INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCION A LA
PROBABILIDAD
RESPONSABLE:
PROF. CARLOS MIGUEL SANTA CRUZ VERA
AÑO LECTIVO 2020

INDICE
1. PROBABILIDADES 5
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. 5
1.2 ENFOQUES BÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES. 10
1.3 CÁLCULO DEL VALOR DE UNA PROBABILIDAD. 11
1.4 AXIOMAS BÁSICOS DE PROBABILIDAD. 16
1.5 PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA, Y SU RELACIÓN. 17
1.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL. 19
1.7 REGLAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DENTRO DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 19
1.8 TEOREMA DE BAYES. 20
2. EJERCICIOS RESUELTOS. 21
1.9 COMERCIO Y VENTAS: ENFOQUE FRECUENTISTA DE PROBABILIDADES. 21
SOLUCIÓN 21
ANÁLISIS DE CARACTERÍSTICAS DEL PERSONAL POR SEXO Y PARTIDO POLÍTICO. 25
1.11 ADMINISTRACIÓN Y PLANEACIÓN. 27
1.12 DESEMPEÑO LABORAL Y ATENCIÓN AL CLIENTE: EMPRESA DE SERVICIOS. 29
3. EJERCICIOS PROPUESTOS. 31
1.13 DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO, SEGÚN LA TENENCIA DE VIVIENDA Y CARRO
PROPIOS. 31
1.14 ESTUDIANTES DE GRADO ONCE CON DESEOS DE INGRESAR A LA UNIVERSIDAD. 31
1.15 PROPIETARIOS DE ACCIONES Y BONOS EN UNA CORPORACIÓN FINANCIERA. 32
MEDICIÓN DE LA EFICACIA DE UN PROCEDIMIENTO ADUANERO PARA DETECTAR SUSTANCIAS ALUCINÓGENAS. 32
1.16 ALMACENES DISTRIBUIDORES DE ELECTRODOMÉSTICOS. 33
1.17 9POBLACIÓN ADULTA CLASIFICADA SEGÚN LECTORES DE PRENSA Y VOTANTES EN ELECCIONES. 33
1.18 TRANSPORTE DE MERCANCÍA: EMBARQUE DE CAJAS CON JUGUETES Y ROPA PARA BEBÉ. 34
1.19 SOLICITUDES DE AFILIACIÓN A UNA ORGANIZACIÓN PARA ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS. 34
1.20 COMERCIANTES Y DISTRIBUIDORES DE AMPLIFICADORES DE SONIDO, BOTIQUINES Y COSMÉTICOS. 34
1.21 35
1.22 FIRMA MANUFACTURERA Y CALIDAD DEL AS PIEZAS SUMINISTRADAS POR LOS PROVEEDORES. 35
1.23 ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN SUPERIOR CON TELÉFONO CELULAR, BEEPER Y FIJO INALÁMBRICO. 35
CONTROL DE CALIDAD EN UNA EMPRESA MANUFACTURERA. 36
1.24 AMAS DE CASA CONSUMIDORAS DE DETERGENTES PARA EL ASEO DEL HOGAR. 36
1.25 DISTRIBUCIÓN DE VUELOS EN UNA AEROLÍNEA. 37

1.26 ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS CON BECAS Y VINCULACIÓN LABORAL DE MEDIO TIEMPO. 37
1.27 EVALUACIÓN DE UN PRODUCTO POR PARTE DE LOS CONSUMIDORES, Y GRADO DE ACEPTACIÓN DEL MISMO EN EL
MERCADO. 38
1.28 PRODUCCIÓN DE MUEBLES MODULARES Y CONTROL DE CALIDAD EN EL ENSAMBLAJE. 38
1.29 PRODUCCIÓN Y COMERCIALIZACIÓN DE MALETINES ESCOLARES. 39
1.30 MERCADEO Y LANZAMIENTO DE UN NUEVO PRODUCTO. 40
1.31 PERFIL DE CLIENTES DE UN RECONOCIDO RESTAURANTE. 40
1.32 SECRETARÍA DE DESARROLLO COMUNITARIO Y PROYECTO PARA JÓVENES. 41
1.33 DISTRIBUCIÓN Y COMERCIALIZACIÓN DE TELÉFONOS. 41
4. ENLACE A VIDEOS 42

1. Probabilidades
1.1 Conceptos básicos.
La probabilidad. Es una medida estadística que se emplea para expresar el grado de certeza de
la ocurrencia de un evento o suceso.
Experimento. Cualquier proceso que genere una serie de datos; en cada realización presenta un
resultado.
Espacio muestral. Conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se denota por Ω.
Punto muestral. Es cada uno de los elementos del espacio muestral.
Suceso o evento. Subconjunto del espacio muestral. Se denota con las letras mayúsculas del
alfabeto A, B, C,... Es cualquier conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio. El
suceso imposible se denota por el conjunto vacío, φ, y el suceso posible se denota por el conjunto
de todos los posibles resultados, Ω.
Sucesos o eventos contrarios. Son aquellos sucesos (conjuntos) que no tienen elementos
comunes, y además, la unión de ellos conforma el conjunto de todos los posibles resultados Ω.
Los eventos φ y Ω son eventos contrarios.
El suceso contrario del evento A se denota con alguno de los tres símbolos siguientes: A', A*,
Ac
; y así sucesivamente, para cualquier evento identificado con otra letra del alfabeto.
Los sucesos B y B' son eventos contrarios.
En los eventos contrarios se cumple que la intersección entre ellos arroja el conjunto vacío, φ, y
la unión da como resultado el conjunto Ω. Gráficamente, se tiene:

Ilustración Sucesos o eventos contrarios
Sucesos o eventos incompatibles. Son aquellos eventos que, sin ser necesariamente contrarios,
no presentan elementos en común, es decir, son eventos que no se pueden presentar
simultáneamente, también conocidos como mutuamente excluyentes o exhaustivos.
Gráficamente:
Ilustración 1 Sucesos o eventos incompatibles
Número de elementos de un evento. La nomenclatura utilizada para identificar el número de
elementos del evento A es n(A), para el evento B es n(B), y así sucesivamente.
A
A'
Ω
No siempre ocurre que
A⋃ B = Ω porque
pueden existir
elementos
pertenecientes a Ω y
que se encuentren por
fuera de A o de B.
A
Ω
B

Unión de eventos. Se da como se explica en la figura a continuación:
Ilustración 2. Unión de eventos incompatibles
Ilustración 3 Unión de eventos compatibles
Eventos incompatibles:
n(A ⋃ B =) n(A) + n(B)
Se lee: número de
elementos de A unión B
es igual al número de
elementos de A más del
número de elementos
deB
BA
Eventos compatibles:
n(A ⋃ B =) n(A +) n(B) - n(A ∩ B)
Se lee: número de elementos de A
unión B es igual al número de
elementos de A más el número de
elementos de B, menos el número
de elementos de A intersección B
BA

Ilustración 4 Unión de tres eventos compatibles
Intersección de eventos. Se presenta cuando los eventos son compatibles, pudiéndose presentar
simultáneamente.
Ilustración 5 Intersección de eventos: A y B
Ilustración 6. Intersección de eventos: A, B y C
Uniónde tres eventos compatibles:
n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C)
xxxxxxxxxxx- n(A∩B ) - n(A⋂C) -n(B⋂C)
xxxxxxxxxx+ n(A⋂B⋂C)
Se lee: número de elementos deA uniónB uniónC
es igual a número de elementos deA, más número
de elementos deB, más número de elementos deC,
menos número de elementos deA intersección B,
menos número de elementos deA intersección C,
menos número de elementos deB intersección C,
más número de elementos deA intersección B
intersección C
BA
C
Númerode elementos de A y B:
Los eventos A yB se presentan
simultáneamente; son eventos
compatibles.
n(A ∩ B)
BA
Númerode elementos de A, B y C:
Número de elementos de los tres
eventos, simultáneamente.
n(A ∩ B ⋂ C)
BA
C

Ilustración 8 Otras intersecciones entre A, B y C
Complemento de la unión de eventos. Son todos aquellos elementos que pertenecen al conjunto
Ω pero que no están incluidos dentro de la unión; es lo que le falta a la unión para ser igual a Ω.
Ω
Númerode
Ilustrelementos de B y C:
n(B ⋂ C)
Ω
BA
C
Númerode elementos de
sóloA:
Número de elementos de
A, y no elementos de B o C
n(A⋂B' ⋂ C')
BA
C
Númerode elementos
desóloB y C:
n(A'⋂ B ⋂ C)
Ω
BA
C
Númerode elementos de C:
n(C)
Ω
BA
C

Ilustración 9 Complemento de la unión de eventos
.
Ilustración 10 Leyes de Morgan
1.2 Enfoques básicos de las probabilidades.
Existen tres formas básicas de visualizar o analizar las probabilidades, éstas son:
Enfoque frecuentista. Se basa en las frecuencias relativas para su análisis. Recordar:
Es la proporción de veces que ocurre un suceso o evento, siendo fi el número de veces
que se repite el suceso, y n, el total de casos posibles.
Complemento de la unión de eventos:
En este caso, no hay elementos de A
ni deB ni de C.
n(A'⋂B'⋂C') =n(A⋃B⋃C)'
C
A B
n(A ⋃B)' =n(A' ⋂ B')
A B
n(A ⋂B)' =n(A' ⋃ B')
A B

Enfoque clásico. Es la relación o proporción entre el número de casos favorables para el evento
A y el total de casos posibles, donde:
n(A) = número de casos favorables para el evento A n(Ω) =
número total de casos posibles.
P(A) = probabilidad de que ocurra el evento A
Fórmula (36)
Enfoque subjetivo. Es el que se basa en la experiencia o conocimiento que tenga el investigador
(persona) sobre el evento o suceso.
1.3 Cálculo del valor de una probabilidad.
Para calcular el valor de una probabilidad bajo el enfoque clásico es indispensable calcular el
número de elementos de cada evento en particular, n(A), n(B), n(C),... y el número total de casos
posibles, n(Ω). Por ejemplo:
• Si se tienen dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurran A y B, es decir, la
probabilidad de que ocurran simultáneamente A y B, se calcula así:
Fórmula (37)
Con ayuda de la teoría de conjuntos, se visualiza de la siguiente manera:

Ilustración 11 Probabilidad de (A
• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que ocurran A y B se
representa:
Ilustración 12 Probabilidad de (A cuando existen A, B y C
• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que ocurran sólo A y B está
representada por:
BA
P(Ay B) = P(A ⋂B)
( ⋂ ) =
( ⋂ )
( )
BA
C

Ilustración 13 Probabilidad de (A B C')
• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que ocurra A o B está dada
gráficamente por:
Ilustración 15 Probabilidad de (A U B), con A, B y C
P(sólo Ay B) =P(A ⋂ B ⋂C')
BA
( ⋂ ⋂ ′) =
( ⋂ ⋂ ′)
( )
C
P(A oB) =P(A ⋃ B)
BA
( ⋃ ) =
( ⋃ )
( )
CIl
ustr

• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que ocurra C es:
Ilustración 16 Probabilidad de (C), con A, B y C
• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que ocurra sólo C es:
Ilustración 17 Probabilidad de (A' B' C)
BA
( ) =
( )
( )
C
P(sóloC) = P(A' ⋂ B' ⋂C)
( ′⋂ ′⋂ ) =
( ′⋂ ′⋂ )
( )
BA
C

• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que se presenten
simultáneamente los tres eventos es:
Ilustración 18 Figura 41. Probabilidad de (A B
• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que no se presente ninguno
de los tres eventos es:
Ilustración 19 Figura 42. Probabilidad de (A' B' C')
P A( yB yC) = P(A ⋂ B ⋂ C)
BA
( ⋂ ⋂ ) =
( ⋂ ⋂ )
( )
C
P ninguno)( =P (A'⋂B' ⋂C') =P (A'⋂ B' ⋂ C')
Ω
( ′⋂ ′⋂ ′) =
( ′⋂ ′⋂ ′)
( )
C
BA

• Si se tienen tres eventos A, B y C, la probabilidad de que se presente A o B o C
es:
Ilustración 20 Probabilidad de (A U B U C)
Axioma = Proposición o enunciado tan evidente que se considera que no requiere demostración.
1.4 Axiomas básicos de probabilidad.
• La probabilidad siempre es un valor positivo: P(A) ≥ 0
• La probabilidad del suceso posible o seguro Ω, es 1: P(Ω) = 1
• La probabilidad del suceso imposible φ, es igual a cero: P(φ) = 0
• La probabilidad de un evento siempre es un valor entre cero y uno: 0 ≤ P(A) ≤ 1
• La probabilidad de que ocurra el evento A o B es P(A U B) = P(A) + P(B), para
eventos incompatibles; y P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B), para eventos incompatibles.
P(A oB oC) = P(A⋃B ⋃C)
( ⋃ ⋃ ) =
( ⋃ ⋃ )
( )
C
BA

• La probabilidad de la unión de eventos contrarios, A o A', es igual a la
probabilidad del evento seguro:
P(A U A') = P(Ω)
P(A U A') = 1
P(A) + P(A') = 1
P(A) = 1 - P(A')
1.5 Probabilidad simple y conjunta, y su relación.
Probabilidad simple. Se conoce también como probabilidad marginal. Hace referencia a la
probabilidad de ocurrencia de un solo evento descrito por una sola característica: P(A).
Probabilidad conjunta. Hace referencia a la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos
(características) simultáneamente: P(A B).
Relación entre probabilidad marginal y conjunta. La probabilidad marginal puede ser
expresada como la sumatoria de probabilidades conjuntas. Las probabilidades marginales y
conjuntas se ubican en una tabla de doble entrada, e incluso también es recomendable elaborar
una tabla preliminar con el número de elementos incluidos en cada uno de los eventos conjuntos
y marginales, que sirva de base para el cálculo de las respectivas probabilidades.

En la tabla se visualizan probabilidades marginales y conjuntas, así:
• Probabilidades marginales:
P(A1), P(A2), P(A3), …, P(Aj)
P(B1), P(B2), P(B3), …, P(Bj)
• Probabilidades conjuntas:
P(A1 B1), P(A1 B2), P(A1 B3), …, P(A1 Bi)
P(A2 B1), P(A2 B2), P(A2 B3), …, P(A2 Bi), P(Aj Bi)
Nota: La intersección de eventos es conmutativa, es lo mismo escribir P(Aj Bi) que P(Bi
Aj)
• La probabilidad marginal es la sumatoria de probabilidades conjuntas:
Eventos A1 A2 A3 … Aj Total
B1 P(A1 B1) P(A2 B1) P(A3 B1) … … P(B1)
B2 P(A1 B2) P(A2 B2) P(A3 B2) … … P(B2)
B3 P(A1 B3) P(A2 B3) P(A3 B3) … … P(B3)
… … … … … … …
Bi … … … … P(Aj Bj) P(Bi)
Total P(A1) P(A2) P(A3) … P(Aj) P(Ω) = 1

Y así sucesivamente para P(A3), …, P(Aj).
Y así sucesivamente para P(B3), …, P(Bi).
1.6 Probabilidad condicional.
Es utilizada cuando se calcula la probabilidad de un evento A particular, teniendo información
previa en cuanto a la ocurrencia de otro evento B. La probabilidad del evento A está condicionada
o influenciada por la ocurrencia del evento B. Se escribe P(A/B), y se lee: probabilidad de A
dado que se conoce B, o simplemente, probabilidad de A dado B.
Fórmula (38)
Siendo P(B) > 0
Nota: Cuando los eventos son independientes, la P(A/B) = P(A) y la P(B/A) = P(B). En estos
casos se dice que la probabilidad de ocurrencia del evento A no está relacionada con la
probabilidad de ocurrencia del evento B.
1.7 Reglas de la adición y la multiplicación dentro del cálculo de probabilidades.
Regla de la adición. Es utilizada para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el
evento B, denominada también regla de la unión. Se escribe P(A ⋃ B). Su cálculo se desarrolla
de la siguiente manera, dependiendo si se trata de eventos incompatibles (mutuamente
excluyentes) o de eventos compatibles (no mutuamente excluyentes):

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) Para eventos incompatibles.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B) Para eventos compatibles.
Regla de la multiplicación. Es utilizada para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A
y el evento B. Se escribe P(A ⋂ B). Para su cálculo es necesario identificar si se trata de eventos
dependientes o independientes.
P(A ⋂ B) = P(A/B)P(B) Para eventos dependientes.
P(A ⋂ B) = P(B/A)P(A) Para eventos independientes.
1.8 Teorema de Bayes.
Es una técnica estadística para calcular el valor de una probabilidad cuando intervienen en el
análisis, probabilidades condicionales y también un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes.
Fórmula (39)
Los eventos Ai son eventos mutuamente excluyentes o incompatibles (no pueden ocurrir
simultáneamente), sin embargo, cada Ai es compatible con B. La sumatoria de la probabilidad
de ocurrencia de cada evento Ai es igual a 1, debido a que se trata de eventos mutuamente
excluyentes:

2. Ejercicios resueltos.
1.9 Comercio y ventas: Enfoque frecuentista de probabilidades.
De un grupo de 108 comerciantes:
• 53 venden amplificadores de sonido
• 46 venden botiquines para baños
• 78 venden cosméticos
• 23 venden amplificadores y botiquines
• 35, amplificadores y cosméticos
• 15 venden los tres productos anteriores
• 7 no venden ninguno de los tres productos anteriores.
Si se selecciona aleatoriamente un comerciante, cuál es la probabilidad de:
a) Que venda únicamente amplificadores.
b) Que venda únicamente botiquines y cosméticos.
c) Que venda amplificadores o botiquines o cosméticos.
d) Que venda los tres productos simultáneamente.
e) Que venda sólo cosméticos.
f) Que venda cosméticos.
Elaborar el diagrama de Venn, escribir el procedimiento de los cálculos con nomenclatura
estadística, efectuar operaciones e interpretar el resultado.
Solución
Los eventos de interés son:
• A = Vender amplificadores de sonido
• B = Vender botiquines para baños
• C = Vender cosméticos

La información suministrada en el enunciado es la siguiente:
• n(Ω) = 108
• n(A) = 53
• n(B) = 46 n(C) = 78 n(A B) = 23 n(B C) = ?
• n(A C) = 35
• n(A B C) = 15
• n(A' B' C') = 7
Para elaborar el diagrama de Venn es indispensable tener pleno conocimiento del total de
elementos en cada uno de los eventos y en cada una de las partes del diagrama con su respectiva
identificación. Después de conocer todos los datos, se comienza a llenar desde la parte más
interna hacia la más externa, es decir, desde la intersección de los tres eventos, y luego los
espacios donde se ubican las intersecciones de a dos eventos.
Como el n(Ω) = n(A B C) + n(A B C)', se puede calcular el número de elementos de la
unión de los tres eventos n(A B C).
Se aplica la fórmula para la unión de tres eventos, y de ésta, se despeja el valor de n(B C) =?,
posteriormente se procede a llenar el diagrama de Venn.
Diagrama de Venn

1. a)
La probabilidad de que venda únicamente amplificadores es de 0,0925. El grado de
certeza de que venda únicamente amplificadores es del 9,25%.
2. b)
La probabilidad de que venda únicamente botiquines y cosméticos es de 0,1667. El grado de
certeza de que sólo venda botiquines y cosméticos es del 16,67%.
3. c)
La probabilidad de que venda amplificadores o botiquines o cosméticos es de 0,9352. El grado
de certeza de que venda amplificadores o botiquines o cosméticos es del 93,52%.
4. d)
La probabilidad de que venda amplificadores y botiquines y cosméticos es de 0,1389. El grado
de certeza de que venda los tres productos simultáneamente es del 13,89%.
C
BA
10 8 5
15
20 18
25
7

5. e)
La probabilidad de que únicamente venda cosméticos es de 0,2315. El grado de certeza de que
venda sólo cosméticos es del 23,15%.
6. f)
La probabilidad de que venda cosméticos es de 0,7222. El grado de certeza de que venda
cosméticos es del 72,22%.
1.10 Producción-maquinaria
Una máquina está construida con cuatro componentes independientes, la máquina trabaja si cada
uno de los componentes trabaja bien. Se sabe que la probabilidad de que cada componente
funcione bien es de 0,98. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina trabaje bien?
Solución
Evento Ai = El componente i funciona bien.
con i = 1, 2, 3, 4.
La probabilidad de que la máquina funcione bien es de 0,92. El grado de certeza de que la
máquina funcione bien es del 92%.

Análisis de características del personal por sexo y partido político.
De un grupo de empleados de una compañía determinada, el 60% son mujeres y el 40%,
hombres. Se sabe que el 4% de los hombres no pertenecen a ningún partido político, y el 2% de
las mujeres tampoco pertenecen a ningún partido político.
Si se selecciona aleatoriamente un empleado y no pertenece a ningún partido político:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea hombre?
Solución
Se definen los eventos:
• H = Ser hombre
• M = Ser mujer
• N = No pertenecer a ningún partido político
• S = Pertenecer a algún partido político
Probabilidades dadas a conocer en el enunciado:
• Probabilidades marginales:
P(H)= 0,40 Probabilidad de ser hombre
P(M)= 0,60 Probabilidad de ser mujer
• Probabilidades conjuntas:
P(H N) = 0,04 Probabilidad de ser hombre y no pertenecer a ningún partido político.
P(M N) = 0,01 Probabilidad de ser mujer y no pertenecer a ningún partido político.
Se elabora un cuadro de doble entrada para organizar la información suministrada:

Partido
político
Género
Total
Hombre Mujer
No (N) 0,04 0,01 ?
Sí (S) ? ? ?
Total 0,40 0,6 1
Se calculan las probabilidades desconocidas en la tabla:
La tabla completa, con las respectivas probabilidades conjuntas y marginales, queda así:
a) P(M / N) = ? Probabilidad de que el empleado sea mujer dado que no pertenece a
ningún partido político.
Si se selecciona un empleado al azar, el grado de certeza que sea mujer dado que no pertenece
a ningún partido político es del 20%.
b) P(H / N) = ? Probabilidad de que el empleado sea hombre dado que no pertenece
a ningún partido político.

Si se selecciona un empleado al azar, el grado de certeza que sea hombre dado que no pertenece
a ningún partido político es del 80%.
1.11 Administración y planeación.
El Departamento de Tránsito y Transporte de un municipio determinado planea reforzar el
respeto a los límites de velocidad mediante la utilización de un sistema de radar, ubicándolos en
cuatro sitios diferentes de la ciudad.
Los sistemas L1, L2, L3 y L4 son puestos a funcionar el 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo,
respectivamente.
La probabilidad de que una persona lleve exceso de velocidad dado que fue detectada por cada
uno de los radares respectivamente es de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2.
¿Cuál es la probabilidad de que el tercer radar haya detectado a una persona dado que llevaba
exceso de velocidad?
Solución
Se tienen los siguientes sucesos o eventos:
• B = Que lleve exceso de velocidad.
• L1 = Que sea detectado por el radar 1.
La información suministrada es la siguiente:

• P(L1) = 0,40 Probabilidad de que sea detectado por el radar 1. Probabilidad de
que el radar 1 esté funcionando.
• P(B / L1) = 0,20 Probabilidad de que lleve exceso de velocidad dado que es
detectado por el radar 1.
• P(L3 / B) =? Probabilidad de que sea detectado por el radar 3 dado que llevaba
exceso de velocidad.
Interpretación: La probabilidad de que un conductor sea detectado por el radar 3 dado que
llevaba exceso de velocidad es de 0,37. El grado de certeza de que un conductor sea detectado
por el radar 3 dado que lleve exceso de velocidad es del 37%.

1.12 Desempeño laboral y atención al cliente: Empresa de servicios.
En el departamento de historia clínica de un hospital, tres empleados tienen la tarea de procesar
semanalmente los registros de los pacientes. El primer empleado procesa el 45% de los registros.
El segundo empleado procesa el 30% de los registros. El tercer empleado procesa el 25 % de los
registros. El primer empleado tiene una tasa de error en su trabajo del 3%. El segundo empleado
tiene una tasa de error en su trabajo del 5%. El tercer empleado tiene una tasa de error en su
trabajo del 2%.
Si se selecciona un registro al azar entre los que se procesan durante la semana y se encuentra
que tiene errores:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el registro haya sido procesado por el primer
empleado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el registro haya sido procesado por el segundo
empleado?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el registro haya sido procesado por el tercer
empleado?
Solución
Se identifican inicialmente los datos suministrados en el problema, asociándolo con los
respectivos eventos:
• P(E1) = 0,45 Probabilidad de que el empleado 1 procese el registro.
• Evento B = Que el registro presente error.
• P(B / E1) = 0,03 Probabilidad de que un registro presente error dado que fue
procesado por el empleado 1.

El problema plantea:
a) P(E1 / B) = ? Probabilidad de que el primer empleado procese el registro dado
que el registro presenta error.
b) P(E2 / B) = ? Probabilidad de que el segundo empleado procese el registro dado
que el registro presenta error.
c) P(E3 / B) = ? Probabilidad de que el tercer empleado procese el registro dado que
el registro presenta error.
Se aplica la fórmula definida en el teorema de Bayes: a)
Interpretación: Si se selecciona un registro al azar, el grado de certeza de que lo haya procesado
el primer empleado dado que presentó error, es del 40,29%.
b) Al aplicar la fórmula se obtiene:
el segundo empleado dado que presentó error, es del 44,77%.
c) Al aplicar la fórmula se obtiene:
el tercer empleado dado que presentó error, es del 14,92%.

3. Ejercicios propuestos.
1.13 Distribución porcentual de las familias de un barrio, según la tenencia de vivienda y
carro propios.
El 18% de las familias de un barrio tienen carro propio, el 20% tienen vivienda propia y el 12%
tienen vivienda y carro propio. Calcular:
a) Probabilidad de que posea sólo carro.
b) Probabilidad de que posea carro y vivienda.
c) Probabilidad de que posea vivienda.
d) Probabilidad de que posea sólo vivienda.
e) Probabilidad de que no posea ni carro ni vivienda.
1.14 Estudiantes de grado once con deseos de ingresar a la universidad.
De un grupo de 172 estudiantes de undécimo de determinado colegio: 110 se presentaron a
Esumer, 70 a la Universidad Central, 12 no se presentaron a ninguna de las dos instituciones de
educación anteriores. Al seleccionar aleatoriamente un estudiante, determine:
a) La probabilidad de que se haya presentado a Esumer.
b) La probabilidad de que se haya presentado sólo a Esumer.
c) La probabilidad de que se haya presentado a Esumer y a la Universidad Central.
d) La probabilidad de que no se haya presentado a ninguna de las dos instituciones
de educación anteriores.

1.15 Propietarios de acciones y bonos en una corporación financiera.
Una corporación del sector financiero está pensando en utilizar una lista de propietarios de
acciones y bonos para mercadear un nuevo servicio a través de publicaciones enviadas por
correo a los inversionistas. El 40% de los inversionistas financieros tienen sólo acciones. El 10%
de los inversionistas financieros tienen sólo bonos. El 20% de los inversionistas poseen ambos.
El 30% no tienen bonos ni acciones (poseen otro documento financiero).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un inversionista tenga sólo acciones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inversionista posea acciones y bonos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un inversionista posea acciones o bonos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que posea otro documento diferente a los dos
anteriores?
Medición de la eficacia de un procedimiento aduanero para detectar sustancias
alucinógenas.
Un procedimiento aduanero a través de un proyecto de la instalación de una planta bioelectrónica
analiza su eficacia en detectar el tráfico de sustancias alucinógenas en los cargamentos de
exportación de flores y frutas tropicales. La probabilidad de que la prueba sea positiva dado que
el cargamento posee sustancia alucinógena es de 0,99. La probabilidad de que la prueba sea
positiva dado que el cargamento no posee la sustancia alucinógena es de 0,05. La probabilidad
de que un cargamento posea sustancia alucinógena es de 0,10.
Calcular la probabilidad de que un cargamento posea sustancia alucinógena dado que la prueba
resultó positiva.

1.16 Almacenes distribuidores de electrodomésticos.
De un grupo de 127 almacenes: 60 venden neveras. 52 venden lavadoras. 62 venden equipos de
sonido. 22 venden neveras y lavadoras. 20 venden neveras y equipos de sonido. 17 venden
lavadoras y equipos de sonido. 5 no venden ninguno de los tres electrodomésticos anteriores.
Calcular:
a) Probabilidad de que venda los tres electrodomésticos.
b) Probabilidad de que venda neveras.
c) Probabilidad de que venda únicamente neveras.
d) Probabilidad de que venda lavadoras y equipos de sonido.
e) Probabilidad de que venda lavadoras o equipos de sonido.
f) Probabilidad de que venda sólo lavadoras y equipos de sonido.
g) Probabilidad de que venda sólo equipos de sonido.
h) Probabilidad de que no venda ninguno de los tres electrodomésticos.
1.17 9Población adulta clasificada según lectores de prensa y votantes en elecciones.
La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en áreas no metropolitanas de Antioquia,
clasificadas en aquellos que leen o no la prensa y aquellos que votaron o no en las elecciones
anteriores:
Votaron Lectores No
lectores
Sí 0,63 0,13
No 0,14 0,10
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar
votase?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar lea la
prensa?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que vote dado que lee la prensa?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que vote y lea la prensa?
1.18 Transporte de mercancía: Embarque de cajas con juguetes y ropa para bebé.
Un embarque contiene 10 cajas, tres de ellas, con juguetes para niños menores de un año y siete
con ropa de bebé. Si se seleccionan aleatoriamente dos cajas del embarque, ¿cuál es la
probabilidad de que las cajas seleccionadas contengan ropa para bebé? Calcular esta
probabilidad para el caso de:
a) Selección con reposición.
b) Selección sin reposición.
1.19 Solicitudes de afiliación a una organización para estudiantes universitarios.
Un estudiante de una organización universitaria distribuyó solicitudes de afiliación a nuevos
estudiantes durante una reunión de orientación. El 40% de los que recibieron estas solicitudes
eran hombres, y el 60%, mujeres. Posteriormente, el 7% de los hombres y el 9% de las mujeres
que recibieron la solicitud se afilió a la organización.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo estudiante elegido al azar, que recibe la
solicitud, se afilie a la organización?
b) Calcular la probabilidad de que un nuevo estudiante elegido al azar, que se afilie
a la organización después de recibir la solicitud, sea mujer.
1.20 Comerciantes y distribuidores de amplificadores de sonido, botiquines y cosméticos.
De un grupo de 108 comerciantes, 53 exportan amplificadores de sonido; 46 exportan botiquines
para baños; 78 exportan cosméticos; 23 exportan amplificadores y botiquines; 35 exportan
amplificadores y cosméticos; 15 exportan los tres productos anteriores; 7 no exportan ninguno
de los tres productos anteriores.
Si seleccionamos aleatoriamente un comerciante, cuál es la probabilidad de que:
a) Exporte únicamente amplificadores.

b) Exporte únicamente botiquines y cosméticos.
c) Exporte amplificadores o botiquines o cosméticos.
1.21
1.22 Firma manufacturera y calidad del as piezas suministradas por los proveedores.
Una firma manufacturera recibe embarques de dos proveedores. El 70% de las piezas adquiridas
provienen del proveedor A y el 30% restante del proveedor B. La calidad de las piezas adquiridas
varía con la fuente de suministro. Con base en datos históricos, las probabilidades condicionales
de recibir piezas buenas y malas de los proveedores están dadas por:
La probabilidad de que la pieza esté buena, dado que fue enviada por el proveedor A es de 0,98.
En otras palabras, el 98% de las piezas enviadas por el proveedor A son buenas.
La probabilidad de que la pieza esté mala dado que fue enviada por el proveedor A es de 0,02.
La probabilidad de que la pieza esté buena dado que fue enviada por el proveedor B es de 0,95.
La probabilidad de que la pieza este mala dado que fue enviada por el proveedor B es de 0,05.
Si se selecciona una pieza al azar y resultó ser mala:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza mala provenga del proveedor A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza mala provenga del proveedor B?
1.23 Estudiantes de educación superior con teléfono celular, beeper y fijo inalámbrico.
De un grupo de 123 alumnos de una institución de educación superior, 71 poseen en sus casas
teléfono fijo inalámbrico; 58 tienen teléfono celular; 51 tienen beeper; 33, teléfono fijo
inalámbrico y celular; 31 teléfono fijo inalámbrico y beeper; 23 tienen los tres (inalámbrico,
celular, beeper); 12 no poseen ninguno.
Si se selecciona un alumno aleatoriamente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que posea sólo beeper?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que posea sólo celular y beeper?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que posea beeper o celular?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que posea inalámbrico y beeper?
Control de calidad en una empresa manufacturera.
En el departamento de producción de una empresa se seleccionan en forma aleatoria tres
artículos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se clasifica como
defectuoso y bueno.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros artículos sean buenos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres artículos examinados sean buenos?
1.24 Amas de casa consumidoras de detergentes para el aseo del hogar.
Se tomó una muestra de 115 amas de casas consumidoras de detergentes para el aseo en el hogar,
se encontró que: 15 no consumen Arielly ni Fabe; 45 consumen Arielly; 60 consumen Fabe.
Si seleccionamos aleatoriamente un ama de casa, cuál es:
a) La probabilidad de que consuma Arielly.
b) La probabilidad de que consuma sólo Arielly.
c) Probabilidad de que consuma Arielly y Fabe.
d) Probabilidad de que consuma Arielly o Fabe.
e) Probabilidad de que no consuma ninguno de los dos detergentes anteriores.

1.25 Distribución de vuelos en una aerolínea.
Una aerolínea estudia la distribución de sus vuelos en época de vacaciones con destino a tres
ciudades (Armenia, Bogotá, Cartagena). Se toma una muestra de 146 pasajeros, a los cuales se
les hace un seguimiento sobre sus viajes, encontrándose los siguientes resultados: 53 visitan la
ciudad de Armenia; 60 visitan la ciudad de Bogotá; 100 visitan la ciudad de Cartagena; 25 visitan
Armenia y Bogotá; 35 visitan Armenia y Cartagena; 40 visitan Bogotá y Cartagena; 18 no visitan
ninguna de las tres ciudades anteriores.
Si se elige al azar un pasajero, calcular:
a) Probabilidad de que visite las tres ciudades anteriores.
b) Probabilidad de que visite la ciudad de Cartagena.
c) Probabilidad de que visite sólo Cartagena.
d) Probabilidad de que visite Bogotá o Cartagena.
e) Probabilidad de que visite Bogotá y Armenia.
f) Probabilidad de que visite Bogotá o Armenia.
g) Probabilidad de que visite sólo Bogotá y Armenia.
1.26 Estudiantes universitarios con becas y vinculación laboral de medio tiempo.
Un grupo de 120 estudiantes de la universidad a los cuales se les concedieron becas el semestre
actual, mostró que 53 de ellos poseen vinculación laboral de medio tiempo; 30 de ellos
solicitaron beca el semestre anterior y 18, al mismo tiempo, solicitaron beca el semestre anterior
y poseen vinculación laboral de medio tiempo.
Si se selecciona un estudiante al azar dentro de este grupo:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya solicitado beca el semestre anterior?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que posea vinculación laboral de medio tiempo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo posea vinculación laboral de medio tiempo
y no haya solicitado beca el semestre anterior?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya solicitado beca el semestre anterior y posea
vinculación laboral de medio tiempo?
1.27 Evaluación de un producto por parte de los consumidores, y grado de aceptación del
mismo en el mercado.
El departamento de mercadeo de una compañía desea analizar la incidencia de la buena
evaluación hecha a sus productos por parte de los consumidores en relación con los productos
que han tenido mucho éxito en el mercado, moderado éxito y baja aceptación.
El 97% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones. El 70%
de los productos con moderado éxito en el mercado recibieron buenas calificaciones. El 12% de
los productos con baja aceptación en el mercado recibieron buenas calificaciones. El estudio
también muestra que: El 45% de los productos han tenido mucho éxito en el mercado; El 40%
de los productos han tenido éxito moderado en el mercado; El 15% de los productos son de baja
aceptación en el mercado.
Si se selecciona aleatoriamente un producto:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga buena calificación?
b) Si el producto obtuvo buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
producto con alto éxito en el mercado?
c) Si el producto obtuvo buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
producto con bajo éxito en el mercado?
1.28 Producción de muebles modulares y control de calidad en el ensamblaje.
El departamento de producción de una compañía dedicada a la fabricación de muebles
modulares desea efectuar control de calidad respecto al ensamble e instalación de los muebles.
Un mueble modular tiene 20 tornillos. Por diagnósticos preliminares, se ha detectado que
generalmente, cinco de ellos no están bien apretados.

Si se seleccionan aleatoriamente y sin remplazo, cuatro tornillos para efectuar la auditoría en el
control de la calidad del ensamblaje, para determinar si están bien apretados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro tornillos estén bien apretados?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer tornillo seleccionado este flojo y los
otros tres, bien apretados?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros tornillos estén bien apretados y
los otros dos, flojos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres primeros tornillos estén apretados y el
último, flojo?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer tornillo esté bien apretado y los otros
tres, flojos?
1.29 Producción y comercialización de maletines escolares.
La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 315 órdenes de
maletines escolares:
Característica Estampado Fondo
entero
Con cierre 30 85
Sin cierre 50 150
Si se selecciona aleatoriamente una orden de maletines escolares:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la solicitud sea de maletines estampados?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la orden sea de maletines con cierre?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la orden sea de maletines fondo entero y con
cierre?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la orden sea de maletines fondo entero?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que la orden sea de maletines estampados y sin cierre?

1.30 Mercadeo y lanzamiento de un nuevo producto.
El departamento de mercadeo de una empresa está promocionando un evento para el
lanzamiento de su nuevo producto. Se distribuyen tarjetas de invitación a diferentes empresarios
de la ciudad. El director de mercadeo efectúa auditoría al proceso de distribución de volantes y
tarjetas, para tal efecto, selecciona aleatoriamente tres empresarios para analizar si la invitación
llegó a tiempo o tarde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al primer empresario seleccionado le haya llegado
tarde y a los otros dos a tiempo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres empresarios hayan recibido la
información a tiempo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al segundo empresario seleccionado le haya
llegado a tiempo y al primero y al tercero, tarde?
1.31 Perfil de clientes de un reconocido restaurante.
El propietario de un reconocido restaurante ubicado en una ciudad capital desea construir el
perfil de sus clientes para desarrollar una campaña publicitaria que atraiga a clientes potenciales
típicos de quienes actualmente prefieren este restaurante. El 40% de los usuarios actuales son
mujeres, el 75% de ellas es menor de 30 años. El 25% de los hombres son menores de 30 años.
Determine cuál es la probabilidad de que un usuario seleccionado aleatoriamente:
a) Sea una mujer menor de 30 años.
b) Sea un hombre.
c) Sea un hombre mayor de 30 años.
d) Sea una mujer.
e) Sea una mujer mayor de 30 años.
f) Sea un usuario menor de 30 años.

1.32 Secretaría de Desarrollo Comunitario y proyecto para jóvenes.
La secretaría de desarrollo comunitario de un municipio, inicia un estudio en la población de
jóvenes de 18 años, para analizar la distribución respecto de los bachilleres y los que actualmente
laboran, con el objetivo de presentar un proyecto académico-laboral de ayuda a este sector de la
población.
De 1.500 jóvenes de 18 años se encontró que 400 tienen empleo y 1.200 son bachilleres.
De los bachilleres, 285 tienen empleo.
Determine cuál es la probabilidad de que un joven seleccionado aleatoriamente sea: a) Un
bachiller.
b) Un bachiller empleado.
c) Un bachiller desempleado.
d) Un joven sin culminar el bachillerato.
e) Un joven sin culminar el bachillerato y desempleado.
f) Un joven sin culminar el bachillerato y empleado.
1.33 Distribución y comercialización de teléfonos.
Un distribuidor de teléfonos vende teléfonos Panic y Solevy. De acuerdo a estudios preliminares
en las ventas se ha diagnosticado que: El 35% de los clientes compran teléfonos Panic; El 53%
de los clientes adquieren teléfonos Solevy; El 15% de los clientes adquieren los dos teléfonos.
Determine cuál es la probabilidad de que un cliente:
a) No compre ninguna de las dos marcas de teléfono anteriores.
b) Compre sólo teléfonos Panic.
c) Compre teléfonos Panic o Solevy.
d) Compre teléfonos Panic y Solevy.
e) Compre únicamente teléfonos Solevy.

4. ENLACE A VIDEOS
1. Probabilidad 01
https://www.youtube.com/watch?v=425UOaNkGcQ&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6Kk
eI&index=21&t=0s
2. Probabilidad 02
https://www.youtube.com/watch?v=ictdbE8oBzM&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
&index=22&t=0s
3. Variable
https://www.youtube.com/watch?v=7MmzfQZdoy8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6Kk
eI&index=23&t=5s
4. Variable aleatoria
https://www.youtube.com/watch?v=js_Y3dNGvag&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
&index=24&t=5s
5. Probabilidad
https://www.youtube.com/watch?v=sgyo5vPend8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
&index=25&t=0s
6. Conjunto y técnicas de conteo
https://www.youtube.com/watch?v=Ju2_v3txAI0&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
&index=26&t=0s
7. Espacio muestral
https://www.youtube.com/watch?v=56Cmujdrh-
w&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=27&t=0s

Bibliografía
Gabriel, J. (2017). Diseños experimentales teoria y practica para experimentos agropecuarios.
Guayaquil, Ecuador: Compas.
Marro, E. D.‐A.–F. (s.f.). Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias. Prueba de Hipótesis
para la diferencia de medias.
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. (2009). Estadisticas cuarta
edicion. Mexico: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Superprof material didactico. (26 de Agosto de 2015). Tabla de distribución normal. Obtenido de
Tabla de distribución normal:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribucion-
normal/tabla-de-la-distribucion-normal.html
Zuluaga, M. N. (s.f.). ESTADÍSTICA PARA EDUCACIÓN SUPERIOR. Medellin: Esumer.

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