1. Universidad Privada Antenor Orrego
Prof. Ana L. Gamarra Carrasco
Curso: Matemática IV
Ciclo: IV - Ingeniería Civil
PRÁCTICA N◦
3
1. Localice gráficamente las raíces de las ecuaciones a seguir:
a) 4 cos x − e2x
= 0
b) x
2
− tan x = 0
c) 1 − x ln x = 0
d) 2x
− 3x = 0
e) x3
+ x − 1000 = 0
2. Si en el método de bisección tomamos sistemáticamente x = ak+bk
2
,
tenemos que |x − ξ| ≤ bk−ak
2
. Considerando esto:
a) Estime el número de iteraciones que efectuará el método.
b) Escriba un nuevo algoritmo.
3. La ecuación x2
− b = 0 tiene como raíz ξ =
√
b. Considere MPF con
φ(x) = b
x
:
a) Compruebe que φ′
(ξ) = −1
b) ¿Qué acontece con la sucesión {xk} tal que xk+1 = φ(xk)?.
4. Verifique analíticamente que en el MPF, si φ′
(x) < 0 en I, intervalo
centrado en ξ, entonces, dado x0 ∈ I, la sucesión {xk}, donde xk+1 =
φ(xk), oscila en torno de ξ.
5. Considere la función f(x) = x3
− x − 1. Resuelva por el MPF con la
función iteración φ(x) = 1
x
+ 1
x2 y x0 = 1. Justifique sus resultados.
6. Use el método de Newton para obtener la menor raíz positiva de las
ecuaciones a seguir con precisión ε = 10−4
.
a) x
2
− tan x = 0
b) 2 cos x = ex
2
c) x5
− 6 = 0.

2. 7. Aplique el método de Newton a la ecuación x3
− 2x2
− 3x + 10 = 0 con
x0 = 1,9. Justifique lo que acontece.
8. Deduzca el método de Newton a partir de su interpretación geométrica.
9. Sea f(x) = ex
−4x2
y ξ su raíz en el intervalo (0, 1). Tomando x0 = 0,5.
Encuentre ξ con ε = 10−4
, usando:
a) El método de Punto fijo con φ(x) = 1
2
e
x
2
b) El método de Newton
Compare la rapidez de convergencia.
10. El valor de π puede ser obtenido a través de la resolución de las si-
guientes ecuaciones:
a) sin x = 0
b) cos x + 1 = 0
Aplique el método de Newton con x0 = 3 y precisión 10−7
en cada caso
compare los resultados obtenidos.
11. Sea f(x) = x2
2
+ x(ln x − 1). Obtenga sus puntos críticos con el auxilio
de un método numérico.
12. La concentración C de una bacteria contaminante en un lago decrece
según la expresión
C(t) = 80e−2t
+ 20e−0,5t
siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita pa-
ra que el número de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el método de
Newton).
13. Una determinada sustancia se desintegra según la ecuación
A = Pe−0,0248t
donde P es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resul-
tante después de t años. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de
dicha sustancia, ¿cuánto tiempo habrá de transcurrir para que quede
el 1 por ciento de está?. Utilizar el Método de Newton.

3. 14. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en periodos
cortos suponiendo que el crecimiento de la población es una función
continua en t mediante una ecuación diferencial cuya solución es:
N(t) = N0eλt
+
v
λ
(eλt
− 1)
donde N(t) es el número de individuos en el tiempo t (medido en años),
λ es la razón de natalidad, N0 es la población inicial y v es un razón
constante de inmigración, que se mide en número de inmigrantes al
año. Supóngase que una población dada tiene un millón de individuos
inicialmente y una inmigración de 400000 individuos al año. Se observa
que al final del primer año la población es de 1506000 individuos. Se
pide:
a) Determinar la tasa de natalidad.
b) Hacer una previsión de la población al cabo de tres años.
15. En ingeniería civil se trabaja constantemente con los desplazamientos
de estructuras los cuales están determinados por oscilaciones armónicas.
Así en cierta estructura se encontró bajo experimentos la función que
divide el desplazamiento, dada por:
f(t) = 10e−0,45t
cos(2t)
donde t es el tiempo, se pide determinar cuanto tiempo pasará para que
el desplazamiento disminuya hasta la mitad del desplazamiento inicial
(t = 0).
a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula de Newton para este
caso.
b) Calcula hasta la cuarta iteración y con la cuarta y tercera iteración
determina la cantidad de cifras significativas exactas. Consideran-
do la iteración inicial igual a 1.
16. Una partícula se mueve con una velocidad (metros/segundo) dada en
función del tiempo por medio de la función:
v(t) = t3
− 2t2
Utilizando el método de Newton-Raphson aproxima el tiempo en el que
la partícula alcanza una velocidad de 1m/s, a partir del reposo.
a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula del método de Newton-
Raphson para este caso.

4. b) Calcula hasta la quinta iteración, considerando la iteración inicial
igual a 3.
c) ¿Se puede considerar al valor cero como iteración inicial? Explica
tu respuesta.
17. Se han hecho estudios sobre una plaga que ataca los árboles de gua-
yaba, obteniendo una función que describe el comportamiento de su
reproducción en días, dada por:
c(t) =
0,35e0,75t
t
, t > 1
en donde t es el tiempo en días. Se pide determinar cuánto tiempo
pasará hasta que se tengan 50 insectos de la plaga.
a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula del método de Newton-
Raphson para este caso.
b) Calcula las iteraciones necesarias hasta que la aproximación ten-
ga 4 cifras significativas exactas. Considerando la iteración inicial
igual a 8.
18. El factor de fricción f para fuidos pseudoclassical que siguen el Modelo
de Ostwald-De Waele se calcula mediante la siguiente ecuación
1
f
=
4
n0,75
log(Ref1−0,5n
) −
0,4
n1,2
Encuentre el factor de fricción f, si se tiene un numeros de Reynolds
Re de 6000 y un valor de n = 0,4.
19. La siguiente relación entre el factor de función f y el numero de Reynolds
Re se cumple cuando hay flujo turbulento de un fluido en un tubo liso:
1
f
= −0,4 + 1,74 log(Ref
√
f)
construya una tabla de valores de f correspondientes a numeros de
Reynolds de 10−4
hasta 10−6
con intervalos de 10−4
.
20. Para determinar la constante de nacimientos de una población se ne-
cesita λ en la siguiente ecuación:
1,564x106
= 106
eλ
+
0,435x106
λ
(eλ
− 1)
con una aproximación de 10−3
. Determine λ.

5. Observación: Para el desarrollo de cada ejercicio, tener en cuenta:
1. Graficar en maple.
2. Desarrollar algebraicamente.
3. Usar matlab.
Presentación de informe: martes 23 de abril del 2013.