻି భ మሿ Simplificar y organizar (u´) ݃´ሺݔሻ ൌ െ3ݔଶሺ2ݔଷ 4ሻି భ మܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ 4ሻ భ మቁ Pasar a la izquierda 3ݔଶሺ2ݔଷ 4ሻି భ మ ݃´ሺݔሻ ൌ െ3ݔଶሺ2ݔଷ 4ሻି భ మ ܵ݁݊ሺቀ2ݔଷ 4ሻ భ మቁ Respuesta 12. Función Tangente Si ݂ሺݑሻ ൌ ݊ܽݐሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿଶ ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 3: derivar ݄ሺݔሻ ൌ tan ሺ2ݔସ െ ݔଶ ሻ ݄ሺݔሻ ൌ tan ሺ2ݔସ െ ݔଶ ሻ
- 11. ݄´ሺݔሻ ൌ Secଶሺ2ݔସ െ ݔଶሻ כ ሺ8ݔଷ െ 2ݔሻ Pasar el término 8ݔଷ െ 2ݔ a la izquierda ݄´ሺݔሻ ൌ ሺ8ݔଷ െ 2ݔሻ Secଶሺ2ݔସ െ ݔଶሻ Respuesta 13. Función Secante Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿ݁ݏሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿሺݑሻ כ tanሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 4: derivar ݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺ√ݔ 2ሻ ݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺ√ݔ 2ሻ ݈ሺݔሻ ൌ Sec ሺݔ భ మ 2ሻ Convertir el término √ݔ a exponente ݈´ሺݔሻ ൌ Sec ቀݔ భ మ 2ቁ כ ݊ܽݐ ቀݔ భ మ 2ቁ כ ሺ ଵ ଶ ݔି భ మሻ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ ܵ݁ܿሺݑሻ tanሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ ݈´ሺݔሻ ൌ ሺ ଵ ଶ ݔି భ మሻSecቀݔ భ మ 2ቁ ݊ܽݐ ቀݔ భ మ 2ቁ 14. Función Cotangente Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿݐሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െܿܿݏଶ ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 5: derivar ݐሺݔሻ ൌ cot ሺ5ݔଶ െ ݔሻ ݐሺݔሻ ൌ cot ሺ5ݔଶ െ ݔሻ ´ݐሺݔሻ ൌ െ cscଶሺ5ݔଶ െ ݔሻ כ ሺ10ݔ െ 1ሻ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ െܿܿݏଶ ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ ´ݐሺݔሻ ൌ െሺ10ݔ െ 1ሻ cscଶሺ5ݔଶ െ ݔሻ ´ݐሺݔሻ ൌ ሺ1 െ 10ݔሻ cscଶሺ5ݔଶ െ ݔሻ
- 12. 15. Función Cosecante Si ݂ሺݑሻ ൌ ܿܿݏሺݑሻ, su derivada es ݂´ሺݑሻ ൌ െ cscሺݑሻ כ cot ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ, la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 6: derivar ሺݔሻ ൌ csc ሺ5√ݔହయ െ 2ሻ ሺݔሻ ൌ csc ሺ5√ݔହయ െ 2ሻ ሺݔሻ ൌ csc ሺ5ݔ ఱ య െ 2ሻ Convertir el término 5√ݔହయ en exponente ´ሺݔሻ ൌ െ csc ቀ5ݔ ఱ య െ 2ቁ ܿ ݐ ቀ5ݔ ఱ య െ 2ቁ כ ሺ ଶହ ଷ ݔ మ యሻ ´ሺݔሻ ൌ െ ଶହ ଷ ݔ మ య csc ቀ5ݔ ఱ య െ 2ቁ ܿ ݐ ቀ5ݔ ఱ య െ 2ቁ Aplicar ݂´ሺݑሻ ൌ െ cscሺݑሻ cot ሺݑሻ כ ሺ´ݑሻ DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Regla del producto. Multiplicación de funciones Sea ݄ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃ሺݔሻ, la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ. Regla del cociente. División de funciones Sea ݄ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ,la derivada será ݄´ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ Identificación de los términos en la función ݉ሺݔሻ ൌ ݔ√ݔ െ 3 ݂ሺݔሻ ൌ ݔ
- 13. ݃ሺݔሻ ൌ √ݔ െ 3 ൌ ሺݔ െ 3ሻ ଵ ଶ Calculamos las derivadas ݂´ሺݔሻ ൌ 1 ݃´ሺݔሻ ൌ 1 2 ሺݔ െ 3ሻି ଵ ଶ כ ሺ1ሻ ݃´ሺݔሻ ൌ ଵ ଶ ሺݔ െ 3ሻି భ మ Simplificando Aplicando la regla del producto para ݉ሺݔሻ ൌ ݔ√ݔ െ 3 ݉´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ ݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔሻ כ ቀ ଵ ଶ ሺݔ െ 3ሻି భ మቁ ሺݔ െ 3ሻ భ మ כ ሺ1ሻ Remplazando en la fórmula ݉´ሺݔሻ ൌ ௫ ଶ כ ሺݔ െ 3ሻି భ మ ሺݔ െ 3ሻ భ మ Simplificar la expresión ݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି భ మ ሺ ௫ ଶ ሺݔ െ 3ሻሻ Factorizar ሺݔ െ 3ሻ por facto común ݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି భ మ ሺ ௫ ଶ ݔ െ 3ሻ Simplificar, romper paréntesis ݉´ሺݔሻ ൌ ሺݔ െ 3ሻି భ మ ሺ ଷ ଶ ݔ െ 3ሻ Operar términos semejantes ݉´ሺݔሻ ൌ ሺ య మ ௫ିଷሻ ሺ௫ିଷሻ భ మ Pasar el término ሺݔ െ 3ሻି భ మ al denominador cambia de signo el exponente por propiedad de potenciación ݉´ሺݔሻ ൌ ሺ య మ ௫ିଷሻ √௫ିଷ Convertir el término del denominador en radical. Respuesta Ejemplo 2: derivar ݐሺݔሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ Identificación de los términos en la función ݐሺݔሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ ݃ሺݔሻ ൌ 2ݔ െ 1
- 14. Calculamos las derivadas ݂´ሺݔሻ ൌ 3ݔଶ ݃´ሺݔሻ ൌ 2 Aplicando la regla de cociente para ݐሺݔሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ´ݐሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ ´ݐሺݔሻ ൌ ሺଶ௫ିଵሻכ൫ଷ௫మ൯ି൫௫య൯כሺଶሻ ሺଶ௫ିଵሻమ Remplazar en la fórmula ´ݐሺݔሻ ൌ ௫యିଷ௫మିଶ௫య ሺଶ௫ିଵሻమ Realizar operaciones ´ݐሺݔሻ ൌ ସ௫యିଷ௫మ ሺଶ௫ିଵሻమ Reducción de términos semejantes, respuesta Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ Identificación de los términos en la función ݍሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ݏܥሺ7ݔଷ ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ݃ሺݔሻ ൌ ݏܥሺ7ݔଷ ሻ Calculamos las derivadas ݂´ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ כ ሺ4ݔሻ ݂´ሺݔሻ ൌ 4݁ݔଶ௫మାସ ݃´ሺݔሻ ൌ െܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ כ 21ݔଶ ݃´ሺݔሻ ൌ െ21ݔଶ ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ Aplicando la regla del producto para ݍሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ݏܥሺ7ݔଷ ሻ ´ݍሺݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ כ ݃´ሺݔሻ ݃ሺݔሻ כ ݂´ሺݔሻ
- 15. Remplazando en la fórmula ´ݍሺݔሻ ൌ ሺ݁ଶ௫మାସ ሻ כ ൫െ21ݔଶ ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ൯ ሺݏܥሺ7ݔଷሻሻ כ ሺ4݁ݔଶ௫మାସ ሻ ´ݍሺݔሻ ൌ െ21ݔଶ ܵ݁݊ሺ7ݔଷሻ݁ଶ௫మାସ 4ݏܥݔሺ7ݔଷሻ݁ଶ௫మାସ Organizar y simplificar ´ݍሺݔሻ ൌ ݁ݔଶ௫మାସ ሺെ21݊݁ܵݔሺ7ݔଷሻ 4ݏܥሺ7ݔଷሻሻ Factorizar por factor común ´ݍሺݔሻ ൌ ݁ݔଶ௫మାସ ሺെ21݊݁ܵݔሺ7ݔଷሻ 4ݏܥሺ7ݔଷሻሻ Respuesta. Ejemplo 4: derivar ݏሺݔሻ ൌ ሺଷ௫రିଷ௫ሻ ௫యାଶ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ Identificación de los términos en la función ݏሺݔሻ ൌ ሺଷ௫రሻ ௫యାଶ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ݊ܮሺ3ݔସ ሻ ݃ሺݔሻ ൌ ݔଷ 2 Calculamos las derivadas ݂´ሺݔሻ ൌ 1 ሺ3ݔସሻ כ ሺ12ݔଷ ሻ ݂´ሺݔሻ ൌ 12ݔଷ 3ݔସ ൌ 4 ݔ ݃´ሺݔሻ ൌ 3ݔଶ Aplicando la regla de cociente para ݏሺݔሻ ൌ ሺଷ௫రሻ ௫యାଶ ´ݏሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻିሺ௫ሻכ´ሺ௫ሻ ሾሺ௫ሻሿమ ´ݏሺݔሻ ൌ ሺ௫యାଶሻכቀ ర ೣ ቁି൫ଷ௫ర൯כሺଷ௫మሻ ሺ௫యାଶሻమ Remplazando en la fórmula ´ݏሺݔሻ ൌ ሺସ௫మା ఴ ೣ ሻିଷ௫మ൫ଷ௫ర൯ ሺ௫యାଶሻమ Realizar operaciones y organizar ´ݏሺݔሻ ൌ ሺସ௫మା଼௫షభሻିଷ௫మ൫ଷ௫ర൯ ሺ௫యାଶሻమ ´ݏሺݔሻ ൌ ௫షభሺସ௫యା଼ିଷ௫య൫ଷ௫ర൯ሻ ሺ௫యାଶሻమ Factorizar por factor común, respuesta