2. Identidad, Igualdad ecuación Antes de empezar a resolver ecuaciones debemos distinguir entre: IGUALDAD 6 + 7 – 4 = 9 IDENTIDAD (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2 6x + 7 – 4x = 9 Una igualdad se da entre dos expresiones diferentes del mismo valor. Una identidad se verifica para cualquier valor que demos a la incógnita o incógnitas que aparezcan en ellas, en cambio una ecuación se va a cumplir únicamente para algún o algunos valores de la incógnita o incógnitas. Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son ecuaciones de primer y de segundo grado, así como sistemas de ecuaciones de primer grado. Dentro de las ecuaciones de primer grado veremos primero ecuaciones sencillas, luego ecuaciones con paréntesis y por último ecuaciones con denominadores.
3. Ecuaciones Sencillas Para resolver una ecuación de primer grado como esta, usamos el método conocido como transposición de términos, que consiste en agrupar en un mismo miembro de la ecuación los términos semejantes. Normalmente en el primer miembro pondremos los términos con “x” y en el segundo los números o coeficientes. 2x + 6 - 5x - 2 = 3x - 8 Primero vamos a pasar 3x restando al primer miembro Recuerda: “Cuando un término cambia de lado en la igualdad, pasa a hacer lo contrario de lo que estaba haciendo”. Por tanto, 3x va a pasar restando. 2x + 6 – 5x - 2 = -8 El 6 y el 2 que estaban sumando, van a pasar restando al otro lado de la igualdad. 2x – 5x – 3x = -8 – 6 + 2 Cuando los términos semejantes ya están agrupados en el mismo lado de la igualdad es el momento de hacer operaciones: -6x = -12 Ahora tenemos que buscar el número que multiplicado por -6 da -12. Ese número es: Siguiendo el proceso habitual, lo que hacemos es pasar lo que multiplica a la x (-6 en este caso) dividiendo al otro lado de la igualdad:
4. Ecuaciones de Primer Grado Básicamente, lo que hacemos para resolver una ecuación con paréntesis sólo se distingue en un paso del caso anterior, ya que una vez que suprimamos los paréntesis nos encontraremos con una ecuación sencilla. Veamos un ejemplo práctico para resolver la ecuación: 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18 Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y así obtenemos: 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18 Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y así obtenemos: 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18
5. Ecuaciones con Paréntesis Básicamente, lo que hacemos para resolver una ecuación con paréntesis sólo se distingue en un paso del caso anterior, ya que una vez que suprimamos los paréntesis nos encontraremos con una ecuación sencilla. Veamos un ejemplo práctico para resolver la ecuación: 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18 Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y así obtenemos: 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18 Resolvemos las multiplicaciones 15x – 6 – 6 + 2x = 2x + 18 ¡OJO! Observa que en el segundo paréntesis el número que multiplica es –2, y por eso –2·3 = -6 y –2·(-x) = +2x Ahora, transposición de términos 15x + 2x - 2x = 18 + 6 + 6 Calculamos de nuevo 15x = 30
6. Ecuaciones con Denominadores Para resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremos una ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normal suprimiendo estos. Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores: m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos a común denominador Primer paso: Al tener una suma de fracciones del mismo denominador, pongo el mismo denominador y sumo los numeradores. Segundo paso: A continuación, “eliminar denominadores” Tercer paso: 4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5) Cuarto paso: Resolvemos los paréntesis 8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10 8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15 15x = – 15 Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y así obtenemos: 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18
7. Problemas de Ecuaciones No hay porque asustarse. Esto significa que vamos a tratar de resolver problemas utilizando ecuaciones. Pero para ello, debemos dar una serie de pasos básicos: a) leer atentamente el enunciado, las veces que sean necesarias, hasta asegurarnos de haberlo entendido correctamente. b) identificar lo que me dan y lo que me piden (datos e incógnitas). c) guiándome por el enunciado, plantear la ecuación. d) resolver la ecuación. e) comprobar que el resultado corresponde con lo que me piden. f) si el resultado no es coherente con lo que me piden, volver a empezar. g) no olvidarse nunca de poner la unidad correspondiente: pesetas, kilos, litros, metros, etc. Para facilitar las cosas vamos a dividir los problemas en dos tipos: los que me piden un solo valor y los que me piden más de un valor.
8. Problemas de un solo valor Pedro gastó la mitad de su dinero en un regalo, la tercera parte en invitar al cine a los amigos y todavía le quedan 12 euros. ¿Cuánto dinero tenía? En este caso, identificaremos dicho valor (lo que me pide el problema) con la incógnita (x). O sea: Dinero: x A continuación, guiándonos por el enunciado, plantearemos la ecuación que nos permita resolver dicho problema. En algunos casos, un dibujo o un esquema sencillo pueden ayudarnos en el planteamiento. Observa: Como gastó, tenemos que restar. LO QUE QUEDA Total Es decir, si el dinero total que tenía era x, y en el regalo gastó la mitad, eso lo represen-tamos como x/2, y si en el cine gastó la tercera parte, lo pondremos co-mo x/3 y ya tenemos la ecuación planteada: = - - x 12 = Observa que esta ecuación con denominadores es bastante más sencilla que otras que has resuelto como ejercicios de la unidad. Normalmente, en estos problemas lo complicado es plantear la ecuación, no resolverla.
9. Ecuaciones con denominadores Para resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremos una ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normal suprimiendo estos. Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores: m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos a común denominador Primer paso: Al tener una suma de fracciones del mismo denominador, pongo el mismo denominador y sumo los numeradores. Segundo paso: A continuación, “eliminar denominadores” Tercer paso: 4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5) Cuarto paso: Resolvemos los paréntesis 8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10 ¡Tenemos una ecuación con paréntesis! ¡Y ahora tenemos una ecuación sencilla! 8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15 15x = – 15 -1 Pulsa cuando sepas la respuesta
10. Identidad, Igualdad ecuación Antes de empezar a resolver ecuaciones debemos distinguir entre: IGUALDAD 6 + 7 – 4 = 9 IDENTIDAD (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2 6x + 7 – 4x = 9 Una igualdad se da entre dos expresiones diferentes del mismo valor. Una identidad se verifica para cualquier valor que demos a la incógnita o incógnitas que aparezcan en ellas, en cambio una ecuación se va a cumplir únicamente para algún o algunos valores de la incógnita o incógnitas. Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son ecuaciones de primer y de segundo grado, así como sistemas de ecuaciones de primer grado. Dentro de las ecuaciones de primer grado veremos primero ecuaciones sencillas, luego ecuaciones con paréntesis y por último ecuaciones con denominadores.
11. Ecuaciones de Primer Grado Para resolver una ecuación de primer grado como esta, usamos el método conocido como transposición de términos, que consiste en agrupar en un mismo miembro de la ecuación los términos semejantes. Normalmente en el primer miembro pondremos los términos con “x” y en el segundo los números o coeficientes. 2x + 6 - 5x - 2 = 3x - 8 Primero vamos a pasar 3x restando al primer miembro Recuerda: “Cuando un término cambia de lado en la igualdad, pasa a hacer lo contrario de lo que estaba haciendo”. Por tanto, 3x va a pasar restando. 2x + 6 – 5x - 2 = -8 El 6 y el 2 que estaban sumando, van a pasar restando al otro lado de la igualdad. 2x – 5x – 3x = -8 – 6 + 2 Cuando los términos semejantes ya están agrupados en el mismo lado de la igualdad es el momento de hacer operaciones: -6x = -12 Ahora tenemos que buscar el número que multiplicado por -6 da -12. Ese número es: Siguiendo el proceso habitual, lo que hacemos es pasar lo que multiplica a la x (-6 en este caso) dividiendo al otro lado de la igualdad:
12. Ecuaciones con Paréntesis Resolvemos las multiplicaciones 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18 Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y así obtenemos: Ahora transposición de términos, calculamos de nuevo 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18
13. Ecuaciones con denominadores Para resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremos una ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normal suprimiendo estos. Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores: m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos a común denominador Primer paso: Al tener una suma de fracciones del mismo denominador, pongo el mismo denominador y sumo los numeradores. Segundo paso: A continuación, “eliminar denominadores” Tercer paso: 4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5) Cuarto paso: Resolvemos los paréntesis 8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10 ¡Tenemos una ecuación con paréntesis! ¡Y ahora tenemos una ecuación sencilla! 8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15 15x = – 15 -1 Pulsa cuando sepas la respuesta
