Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogeneos y No Homogeneos

1. Homogéneas y No Homogéneas

2.  Los sistemas de ecuaciones lineales
homogéneas son aquellas ecuaciones lineales
que tienen constantes iguales a cero. En
estos se requiere demostrar que la solución
general se puede escribir como una
combinación lineal de n − r vectores, donde
n es el número de las incógnitas y r es el
número de los renglones no nulos en la forma
escalonada

3.  Es necesario conocer la eliminación de
Gauss-Jordan, matrices escalonadas
reducidas, o pseudo-escalonadas reducidas,
construcción de la solución general de un
sistema de ecuaciones lineales.
 Una de sus aplicaciones es obtener el núcleo
de una transformación lineal.

4.  DEFINICIÓN: Un sistema de ecuaciones
lineales homogéneas es un sistema de la
forma Ax = 0, esto es, con columna de
constantes nula.

5.  OBSERVACIONES: Todo sistema de
ecuaciones lineales homogéneas es
compatible, porque el vector cero es una de
sus soluciones, llamada solución trivial. Para
un sistema de ecuaciones lineales hay dos
casos posibles:
 Puede ser compatible determinado, esto es,
tener solamente una solución (la trivial);
 Puede ser compatible indeterminado, esto es,
tener por lo menos una solución no trivial.
 En cada ejemplo hay que determinar cuál
situación tiene caso y describir el conjunto
de todas las soluciones

6.  Compatible indeterminado

7.  Compatible Determinado

8.  Recordemos que un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
 Es no homogéneo cuando bi≠0 para algún i. A
diferencia de los sistemas homogéneos, los no
homogéneos pueden ser incompatibles y las
técnicas que conocemos las aplicaremos para
saber si una solución existe. A menos que se diga
lo contrario, suponemos que los sistemas de esta
sección son compatibles.

9.  Para describir el conjunto de todas las
posibles soluciones de un sistema no
homogéneo compatible, vamos a construir
una solución general de la misma forma que
hicimos para los homogéneos.

10.  Usaremos eliminación Gaussiana para reducir
la matriz ampliada [A|b] a una forma
escalonada por filas [E|c].
 Identificaremos las variables básicas y las
libres.
 Aplicaremos sustitución hacia atrás a [E|c] y
resolveremos las variables básicas en función
de las libres.

11.  Escribiremos el resultado en la forma

12.  Como las variables libres xfi recorren todos
los posibles valores, la solución general
genera todas las posibles soluciones del
sistema [A|b]. Como en el caso homogéneo,
podemos reducir completamente [A|b] a
E[A|b] mediante Gauss-Jordan, y evitamos la
sustitución hacia atrás

13.  Ejemplo: Considere el siguiente sistema No
Homogéneo

14.  La solución general se sigue escribiendo estas
ecuaciones en la forma