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Enigme19correction

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  1. 1. Enigme n°19Loïc collectionne les vieux livres de problèmes mathématiques . Il vient d’en acheter un desannées cinquante dans lequel une des énigmes lui résiste…La voici :« Quel est le dernier chiffre non nul du produit des mille premiers entiers positifs ? »Correction de l’énigme 19 (Le chiffre mystère)Deux problèmes se présentent : Mettre de côté tous les facteurs 10 possibles de ce produit et donc en réalité tous les facteurs 5×2. Déterminer le chiffre des unités du produit restant.Par commodité, on note10001( )ientiers i le produit de tous les entiers compris entre 1 et 1000.1000 1000 10001 1 11000 10001 1500 10005001 1( ) ( ) ( )( ) ( )2 ( ) ( )i i ii ii ientiers i entiers pairs i entiers impairs ientiers pairs i entiers impairs ientiers i entiers impairs i            Les entiers pairs de 1 à 1000 sont 2, 4, 6, …, 1000.Leur produit est donc bien5005001(1 2) (2 2) (3 2) ...(500 2) 2 ( )ientiers i         .On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans5001( )ientiers i .500 500 1001001 1 1( ) ( 5) 5 ( )i i ientiers i entiers i non div par entiers i       car les entiers divisibles par 5 sont 5, 10,15, 20, …, 500 : leur produit est donc1001001(1 5) (2 5) (3 5) ...(100 5) 5 ( )ientiers i         .100 100 20201 1 1( ) ( 5) 5 ( )i i ientiers i entiers i non div par entiers i      20 2041 1( ) ( 5) 5 2 3 4i ientiers i entiers i non div par      Au final500 500 100 201241 1 1 1( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i i ientiers i i non div par i non div par i non div par            On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans10001( )ientiers impairs i .1000 1000 2001001 1 1( ) ( 5) 5 ( )i i ientiers impairs i i impairs non div par impairs i      200 200 40201 1 1( ) ( 5) 5 ( )i i ientiers impairs i i impairs non div par impairs i      
  2. 2. 40 4051 1( ) ( 5) 5 3 7i ientiers impairs i i impairs non div par     Au final1000 1000 200 401251 1 1 1( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 3 7i i i iimpairs i impairs non div par impairs non div par impairs non div par          Le produit10001( )ientiers i finit donc par 249 zéros à cause du produit 249 2495 2 .Dernier chiffre non nul :Pour connaitre le dernier chiffre du produit10001( )ientiers i , il suffit donc de trouver le dernier chiffre dechacun des facteurs restants, à savoir :(1)500 100 201 1 1( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i ii non div par i non div par i non div par        (2)1000 200 401 1 1( 5) ( 5) ( 5) 3 7i i iimpairs non div par impairs non div par impairs non div par       (3) 500 249 2512 2Tous les produits 1 2 3 4 6 7 8 9       , 11 12 13 14 16 17 18 19       … finissent tous par 6 .Donc500 100 201 1 1( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i ii non div par i non div par i non div par         finit par 4 car6 6 6 2 3 4 4      .Tous les produits 1 3 7 9   , 11 13 17 19   … finissent tous par 9 .Dans1000 200 401 1 1( 5) ( 5) ( 5)i i iimpairs non div par impairs non div par impairs non div par      , on dénombre100 20 4 124   produits de ce type. Le dernier chiffre du produit est donc 1 puisque 9entier pairfinit par 1.On examine enfin les derniers chiffres des puissances de 2 successives :2 / 4 / 8 / 6 / 2 /… Les chiffres des unités reviennent de façon cyclique tous les 4 termes…Alors 2512 finit par un 8 car 251 4 62 3   .Conclusion :Le dernier chiffre cherché est aussi le dernier chiffre de 4 1 8  . C’est donc un 2.

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