Este documento explica los pasos para dividir un polinomio entre un binomio utilizando la división sintética y la regla de Ruffini. Primero se describen los 6 pasos de la división sintética, luego se muestran 2 ejemplos resueltos. Luego se explican los pasos de la regla de Ruffini y se da un ejemplo. Finalmente, se explica el teorema del residuo, el cual establece que el residuo de dividir un polinomio entre un binomio es igual al valor de la función en ese punto.

1. Trabajo de Matemáticas
Presentado Por:
Elián Bossio Simancas
Lourdes Wilches Delgado
(PROFESORA)
INSTITUCION EDUCATIVA CATALINA HERRERA
Fecha: 30/07/2014
Curso: 82
Arjona-Bolívar

2. División Sintética
La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la
forma x-c y su aplicación principal es para determinar los ceros de un
polinomio. Considere un polinomio de grado n de la forma:
P(x)= an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a2 x2 + a1 x+ a0
Para aplicar la división sintética se sugiere seguir los siguientes pasos y :
1. Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes
del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la
extrema izquierda el valor de c.
coeficientes del dividendo
c an an-1 an-2 … a a1 a0
2. Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
c an an-1 an-2 … a a1 a0
↓
an
3. Multiplique c por el coeficiente principal an .
c an an-1 an-2 … a a1 a0
↓ ↗ can
an

3. 4. Sume los elementos de la segunda columna.
c an an-1 an-2 … a a1 a0
↓ ↗ can
an can + an-1
5. Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante a0 .
c an an-1 an-2 … a1 a0
↓ ↗ can ↗ cbn-2 … ↗ cb1 ↗ cb0
bn-1 = an bn-2 = can + an-1 bn-3 = cbn-2 + an-2 … b0 = cb1 + a1 a0 + cb0
6. Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo. Como el dividendo es
de grado n y el divisor es de grado 1, el cociente es de grado n-1 y sus
coeficientes son bn-1 , bn-1 ,…, b1 , b0 y el residuo es a0 + cb0 y se
obtiene:
El cociente: q(x)= bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 +…+ b1 x+ b0
El residuo: r= a0 + cb0
Nota: Si r=0, entonces c es un cero del polinomio, es decir, P(c)=0, o x-c es un
factor del polinomio.

4. Ejemplos:
1. Dividir 8 x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6 por x+1
Solución
Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el
valor de c=-1.
-1 8 3 -2 0 4 -6
Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
-1 8 3 -2 0 4 -6
↓
8
Paso 3 Multiplique -1 por el coeficiente principal 8.
-1 8 3 -2 0 4 -6
↓ ↗ -8
8
Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.
-1 8 3 -2 0 4 -6
↓ ↗ -8
8 -5
Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante -6.
-1 8 3 -2 0 4 -6
↓ ↗ -8 ↗ 5 ↗ -3 ↗ 3 ↗ -7
8 -5 3 -3 7 -13

5. Paso 6 Escriba el cociente y resto
Cociente: q(x)=8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7
Residuo: r=-13
Por el algoritmo de la división se tiene:
P(x)=8 x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6=(8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7)(x+1)-13
2. Dividir 2 x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18 por x-3
Solución
Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el
valor de c=3.
3 2 -9 11 -6 -6 18
Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
3 2 -9 11 -6 -6
1
8
↓
2
Paso 3 Multiplique 3 por el coeficiente principal 2.
3 2 -9 11 -6 -6 18
↓ ↗ 6
2

6. Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.
3 2 -9 11 -6 -6 18
↓ ↗ 6
2 -3
Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante 18.
3 2 -9 11 -6 -6 18
↓ ↗ 6 ↗ -9 ↗ 6 ↗ 0 ↗ -18
2 -3 2 0 -6 0
Paso 6 Escriba el cociente y resto
Cociente: q(x)=2 x4 -3 x3 +2 x2 -6
Residuo: r=0
Por el algoritmo de la división se tiene:
P(x)=2 x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18=(2 x4 -3 x3 +2 x2 -6)(x-3)
En este caso como el residuo es 0, entonces c=3 es un cero del polinomio y x-3 es
un factor.

7. Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a
tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)
1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los
términos que faltan con ceros.
2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término
independendiente del divisor.
4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos
debajo del siguiente término.
6. Sumamos los dos coeficientes.

8. 7. Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8. El último número obtenido, 56 , es el resto.
9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al
dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(X5 − 32) : (x − 2)

9. El Teorema del residuo
Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo.
Considere la función polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6. Divida el polinomio entre el
binomio x - 2.
Podemos realizar la división en cualquier método.
Método 1: División larga
.
El residuo es -6.
Método 2: División sintética
El residuo es -6.
Ahora compare el residuo de -6 en f (2).
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio
es dividido entre el binomio x - 2. Esto ilustra el teorema del residuo.
Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a , el residuo es la constante f ( a ),
y , donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que
el grado de f ( x ).
En otras palabras, el dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo.
La división sintética es un proceso más sencillo para dividir un polinomio entre un
binomio. Cuando es utilizada la división sintética para evaluar una función, es
llamada la sustitución sintética.