1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educacion Superior
Universidad Territorial Politecnica Andres Eloy Blanco
Barquisimeto Estado Lara
Operaciones
Integrante
Carlos Perozo
C.I.26398041
2. Introducción
En el presente trabajo abordamos algunas operaciones matematicas como las q
son los cojuntos de números reales desigualdades ditancia punto medio, entre
otras, actividades del cual son fundamentales en la vida cotidiana
3. Definición de conjuntos
Los conjuntos de números reales son aquellos que se forman cuando hacemos una
combinación de números racionales y números irracionales como también
podemos decir de la combiancion de números naturales y números enteros.
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice
que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido
de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de
ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar
el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.
Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes,
miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo,
verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es
infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede
realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado,
son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el
resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su
estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de
conjuntos
. Operaciones con conjuntos
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con
diversas excepciones importantes:
No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números
negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números
complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
4. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso
multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la
base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.11
Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como
el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de
una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en
los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos
valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par,
por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analíti
Números reales
En matematicas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye
tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros
con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como
√5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo
XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base
rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan
exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como
«pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie
de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una
base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y
rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una
sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales
actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números
racionales y cortaduras de Dedekind.
Desigualdad
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es
una igualdad).
5. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede
ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno
es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura
está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
Ejercicio n.1
.
.
6. .
.
–
C.S = X ∈ (-∞, -1/3)
Definición de Valor Absoluto.
En matemáticas, el valor absoluto o módulo1 de un número real denotado por es el
valor no negativo de sin importar el signo, sea este positivo o negativo Así,3 es el
valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto un número
real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Función Valor Absoluto
La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números
reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por:que se
expresa:
La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:
Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y
nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar
la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en
matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa
la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su
función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores
constantes.
7. La función y = x|x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua,
su gráfica se obtiene de la gráfica de la parábola y=x2, reflejando la rama
izquierda respecto al eje Ox.
Programación del valor absoluto
En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el
valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de
programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números
enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son
válidas las funciones labs(), llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl().
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:
int abs (int i)
{
if (i < 0)
return -i;
else
return i;
}
Sin embargo, al tratar con coma flotantes la codificación se complica, pues se debe
lidiar con la infinitud y valores NaN.[
Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número
utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en
una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa,
entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto,
dejando eax sin cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte
en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una
inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo .
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | <4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
8. Así, x > -4 Y x <4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente debemos conocer
las coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos puntos cualquieras para luego,
a partir de estos generar un criterio para cualquiera sea el par de puntos a los que
posteriormente calculemos la distancia.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al primer cuadrante
del plano cartesiano. Calcular la distancia entre ambos.
Para generar este calculo, deberemos ubicar los puntos en el plano cartesiano de
manera que al generar el segmento que subtienden los puntos, este no sea paralelo
a ningún eje coordenado. Una vez que se ubican los puntos, se debe ubicar un
tercer punto referencial al que llamaremos C, que tendrá coordenadas C=(w,y) de
manera de este punto genere un triángulo rectángulo y siendo precisamente el
vértice del ángulo recto. Quedando precisamente un gráfico como el que veremos
a continuación.
9. La idea de formar un triángulo rectángulo es que a partir de éste se puede utilizar el
teorema de Pitágoras para calcular la distancia de su hipotenusa, que es el
segmento particular que interesa. Podemos calcular la distancia de los catetos
del triángulo rectángulo para así poder saber la distancia de la hipotenusa que
representa la distancia entre el punto A y el punto B.
La distancia de los catetos AC será (w-x) y la del cateto BC será (z-y), por lo tanto,
por teorema de Pitágoras definimos lo siguiente.
Por lo tanto el valor de la distancia AB será:
Ejemplo:
Calcular la distancia entre los puntos R=(5,6) y T=(2,2)
Punto medio
Para encontrar el punto medio del segmento utilizaremos los mismos puntos de la
demostración anterior. Entonces, calcularemos el punto medio del segmento
AB. Para eso utilizaremos el concepto de promedio, para calcular la distancia
10. intermedia entre dos longitudes debemos calcular el promedio de estas. Si
queremos saber cual es la distancia promedio entre 5 y 7, sumamos las variables y
dividimos por 2, el resultado claramente es 6. Entonces ahora para calcular una
distancia media entre dos puntos se deberá ocupar el mismo concepto. Se debe
analizar por separado cada eje coordenado y así se poder encontrar el punto medio,
según los puntos encontrados para cada eje coordenado.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al primer cuadrante
del plano cartesiano. Calcular el punto medio del segmento AB.
Calculamos la distancia media en ambos ejes coordenados, primero en el eje «x» y
luego en el eje «y».
En el eje «x» el promedio de las longitudes será
En tanto, el promedio en el eje y será
Finalmente el punto medio es:
Ejemplo:
Calcular el punto medio entre el punto(5,5) y el punto (9,3).
En el eje x el promedio de las longitudes será
En tanto, el promedio en el eje y será
Por lo tanto, el punto medio es:
Para calcular la distancia entre puntos y el punto medio es importante recordar cómo
llegar a la fórmula general, eso permitirá consistencia y mayor fijación del contenido
a la hora de estudiar.
11. Ejercicio N. 1
Encuentra todos los puntos que pertenecen a la línea horizontal y=2, tales que se
encuentran a una distancia de 8 unidades del punto (-3, 7).
Solución
Hagamos un bosquejo de la situación planteada. Dibujemos segmentos de recta
desde el punto (-3, 7) hasta la línea y=2. De acuerdo con la gráfica, sea k el valor
desconocido de la coordenada x que buscamos. Utilicemos la fórmula de la
distancia.
8=(−3−k)2+(7−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√
Ahora resolvamos dicha ecuación:
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la Ecuaci'{o}n Por tanto.'{o}Aplicando
la f'{o}rmula cuadr'{a}tica.Por
tanto. 6400kk=(−3−k)2+25=9+6k+k2−39=k2+6k−30=−6±36+120−−−−−−−√2=−6±1
56−−−√2≈3.24 '{o} k≈−9.24
Respuesta Los puntos son (-9.24, 2) y (3.24, 2)
Encontrar el Punto Medio de un Segmento de Recta
Representación gráfica de la circunferencia, parábola, elipse y la hipérbola
12. :
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
de otro punto fijo y coplanario llamado centro.
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El
segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor
distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud
del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee
longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos
contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el
perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos
semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular
al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados,
cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina
circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy
numerosas.
Parábola:
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto
con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico
de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto
fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva
envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad
semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las
gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal
del movimiento de los cuerpos bajo.
Elipse
