Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos con características comunes. Explica que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Luego, describe los elementos de un conjunto, modos de representación de conjuntos, tipos de conjuntos según el número de elementos, operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y representación de conjuntos en un computador.

1. Unidad II:
Teoría de Conjuntos.
Ing. Vanessa Borjas

2. CONJUNTO:
Grupo de objetos con una o
más características comunes.
También se puede decir que es
una colección desordenada de
objetos. Un conjunto está bien
definido si es posible conocer
todos sus elementos.

3. Conjunto
EJEMPLOS:
• Las Vocales del Alfabeto V = {a; e; i; o; u}
V = Nombre del conjunto en mayúscula
a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.
• Los enteros positivos impares menores a 10
I = {1; 3; 5; 7; 9}
Los elementos pueden ser también números.
• B = {a; 2; Roberto; Francia}
Los elementos de un conjunto pueden también no estar relacionados.

4. Elementos de un conjunto
Son los objetos que componen un conjunto, también
se les conoce como miembros. Se dice que el conjunto
contiene a sus elementos y los elementos pertenecen al
conjunto.
• Si un elemento “a” pertenece a un conjunto “V”, se
denota por: a  V
• Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto “V”, se
denota por: d  V

5. Modos de representación de un
conjunto
• a) EXTENSIÓN:
Se detallan todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
V = {a; e; i; o; u}
• b) COMPRENSIÓN:
Se da una idea que representa los elementos.
Ejemplo:
Las vocales del alfabeto.

6. Modos de representación de un
conjunto
• c) DESCRIPCIÓN POR CONSTRUCCIÓN:
Se caracterizan todos los elementos del conjunto
declarando la propiedad o propiedades que deben tener sus
miembros.
Ejemplo: Conjunto I de todos los números enteros positivos
menores que 10.
I = {x | x es un entero positivo menor que 10}
I = {x | x Z+, x < 10}

7. • d) DIAGRAMA DE VENN:
Es una forma gráfica de representar un conjunto. Parte
del concepto de conjunto Universal.
Se define el Conjunto Universal ‘U’ como aquel que
contiene todos los elementos que están siendo objeto de estudio.
Se representa por un rectángulo y la letra U.
El diagrama se construye con el conjunto universal
representado por un rectángulo, y luego utilizando círculos
dentro del rectángulo se representan los conjuntos, identificados
con letras mayúsculas. Los elementos se representan dentro de
los conjuntos, utilizando letras minúsculas.
Modos de representación de un
conjunto

8. U
V
Conjunto de Vocales
Conjunto Universal
.a
.e
.i
.o
.u
Elementos
Modos de representación de un
conjunto

9. Tipos de conjuntos según el
número de elementos
• a) CONJUNTO VACÍO:
Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Φ,
también puede ser denotado por Φ o { }.
• b) CONJUNTO UNITARIO:
Es aquel que tiene un solo elemento.
Ejemplo: {a}, {Φ}, {5}

10. • c) CONJUNTO FINITO:
Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n
> 0. Ejemplo: las vocales.
• d) CONJUNTO INFINITO:
Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no
definidos.
Ejemplo: el conjunto de los enteros positivos.
Tipos de conjuntos según el
número de elementos

11. • e) SUBCONJUNTO:
Se dice que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si
todo elemento de A es también un elemento de B.
A  B
Tipos de conjuntos según el
número de elementos

12. Teorema de Subconjuntos
• a) Φ  S y S  S Todo conjunto no vacío S, tiene 2
subconjuntos, el vacío y el propio conjunto.
• b) A  B y B  A Entonces se concluye que A = B
• c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero que A y B son
diferentes, se denota A  B

13. Teorema de Subconjuntos
• d) En un diagrama de Venn, A  B se representa por:
U
A
B

14. Características de Conjuntos
• a) IGUALDAD DE CONJUNTOS:
Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos
elementos. Ejemplo:
{1; 2; 4} = {2; 4; 1} = {1; 2; 2; 2; 4}
.1
.2
.4
.2
.4
.1
.1
.2
.2
.2
.4
= =

15. • b) TAMAÑO DE UN CONJUNTO:
Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos”
en S, donde n es un entero no negativo, se dice que S es un conjunto
finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño. El cardinal del
conjunto S se denota por |S|.
Ejemplos:
• A = Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10. |A| = 5
• S = Conjunto de las letras del alfabeto. |S| = 28
• V = Conjunto de las vocales. |V| = 5
• Φ = Conjunto vacío. |Φ| = 0 (ya que no tiene elementos)
Características de Conjuntos

16. Conjuntos numéricos fundamentales
NÚMEROS NATURALES (N)
N = {0; 1; 2; 3; …}
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Z = {…; -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}
NÚMEROS RACIONALES (Q)
Q = {p/q | p q Z, q  0} = {…; -1; -½; 0; 1/5; ½; 1; 3/2; 2; …}
NÚMEROS IRRACIONALES (I)
I = {…; 2; 3; p; …}
NÚMEROS REALES (R)
R = {…; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
NÚMEROS COMPLEJOS (C)
C = {…; -2; -½; 0; 1; 2; 3; 2+3i; 3; …}

17. Conjuntos numéricos fundamentales
CR
QZ
N
I

18. Operaciones con Conjuntos
• a) UNIÓN DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B,
denotada por A  B, es el conjunto que contiene aquellos elementos
que están en A o bien en B, o en ambos.
A  B = {x | x A  x B}
A BA B

19. Operaciones con Conjuntos
EJEMPLO DE UNIÓN DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3; 4}
A  B = {1; 2; 3; 4; 5}
.3
.1
.5 .4
.2
U

20. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS:
Operaciones con Conjuntos
• 1) A  A = A
• 2) A  B = B  A
• 3) A  Φ = A
• 4) A  U = U
• 5) (A  B)  C = A  (B  C)
• Si A  B = Φ entonces A = Φ B = Φ

21. Operaciones con Conjuntos
• b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
• Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B,
denotada por A ∩ B, es el conjunto que contiene aquellos elementos
que están tanto en A como en B.
A ∩ B = {x | xA  xB}
A BA B

22. EJEMPLO DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4}
Operaciones con Conjuntos
.3
.1
.5
.4
.2
U
.7
A  B = {1; 3}

23. Operaciones con Conjuntos
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS:
• 1) A  A = A
• 2) A  B = B  A
• 3) A  Φ = Φ
• 4) A  U = A
• 5) (A  B)  C = A  (B  C)
• 6) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

24. Operaciones con Conjuntos
• c) DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B,
denotada por A – B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que
están en A pero no en B. La diferencia de A – B se llama también el
complementario de B respecto a A.
A – B = {x | xA  xB}
A B
U

25. Operaciones con Conjuntos
EJEMPLO DE DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}
A B
U
A - B = {5}
.5
.3
.1
.2
A B
U
B - A = {2}
.5
.3
.1
.2

26. Operaciones con Conjuntos
• d) DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica de los conjuntos
A y B, denotada por A  B, es el conjunto que contiene aquellos
elementos que están en A o que están en B, pero no en ambos. Es lo
opuesto a la intersección.
A  B = {x | xA  xB}
A B

27. EJEMPLO DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}
Operaciones con Conjuntos
.5
.2
.3
.1
U
A  B = {2; 5}
A B

28. Operaciones con Conjuntos
• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:
Sean U el conjunto universal. El conjunto complementario de
A, denotado por A’ se define como los elementos que faltan a A para ser
igual a U.
_ _
A = U – A A = {x | xA}
Un elemento pertenece al complemento de A, si y solo si  A.

29. Operaciones con Conjuntos
U
AComplemento
de A.
_
A
• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:

30. EJEMPLO DE CONJUNTO COMPLEMENTARIO
A = {a, e, i, o, u} y U = abecedario
B = {enteros positivos mayores que 10}
__
A = {todas las letras excepto las vocales}
__
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Operaciones con Conjuntos

31. Operaciones con Conjuntos
• d) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:
La n-tupla ordenada (a1, a2,….., an) es la colección
ordenada en la que a1 es su primer elemento, a2 el segundo y an el
elemento n-esimo. Las 2-tuplas, se conocen como pares ordenados.
Ejemplo: (a, b) y (c, d).
Sean A y B conjuntos, el Producto cartesiano de A y B se
denota por AxB y se define como el conjunto de todos los pares
ordenados (a, b) donde aA y bB. Por tanto:
AxB = {(a, b) | aA  bB}
Nota: Se puede comprobar que AxB ≠ BxA, es decir no es conmutativo.

32. EJEMPLO DE PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A y B
A = todos los estudiantes de la universidad
B = asignaturas ofertadas
Entonces AxB = todas las posibles matriculaciones de los
estudiantes de la universidad.
Ejemplo: sean A = {1; 2} y B = {a; b; c}
Entonces AxB = {(1; a); (1; b); (1; c); (2; a); (2; b); (2; c)}
Operaciones con Conjuntos

33. Identidades entre Conjuntos
IDENTIDAD NOMBRE
A U ø = A
A ∩ U = A Leyes de Identidad
A U U = U
A ∩ ø = ø Leyes de Dominación
A U A = A
A ∩ A = A Leyes Idempotentes
__
__
(A) = A
Ley de Complementación
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A Leyes Conmutativas
A U (B U C) = (A U B) U C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Leyes Asociativas
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) Leyes Distributivas
_____ _ _
A U B = B ∩ A
_____ _ _
A ∩ B = B U A
Leyes de Morgan
A U (A ∩ B) = A
A ∩ (A U B) = A Leyes de Absorción
_
A U A = U
_
A ∩ A = ø
Leyes de Complemento

34. Identidades entre Conjuntos
EJEMPLO DE IDENTIDADES ENTRE CONJUNTOS
_________ _ _ _
Demostrar que A U (B U C) = (C ∩ B) ∩ A
_________ _ _____
A U (B U C) = A ∩ (B ∩ C) 1era Ley de Morgan
_ _ _
= A ∩ (B U C) 2da Ley de Morgan
_ _ _
= (B U C) ∩ A Conmutativa Intersección
_ _ _
= (C U B) ∩ A Conmutativa Unión

35. Representación de Conjuntos en un
Computador
Se tiene un conjunto U, donde A  U y A = {a1,
a2,…….an} , el conjunto se representa a través de una cadena
de bits de longitud “n” en donde el bit i-esimo es 1 si aA y el
bit i-esimo es 0 si aA.
Los bits (sistema binario) tienen 2 posibles estados, 0 y
1, las cadenas se agrupan en grupos de 4 bits para mayor
flexibilidad en el manejo de la información.

36. Ejemplo:
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Representar en cadenas de bits los siguientes subconjuntos:
A = Subconjunto de los impares de U. A = 10 1010 1010
B = Subconjunto de los pares de U. B = 01 0101 0101
C = Subconjunto de los enteros menores a 5 C = 11 1110 0000
_
El complemento de A A = 01 0101 0101
Representación de Conjuntos en un
Computador

37. Las operaciones Unión e Intersección se hacen a
través de operaciones tipo Bit, es decir las cadenas se
operan bit a bit para obtener el resultado de la unión o
intersección de conjuntos.
0 U 0 = 0
0 U 1 = 1
1 U 1 = 1
0 ∩ 0 = 0
0 ∩ 1 = 0
1 ∩ 1 = 1
Representación de Conjuntos en un
Computador