2. SISTEMA DIÉDRICO Ordenación del espacio 1º CUADRANTE 2º CUADRANTE 3º CUADRANTE 4º CUADRANTE En diédrico se ordena el espacio en cuatro cuadrantes mediante dos planos que se cortan perpendicularmente entre sí: el plano horizontal de proyección y el plano vertical de proyección . Plano horizontal de proyección Plano vertical de proyección Sobre estos dos planos proyectaremos elementos (puntos y rectas) como si de sombras sobre una pared se tratara. Veamos como se hace en la práctica...... A la línea de corte entre ambos planos se le llama “ línea de tierra ” Nosotros trabajaremos en la mayoría de los casos (no siempre) en el primer cuadrante Volver al índice

3. P P 1 P 2 Tenemos un punto P suspendido en el espacio Lo proyectamos sobre el plano horizontal como si incidiera una luz desde arriba Hacemos lo mismo sobre el plano vertical como si incidiese luz desde la derecha A P 1 se le llama proyección horizontal del punto P A P 2 se le llama proyección vertical del punto P Representación de un punto en diédrico

4. P 1 P 2 Representación de un punto en DIÉDRICO Ahora eliminamos el punto del espacio pero manteniendo sus dos proyecciones P1 y P2.

5. P 1 P 2 Dejamos caer el plano horizontal por su peso como si se sujetara con unas bisagras, hasta quedar alineado con el vertical... P 1 Observa que en su movimiento habrá arrastrado con él la proyección horizontal P 1

6. P 1 P 2 3. Observamos el conjunto de frente, quedando como sigue P 2 P 1 ¡Y ya está! Tenemos un punto representado en diédrico Quede claro que la representación en perspectiva (a la izquierda) la usaremos como aclaración para que puedas entender mejor la representación en diédrico (derecha). Al fin y al cabo es este último nuestro propósito en estas páginas, pero debes tener presente que ambos constituyen diferentes sistemas de representar objetos.

7. En realidad, al trabajar con puntos en diédrico, estos se representarán de idéntica forma a como lo haces en Tecnología al dibujar el alzado y la planta de objetos tridimensionales. A esta manera de representar objetos se le llama SISTEMA DE PROYECCIÓN CILÍNDRICA ORTOGONAL ya que esos supuestos rayos luminosos que proyectan los objetos sobre los planos lo hacen perpendicularmente a los mismos. Veamos un ejemplo........ La PROYECCIÓN HORIZONTAL de este cilindro resulta ser una circunferencia La PROYECCIÓN VERTICAL de este cilindro resulta ser un rectángulo

8. RESUMIENDO.... 1. PROYECTAMOS UN PUNTO O UNA FIGURA SOBRE LOS PLANOS HORIZONTAL Y VERTICAL. 2. ELIMINAMOS EL OBJETO O EL PUNTO, MANTENIENDO SUS PROYECCIONES. 3. DEJAMOS CAER EL PLANO HORIZONTAL 4. MIRAMOS TODO FRONTALMENTE Y HABREMOS REPRESENTADO EN DIÉDRICO UN PUNTO “P” O POR EJEMPLO UN CILINDRO P P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2

9. ¿Cómo puedo situar puntos en diédrico mediante coordenadas cartesianas? Se darán tres cifras para situar un punto P cualquiera. Por ejemplo.... P ( 42 , 20, 30) Con la primera cifra (en milímetros) nos moveremos sobre la línea de tierra. Lo haremos hacia la izquierda si esa cifra es positiva. O 42 O 42 Con la segunda cifra nos movemos sobre el plano horizontal alejándonos de la LT hacia abajo si la cifra es positiva. A esta cifra se le llama el ALEJAMIENTO. Hemos situado P 1 . 20 P 1 20 P 1 Con la 3ª nos movemos sobre el plano vertical hacia arriba si es positiva. A esta medida se le llama COTA o ALTURA. Hemos situado P 2 . P 2 30 P 30 P 2 volver

10. REPRESENTACIÓN EN DIÉDRICO DE LA RECTA Para representar una recta R en diédrico hallaremos sus dos proyecciones sobre los planos horizontal y vertical, al igual que hicimos con el punto.... R R 2 (proyección vertical de R) R 1 (proyección horizontal de la recta R) Como ya sabes, ahora suprimimos la recta, manteniendo sus dos proyecciones y dejamos caer el plano horizontal de proyección... R 1 R 2 Para finalizar, observamos todo de frente y.....ya está R 2 R 1

11. En el caso anterior, por mucho que se prolonguen los extremos de la recta , siempre se encontraba en el primer cuadrante Sin embargo, ahora veremos un caso de recta que, por la inclinación que tiene, atraviesa los planos de proyección, pasando del 1º cuadrante a otros cuadrantes. La porción de recta que no esté dentro del primer cuadrante se representa discontinua (oculta). R R 1 (proyección horizontal de R) R 2 (proyección vertical de R) Incidiendo luz desde arriba proyectamos R sobre el plano horizontal Incidiendo luz desde la derecha proyectamos R sobre el plano vertical Se llama TRAZA HORIZONTAL al punto donde la recta atraviesa el plano horizontal Se llama TRAZA VERTICAL al punto donde la recta atraviesa el plano vertical

12. Ahora eliminamos la recta, dejando sólo las proyecciones..... R 1 R 2 Ahora, como sabes, abatimos el plano horizontal.... R 1 R 2 Y lo observamos frontalmente R 1 R 2

13. ¿Cómo puedo conocer la visibilidad de una recta sin tener que dibujarla tridimensionalmente, es decir, directamente en diédrico? Veamos unas reglas muy sencillas para conseguirlo.... Supongamos que me piden que represente la recta que pasa por A y B además de su visibilidad, es decir, cuándo es visible (1º cuadrante) y cuándo no lo es (otros cuadrantes). A 1 A 2 B 1 B 2 En primer lugar uniré las proyecciones horizontales de los puntos, es decir, A 1 con B 1 y obtengo R 1 , que es la proyección horizontal de la recta R. Haz clic y observa.... En el lugar exacto donde esta proyección vertical R 2 toque línea de tierra será donde baje una vertical punteada que me indique la situación de una traza sobre la otra proyección horizontal R 1. Haz clic y observa.... En el lugar exacto donde esta proyección horizontal R 1 toque línea de tierra será donde levante una vertical punteada que me indique la situación de una traza sobre la otra proyección vertical R 2. Haz clic y observa.... Traza vertical Traza horizontal R 1 R 2

14. Ya sabemos como se hallan las trazas de una recta, es decir, los puntos donde atraviesa los planos de proyección pero... ¿cómo puedo saber ahora en qué cuadrante se encuentra cada porción de esa recta sin dibujarla tridimensionalmente? Traza vertical. Como aquí atraviesa el plano vertical, entonces pasa al 2º cuadrante Traza horizontal. Como aquí atraviesa el plano horizontal entonces pasa al 4º cuadrante R 1 R 2 En primer lugar sé que la porción de recta que se encuentra entre las dos trazas está en el primer cuadrante por lo que la dibujaré con línea continua. Si una traza se encuentra por encima de la línea de tierra, es decir, en el plano vertical, quiere decir que es una traza vertical y por tanto que justo en ese lugar la recta pasará al 2º cuadrante y ambas proyecciones se dibujarán a partir de aquí en discontinua. Haz clic..... Si una traza se encuentra por debajo de la línea de tierra, es decir, sobre el plano horizontal, quiere decir que es una traza horizontal y por tanto que justo en ese lugar la recta pasará al 4º cuadrante y ambas proyecciones se dibujarán a partir de aquí en discontinua. Haz clic...... 1º cuadrante 2º cuadrante 4º cuadrante

15. R 1 R 2 R 1 R 2 1º cuadrante 2º cuadrante 4º cuadrante RECUERDA..... Una traza vertical supone el tránsito del 1º al 2º cuadrante Una traza horizontal supone el tránsito del 1º al 4º cuadrante

16. Veamos otro ejemplo de representación de una recta. Supongamos que queremos representar la recta que pasa por estos dos puntos, A y B.... A B A 1 B 1 A 2 B 2 B 1 A 1 B 2 A 2 Si observas, el hecho de hallarse las 4 proyecciones A 1 , A 2 , B 1 y B 2 alineadas sobre una misma vertical impide hallar las trazas de esa recta, al menos por el método que vimos en la anterior diapositiva. Para solucionar este problema hallaremos una tercera proyección sobre un tercer plano, que equivaldría a representar el perfil de una pieza. Observa.... A 3 B 3 R 3 TH Ya tenemos las 2 trazas TH y TV TV ¿Cómo procederemos en diédrico para hallarlas?.... 1. Separo con línea de trazo y punto las 2 proyecciones que tengo de la 3ª, que voy a construir a la derecha... 2. Llevando A1 y B1 sobre esa línea, efectúo el giro con el compás en la 3ª proyección, hallando A3, B3 y por tanto también R3 (tercera proyección o perfil de A y B). A 3 B 3 R 3 3. Partiendo desde la 3ª proyección y siguiendo el camino inverso al llevado anteriormente obtendremos las trazas en las dos primeras proyecciones. TH TV 1º cuadrante 2º 4º A este tipo concreto de recta se le llama RECTA DE PERFIL y es la única para la cual será imprescindible hallar su 3ª proyección si queremos situar sus trazas y conocer su visibilidad. R 1 R 2 R 1 R 2 3ª proyección o perfil de la recta R

17. TIPOS DE RECTAS (según su posición en el espacio) PARALELA A LT R R 1 R 2 R 1 R 2 PASA POR LT (caso particular de oblicua) R R 1 R 2 R 1 R 2 OBLICUA (se refiere a toda aquella cuyas proyecciones no forman un ángulo determinado con LT) R 1 R 1 R 2 R R 2 FRONTAL (es paralela al plano vertical) R 2 R 1 R R 2 R 1

18. DE PUNTA (es perpendicular al plano vertical) R R 1 R 2 R 1 R 2 HORIZONTAL (es paralela al plano horizontal) R R 1 R 2 R 1 R 2 VERTICAL (es perpendicular al plano horizontal) R 1 R 1 R 2 R R 2 R 2 R 1 R 3 TIPOS DE RECTAS - continuación (según su posición en el espacio) 90º 90º 90º 90º R 3 R 1 R 2 R DE PERFIL (precisa 3ª proyección) volver

19. REPRESENTACIÓN DEL PLANO EN DIÉDRICO A diferencia de la manera de representar puntos y rectas, para representar un plano en diédrico no lo proyectaremos sobre el horizontal ni tampoco el vertical. En este caso dibujaremos las líneas de corte entre dicho plano y los dos de proyección. A esas líneas de corte se les llama TRAZAS DEL PLANO que se representan con letras griegas. Veamos un ejemplo...... El corte del plano  con el plano horizontal de proyección es la TRAZA  1  1  El corte del plano  con el plano vertical es la TRAZA  2  2 Ahora en diédrico  1  2 Precisamente, por la posición que tiene, a este plano se le llama PARALELO A LA LINEA DE TIERRA. Veamos otros tipos de planos....

20. ALGUNOS TIPOS DE PLANOS El PLANO DE PERFIL tiene sus dos trazas  1 y  2 perpendiculares a la línea de tierra, por ser perpendicular también a los 2 planos de proyección .  1  2   1  2 P P 1 P 2 P 1 P 2 90º Se trata de un plano proyectante, es decir, todo objeto que contenga (por ejemplo el punto P) se proyectará directamente sobre sus propias trazas  1 y  2 . 90º El PLANO CONTENIDO EN LT tiene sus dos trazas  1 y  2 coincidentes con la línea de tierra.   2  1 Su representación en diédrico se realiza mediante dos trazos inmediatamente bajo LT, que indican su situación coincidente con esta línea  1  2 Además, se hará imprescindible la situación de un punto P contenido en dicho plano, que nos permita saber exactamente su pendiente. Este punto sólo será preceptivo situarlo en este tipo de plano. P P 1 P 2 P 1 P 2

21. ALGUNOS TIPOS DE PLANOS El PLANO VERTICAL tiene su traza  2 perpendicular a la línea de tierra, pudiendo formar  1 cualquier ángulo. 90º 90º  1  2  2  1  El PLANO DE CANTO tiene su traza  1 perpendicular a la línea de tierra, pudiendo formar  2 cualquier ángulo 90º  1  2   1  2 90º Ahora en diédrico... Ahora en diédrico... El PLANO OBLICUO , con su forma de cuña entre sus trazas, no forma ángulo alguno preestablecido respecto a los 2 planos de proyección...  1   2  1  2 Ahora en diédrico... Se dice de este plano que además es “proyectante horizontal” ya que todo punto contenido en él, su proyección horizontal caerá sobre  1. Observa... P P 1 P 2 P 1 P 2 Se dice de este plano que además es “proyectante vertical” ya que todo punto contenido en él, su proyección vertical caerá sobre  2. Observa... P P 1 P 2 P 1 P 2 El plano oblicuo nunca es proyectante. Un punto situado sobre él se proyectará siempre entre sus trazas y no sobre ellas. P P 1 P 2 P 1 P 2 volver

22. ¿CÓMO SITUAR UN PUNTO SOBRE UNA RECTA? Para que un punto P esté situado sobre una recta, cada una de las proyecciones de ese punto han de estar sobre las proyecciones correspondientes de la recta. Veamos... La proyección horizontal del punto P, es decir, P 1 , debe estar sobre la proyección horiziontal de la recta R, o sea sobre r 1 ..... P P 1 r 1 Igualmente, P 2 debe estar sobre r 2 .... r 2 P 2 r r 1 r 2 P 1 P 2

23. ¿CÓMO SITUAR UNA RECTA SOBRE UN PLANO? Para que una recta se encuentre sobre un plano es IMPRESCINDIBLE QUE LAS TRAZAS DE LA RECTA COINCIDAN CON LAS TRAZAS DEL PLANO. Veamos esto en la práctica..... La traza vertical de la recta (TV) coincide con la del plano (  2 ) TV  2  2  1 TV r 2 Igualmente, la traza horizontal de la recta (TH) coincide con la del plano (  1 ) TH TH r 1 Ahora proyecto la recta sobre el plano vertical.... Ahora proyecto la recta sobre el plano horizontal...  1

24. LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO De entre las infinitas líneas que puedo dibujar sobre un plano, existe una en concreto que forma la máxima pendiente de subida (máximo ángulo con el plano horizontal de proyección).  R A esa línea se le llama LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE DEL PLANO  . Se caracteriza porque al dibujar se en diédrico, su proyección R1 formará 90º con  1 90º r 1 r 2 r 1 r 2  1  2  1  2

25. LÍNEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO De entre las infinitas líneas que puedo dibujar sobre un plano, existe una en concreto que forma el máximo ángulo con el plano vertical de proyección.  R A esa línea se le llama LÍNEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DEL PLANO  . Se caracteriza porque al dibujar se en diédrico, su proyección R2 formará 90º con  2 90º r 1 r 2

26. ¿CÓMO SITUAR UN PUNTO SOBRE UN PLANO? Para conseguirlo, haremos el siguiente razonamiento..... a) Si un punto P está sobre una recta R b) Y esa recta está a su vez sobre un plano  (lo hicimos en la anterior diapositiva) c) Evidentemente, el punto también estará sobre ese plano ...así de lógico.  R P Veamos como representarlo en diédrico...

27. ¿CÓMO SITUAR UN PUNTO SOBRE UN PLANO EN DIÉDRICO?  1  2 1º) Imaginemos que tenemos este plano  sobre el que queremos situar un punto....  1  2 2º) Ahora situaré una recta sobre ese plano. Elegiré, por ejemplo, una recta horizontal, ya que al correr paralela al suelo sólo tiene una traza sobre el plano vertical y por tanto es más fácil de dibujar. Observa... TV Primero la proyecto sobre el horizontal.... Después sobre el vertical..... R r 1 r 2 TV r 1 r 2 3º) Por último, tan sencillo como colocar un punto sobre esa recta... P P 1 P 2 P 1 P 2 ¡Y ya está! Recuerda.... Si P está sobre R, y R está sobre  , entonces P estará sobre  volver

28. INTERSECCIÓN DE RECTAS La condición necesaria y suficiente para que dos rectas se corten es que los dos puntos de corte de sus proyecciones coincidan sobre la misma vertical.... r 1 r 2 s 1 s 2 R S r 1 r 2 s 1 s 2 P 1 P 2 P P 1 P 2 ¿Qué ocurriría si P 1 y P 2 no coincidieran en la misma vertical?..... Que esas dos rectas no se cortarían. Se cruzarían pasando una de ellas por detrás de la otra, aunque al verlas en diédrico aparentemente parezca que sí se corten. r 1 r 2 s 1 s 2 R S r 1 r 2 s 1 s 2

29. INTERSECCIÓN DE PLANOS Como ya sabes, la intersección entre dos planos  y  da lugar a una recta R ..... R Salvo en el caso de que esos dos planos sean paralelos, es decir, que no se lleguen a cortar.....  

30. En la práctica, para obtener en diédrico la recta intersección de dos planos haremos lo siguiente. Supongamos que tenemos estos dos planos  y  .....  1  2  1  2  1  2  1  2 R 1º. Desde la intersección de  1 y  1 lanzamos línea discontinua perpendicular a LT..... 2º. Unimos el punto anterior de corte sobre LT con la intersección  2 y  2, obteniendo la proyección vertical r 2 de la recta R..... r 2 1º. Desde la intersección de  2 y  2 lanzamos línea discontinua perpendicular a LT..... 2º. Unimos el punto anterior de corte sobre LT con la intersección  1 y  1, obteniendo la proyección horizontal r 1 de la recta R. ...... ¡¡Ya hemos representado la recta intersección!! r 1 inicio

32. GIROS Como ejemplo para solucionar el problema mencionado en la diapositiva anterior realizaremos el giro de un segmento (lado del triángulo). Con centro en uno de sus extremos giraremos un lado cualquiera del triángulo proyectado, de manera que evoluciones desde una posición oblicua a frontal, que ahora sí muestra su verdadero tamaño proyectado, al situarse paralelamente al plano vertical de proyección. A B A 2 B 2 A 1 B 1 A 1 B 1 A 2 B 2 Giramos la proyección horizontal del segmento con centro en A hasta que quede en paralela al plano vertical (frontal). Observa como la proyección B1 pasa a la posición B1g (girado)… B 1g B 2g Del mismo modo, en proyección vertical, la proyección B2 se desplaza horizontalmente a la derecha hasta la posición B2g … solución Donde antes teníamos una recta oblicua ahora tenemos esa misma recta en posición frontal , por tanto su verdadero amaño se muestra proyectado sobre el plano vertical de proyección, es decir, A 2 B 2g . Ese será la solución y por tanto el tamaño real del lado del triángulo proyectado B 2g B 1g B g

33. ABATIMIENTOS Los abatimientos consisten en efectuar un giro de un plano utilizando como eje de giro (charnela) una de sus trazas, de manera que se sitúe coplanario a cualquiera de los planos de proyección. De esta forma podremos observar cualquier forma contenida en el mismo en su verdadera magnitud. Partiendo de esta idea es posible efectuar el abatimiento de un plano alrededor de su traza horizontal o de la vertical. Veamos como hacerlo en la práctica…  1  2 Para abatir la traza  2 sobre el plano horizontal buscaremos un plano  que sea vertical y cuya traza  1 sea perpendicular a  1......  1  2 (  2 ) o A 0 Para abatir un punto cualquiera A contenido en  abatiremos también una recta horizontal del plano contenida en él. Por tanto trazaremos primero una perpendicular a  1 ..... De nuevo una paralela a  1 .......... Por último otra paralela a  1 para cerrar un rectángulo en cuyo vértice finalmente obtenido encontraremos el abatimiento del punto A 0 ......... A 1 Abatiremos el punto intersección de  2 y  2 sobre el plano horizontal, de manera que obtengamos unpunto por donde pasará la traza abatida (  2)o A 2

34. Para abatir girando respecto a la traza vertical del plano, es decir, sobre el plano vertical de proyección utilizaremos el mismo procedimiento descrito en la anterior diapositiva. Veamos como hacerlo en la práctica… Para abatir la traza  1 sobre el plano vertical buscaremos un plano  que sea de canto y cuya traza  2 sea perpendicular a  2...... Para abatir un punto cualquiera A contenido en  abatiremos también una recta frontal del plano contenida en él. Por tanto trazaremos primero una perpendicular a  2 ........ Ahora una paralelar a  2 ..... De nuevo una perpendicular a  2 para cerrar un rectángulo en cuyo vértice finalmente obtenido encontraremos el abatimiento del punto A0 .......... Abatiremos el punto intersección de  1 y  1 sobre el plano vertical, de manera que obtengamos un punto por donde pasará la traza abatida (  1)o  1  2  1  2 (  1 ) o A 0 A 1 A 2

35. CAMBIOS DE PLANO Cuando se habla de un cambio de plano nos referimos a modificar solamente la posición de del sistema de referencia, es decir, LOS PLANOS DE PROYECCIÓN, manteniendo intactos el resto de elementos que intervienen en el problema. Esta acción en sí no permite ver una forma contenida sobre ese plano en verdadera magnitud, pero sí que permite un abatimiento del plano transformado (vertical o de canto) mucho más fácil y rápido que el que teníamos en principio (oblicuo) (véanse ABATIMIENTOS) Ejemplo de cambio de plano vertical de proyección, mediante el cual una plano oblicuo pasa a ser de canto respecto a los planos de referencia , ya que ahora la traza  1 pasa a ser perpendicular a la línea de tierra. oblicuo de canto  1  1  2  2 90º  90º  1  1  2  2

36. oblicuo vertical  90º 90º  1  1  1  1  2  2 Ejemplo de cambio de plano horizontal de proyección, mediante el cual una plano oblicuo pasa a ser vertical respecto a los planos de referencia , ya que ahora la traza  2 pasa a ser perpendicular a la línea de tierra.  2  2  1

37. ¿Cómo operaremos en la práctica para efectuar un cambio de plano en sistema diédrico? CAMBIO DE PLANO VERTICAL Situamos una nueva línea de tierra perpendicular a  1 (de canto)… Desde la intersección de ambas líneas de tierra levantaremos una vertical (discontinua) que intercepta a  2 en un punto P …. Si la primera discontinua era perpendicular a la antigua LT, tras el giro, la nueva línea será perpendicular a la nueva LT, con lo que P pasará a la posición Pg (P girado). Ese será el punto por donde pasará nuestra nueva traza  2 del plano de canto buscado …  1  1  1  2  2  2 CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL Situamos una nueva línea de tierra perpendicular a  2 (de canto)… Desde la intersección de ambas líneas de tierra bajaremos una vertical (discontinua) que intercepta a  1 en un punto P …. Si la primera discontinua era perpendicular a la antigua LT, tras el giro, la nueva línea será perpendicular a la nueva LT, con lo que P pasará a la posición Pg (P girado). Ese será el punto por donde pasará nuestra nueva traza  1 del plano vertical buscado … P P Pg Pg volver