Analisis Vectorial

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZÁN”
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
MECÁNICA DE SOLIDOS
ANÁLISIS VECTORIAL
Dr. Andrés A. Cámara Acero
Huánuco, Perú
2018

2. MAGNITUDES ESCALARES Y SUS APLICACIONES
EN LA VIDA DIARIA

3. VECTORES Y SUS APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA

4. VECTORES Y SUS APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA

5. VECTORES Y SUS APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA

6. ACTIVIDAD PREVIA
Analiza las siguientes oraciones, identifica las cantidades de
las que se habla en cada una de ellas y compara las de la
columna izquierda con las de la columna derecha.
El área del piso del salón de clases es
de 25 m2
.
La ciudad de Tingo María se
encuentra a 300 Km al norte de la
ciudad de Huánuco.
El agua hierve a 100 °C.
El bus de la UNHEVAL recorre la
autopista de Cayhuayna al Distrito
de Amarilis a 100 km/h.
El volumen de un tanque de gas es de
40 litros.
La aceleración de un ciclista es de
2 m/s2
cuando se mueve sobre una
pendiente de 30° debajo de la
horizontal.
La velocidad del sonido es de 340 m/s. Andrés patea el balón con una
fuerza de 1 newton hacia arriba.
Comenta con tu equipo y escribe la respuesta

7. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de
un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La
longitud, la masa, el tiempo, la temperatura.
2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de
una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La
velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud,
múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal
y cortante, la presión

8. VECTOR
• Se define un vector, como una expresión matemática que
tiene origen, magnitud, dirección y sentido.
• Gráficamente un vector se simboliza por una flecha, que
nos define la dirección y la punta de la flecha el sentido; la
magnitud está indicada por la longitud de la flecha y un
extremo del segmento es el origen o punto de aplicación,
se representa por un segmento de recta orientado
• Analíticamente se representa por una letra con una
flecha encima.
OP
uuur

9. Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta
soporte. En el plano por un ángulo y en el
espacio mediante tres ángulos

10. Elementos de un vector
2. sentido: Es el elemento que indica la orientación
del vector . Gráficamente viene representada
por la cabeza de flecha.
3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud
física a la cual se asocia. Gráficamente viene
representado por la longitud del segmento de
recta.

11. Clases de Vectores
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen una
posición fija en el espacio. Tal cantidad se
representa por un número infinito de vectores
que tienen la misma magnitud, dirección y
sentido.
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y
solo una recta a lo largo de la cual actúan.
Pueden representarse por cualquier vector que
tenga sus tres elementos iguales ubicado en la
misma recta.
3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un
punto de aplicación

12. Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1.Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2.Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma
magnitud y dirección pero sentido opuesto

13. Algebra vectorial: Suma vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la
ley de cosenos-
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B θ= + +
r rr r r
( )
AR B
sen sen senπ θ β ε
= =
−
rr r

14. Algebra vectorial: Resta vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud del vector diferencia D es:
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A Bπ θ θ= + + − = + −
r r r rr r r r r
( )
AD B
sen sen senθ β α
= =
rr r

15. VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original.
• Tiene un módulo igual a la unidad: A = 1
• Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir:

16. VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
• Cada uno de estos vectores unitarios tiene
módulos iguales a la unidad y direcciones
perpendiculares entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k

17. Ejemplos: Identifica cuál de los siguientes vectores
es o no un vector unitario.

18. EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES

19. MÓDULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

20. EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números
reales recibe el nombre de espacio numérico
tridimensional, y se denota por R3
. Cada terna ordenada
(x; y; z) se denomina punto del espacio numérico
tridimensional.
x y
z
plano xz
plano yz
plano xy
orígen
SISTEMA DE
COORDENADAS
CARTESIANAS

21. EJEMPLOS

22. AUTOEVALUACIÓN N° 01

23. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL EN EL ESPACIO
Cualquier vector puede descomponerse en
tres componentes

24. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL EN EL ESPACIO
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
β γ α
β γ α
β γ α
= + +
= + +
= + +
= + +
=
= + +
r r r r
r
r
r
r
2
2 2 2
x y zA A A A= + +
r
cos xA
Aα =
cos yA
Aβ =
cos Az
Aα =

25. COSENOS DIRECTORES

26. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos
vectores A y B denotado por y expresado A
multiplicado escalarmente B, se define como el
producto de las magnitudes de los vectores A y
B por el coseno del ángulo que forman ellos.

27. Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores
por un tercer vector

28. Propiedades del producto escalar
5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
6. Producto escalar de dos vectores unitarios
diferentes.
7. Producto escalar de dos vectores

29. Propiedades del producto escalar
8. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes. .
Entonces tenemos
9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.
Entonces dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B= ⇒ ⊥
r rr r

30. 1ˆˆ =⋅ ii
1ˆˆ =⋅ jj
0ˆˆ =⋅ ji
0ˆˆ =⋅ kj
0ˆˆ =⋅ ki
xAiA =⋅ ˆ
r
1ˆˆ =⋅ kk
yAjA =⋅ ˆ
r
zAkA =⋅ ˆ
r X X Y Y Z ZA B A B A B A B⋅ = + +
r r

31. INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura.

32. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B,
es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano
formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al
producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del
ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la
regla de la mano der:echa. La notación del producto cruz es

33. ProductoProducto
vectorial de dosvectorial de dos
vectoresvectores
BAC
rrr
×=
A x B = |A| |B| sen φ û

34. Producto Vectorial: AxB
A x B = |A| |B| sen φ û A x B = - B x A

35. REGLA DE LA MANO DERECHA
Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice
con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el
dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.
Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha
tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el
dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

36. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

37. PRODUCTO VECTORIAL DE LOS
VECTORES UNITARIOS
0iˆiˆ

=× 0ˆˆ

=× jj
0ˆˆ

=× kk
kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =× jik ˆˆˆ =×

38. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores
son paralelos.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y z
x y z
i j k
AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B
B B B
= = − − − + −
 
( ) ( )Area AxB A Bsen A hθ= = =
 

39. AUTOEVALUACIÓN N° 01
• 4.-Determina los cosenos directores del vector que va de A (2; -2; -1) a
B (-4; -5; 1). Prueba que la suma de los cuadrados de los cosenos
directores del vector es igual a 1 y obtener un vector unitario en la
dirección de .
• 5.- Dado los vectores que se indican en la figura Nº 08, calcula el
módulo del vector resultante.

40. AUTOEVALUACIÓN N° 01
6.- Dado los vectores que se indican en la figura Nº 09, halla
la resultante de sabiendo que: A = B = C = 20.

41. 7.- Dado los vectores y , halla:
a)
b) Las magnitudes de
c) Determina el ángulo que forman
8.-Dado los vectores y halla:
a) Un vector perpendicular al vector
b) El ángulo formado por

42. PRODUCTO TRIPLE
Sirve para hallar el volumen definido por las aristas del
paralelepípedo. Dado los vectores:
= (Ax; Ay; Az) , = (Bx; By; Bz) y = (Cx; Cy; Cz)
se define el producto triple o mixto:

43. Dr. Andrés A. Cámara Acero UNHEVAL-HUÁNUCO