ejercicios de matrices del libro "Matematicas para administracion y economia" de Ernest Haussler 12va. edicion, del 6.1 al 6.6

2. PROBLEMAS 6.1
1. Sean
A= B= C= D=
E= F= G= H= J=
a) Establezca el tamaño de la matriz:2x3
A es 2 × 3
B es 3 × 3
C es 3 × 2
D es 2 × 2
E es 4 × 4
F es 1 × 2
G es 3 × 1
H es 3 × 3
J es 1 × 1
b) ¿Cuáles matrices son cuadradas?
Las matrices cuadradas son B, D, E, H y J.
c) ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores?
H y J son matrices triangular superior.
D y J son matrices triangular inferior.
d) ¿Cuáles son vectores renglón?
F y J son vectores fila.
e) ¿Cuáles son vector columna?
G y J son vectores columna.

3. En los problemas 2 a 9 sean
A= =
2. ¿Cuáles es el orden de A?
A tiene 4 filas y 4 columnas. Así que el orden de A es 4.
Encuentre las entradas siguientes:
3. a21
es 6
4. a14
es 6
5. a32
es 4
6. a34
es 0
7. a44
es 0
8. a55
A tiene sólo 4 filas y 4 columnas. Así que a55 no existe
9. ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?
Las entradas de la diagonal principal son 7, 2, 1, 0.
10. Escriba la matriz triangular superior de orden 4, dado que todas las entradas que no
se requiere que sean 0, son iguales a la suma de los subíndices.
11. Construya una matriz A= si A es 3 X 5 y = -2i+3j.

4. 12. Construya una matriz B= si B es 2 X 2 y =
13. Si A= es de 12 X 10 ¿Cuántas estradas tiene A? Si =1para i = j y = 0 para i
j, encuentre
12 · 10 = 120, por lo que A tiene 120 entradas.
Por, i = 3 = j, por lo = 1. Desde el 5 ≠ 2, = 0.
Por , i = 10 = j, así = 1. Desde el 12 ≠ 10, = 0.
14. Liste la diagonal principal de
(a) (b)
(a) 1, 0, -5, 2
(b) x, y, z
15. escriba la matriz cero de orden (a) 4 y (b) 6
(a)
(b)

5. 16. Si A es una matriz de 7 X 9, ¿Cuál es el orden de ?
Si A es 7 x 9, entonces es de 9 × 7.
En los problemas 17 a 20 encuentre
17.
18.
19.
20.

6. 21. Sean
A= B= C= D=
a) ¿Cuáles son matrices diagonales?
A y C son matrices diagonales.
b) ¿Cuáles son matrices triangulares?
Todas son matrices triangulares
22. Una matriz es simétrica si = A. ¿La matriz del problema 19 es simétrica?
Dado que A, la matriz del problema 19 no es simétrica
23. Si
A=
Verifique que la propiedad general de que = A al encontrar y después de .

7. En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial.
24. =
2x = 4, y = 6, z = 0, 3w = 7.
x = 2, y = 6, z = 0, w =
25. =
6 = 6, 2 = 2, x = 6, 7 = 7, 3y = 2, 2z = 7
x = 6, y = , z =
26. =
Igualando las entradas en la tercera fila y columna tercera da 7 = 8, que no es verdad, no hay
solución.
27. =
2x = y, 7 = 7, 7 = 7, y = y
2y = y
y = 0.
2x = y
2x = 0
x=0
x = 0, y = 0

8. 28. Inventario una tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 275 de frijoles y
400 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de
cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $0.95, $1.03, $1.25, respectivamente, escriba esta
información como vector columna.
29. Análisis de ventas La compañía Widget presenta sus reportes de ventas mensuales por
medio de matrices cuyos reglones representan, en orden, el número de modelos regular, de
lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de
unidades rojas, blancas, azules, y purpuras que se vendieron. Las matrices para Enero (E) y
Febrero (F) son
E= F=
(a) En enero, ¿Cuántas unidades de los modelos de súper lujo se vendieron?
La entrada en la fila 3 (súper lujo) y la columna 2 (blanco) es 7.
En enero, 7 modelos blancos de súper lujo fueron vendidos.
(b) En febrero, ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron?
La entrada en la fila 2 (de luje) y la columna 3 (azul) es 3.
En febrero, 3 modelos azules de lujo se han vendido.
(c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares purpuras?
Las entradas en la fila 1 (regular) y la columna 4 (púrpura) dan el número de modelos púrpura
regulares vendidos. Para la entrada E es 2 y para F la entrada es de 4.
Los modelos más habituales púrpura se vendieron en febrero.

9. (d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en amos meses?
En enero y febrero, los modelos de lujo azules (fila 2, columna 3) vendieron el mismo número de
unidades, 3.
(e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?
En enero, un total de
0 + 1 + 3 + 5 = 9 modelos de lujo se han vendido.
En febrero, un total de
2 + 3 + 3 + 2 = 10 modelos de lujo se han vendido.
Así que, en febrero se vendieron más modelos de lujo.
(f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?
En enero, un total de
2 + 0 + 2 = 4 reproductores rojas fueron vendidas
En febrero un total de
0 + 2 + 4 = 6 reproductores rojos fueron vendidos.
Así que, en febrero se vendieron más modelos rojos Widgets.
(g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?
2+6+1+2+0+1+3+5+2+7+9+0 = 38
Sumando todas las entradas de la matriz E se obtiene que un total de 38 modelos fueron vendidos en
enero.
30. Matriz de insumo-producto Las matrices de insumo-producto desarrolladas por W.W.
Leotief indica las interrelaciones que existe entre los diferentes sectores de los diferentes
sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía
simplificada consiste en la matriz M que se presenta al final de este problema. Los sectores
consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como
manufactura, gobierno, acero, agricultura, domestica, etc. Cada reglón muestra como
consumen el producto de un sector dado cada uno de los sectores. Por ejemplo, del total de
la producción de la industria A, se determinaron 50 unidades para la propia industria A, 70
para la B, 200 para la C y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas
en el reglón 1 -a saber, 680- informa sobre la producción total de A para un periodo dado.
Cada columna indica la producción de cada sector, que consume un sector dado. Por
ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50 unidades de A, 90 de

10. B, 120 de C y 420 de todos los productores. Encuentre la suma de las entradas para cada
columna. Haga lo mismo con cada reglón. ¿Que observa al comparar estos totales?
Suponga que el sector A aumenta su producción en 20%, es decir, en 136 unidades. Si se
supone que esto provoca un aumento uniforme del 20% en todos los insumos, ¿en cuántas
unidades aumentara su producción el sector B? responda la misma pregunta para C y para
todos los demás productores.
CONSUMIDORES
M=
Suma de las Columnas Suma de los Reglones
A= 50+90+120+420 A= 50+70+200+360
A= 680 A= 680
B= 70+30+240+370 B= 90+30+270+320
B= 710 B= 710
C= 200+270+100+190 C= 120+240+100+1050
C= 1510 C= 1510
D= 360+320+1050+4960 D= 420+370+940+4960
D= 6690 D= 6690

11. La cantidad que la industria consume es igual a la cantidad de su producción.
El sector B tiene que aumentar la salida de 20% X 90 = 18 unidades.
El sector C industria tiene que aumentar la producción en 20% X 120 = 24 unidades.
Todos los demás productores tienen que aumentar en 20% X 420 = 84 unidades.
31. Encuentre los valores de x para los cuales
=
=2001
+2000x-2001=0
0=0
2000x
+2000x-2001=0
x= 1
x= -2001
x–x=0
x=1
0=0
x = -2001

12. En los problemas 32 y 33 encuentre
32.
33.
Programas utilizados:
Algebrator v6.0
Sismas
Universal Math Solver v7.0.0.5
Paginas Utilizadas:
1. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

13. PROBLEMAS 6.2
En los problemas del 1 al 12, realice las operaciones indicadas:
1.
2.

14. 3.
4.

15. 5.
6. [ 7 7] +66
NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO
7.
NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO.
8.

16. 9.
10.
1 -1 -6 9
2 0 2 6
3 -6 -3 1 -2
4 9 4 5

17. 11.
1 -5 0 10 0 30
-2 7 0 +1/5 0 5 0
4 6 10 5 20 25
12.
1 0 0 1 2 0 4 -2 2
3 0 1 0 -3 0 -2 1 - -3 21 -9
0 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0
3 0 1 0 -3
0 0 1

18. En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si
A= 2 1 B= -6 -5 C= -2 -1 O= 0 0
3 -3 2 -3 -3 3 0 0
13. -B
14. - (A - B)
- 2 1 - -6 -5
3 3 2 -3

19. 15. 2O
16. A - B + C
2 1 - -6 -5 + -2 -1
3 -3 2 -3 -3 -3
2 1 + 6 5 + -2 -1
3 -3 -2 3 -3 -3

20. 17. 3 (2A - 3B)
18. 0(A + B)
0 2 1 + -6 -5
3 -3 2 -3
19. 3(A - C) + 6
NO ES DEFINIDA

21. 20. A + (C + B)
21. 2B - 3A + 2C
22. 3C - 2B

22. 23. 1/2A - 2(B + 2C)
24. 1/2A - 5(B + C)

23. En los problemas del 25 a 28, verifique las ecuaciones para las anteriores matrices A, B y
C
25. 3 (A + B) = 3A + 3B
3(A+B)= 3 -4 -4 -12 -12
=
5 -6 15 -18
3A+3B = 6 3 -18 -15 -12 -12
=
9 -9 + 6 -9 15 -18
Es Verdad 3 (A+ B) = 3A + 3B
26. (2 + 3) A = 2A + 3A
(2+3) A = 5A = 10 5
15 -15
2A + 3A = 4 2 + 6 3 = 10 5
6 -6 9 -9 15 -15
Es verdad (2+3) A=2A+3A
27. k1 (k2A)= (k1k2) A
k1 (k2A) = k1 2k2 K2 = 2k1k2 k1k2
3k2 -3k2 3k1k2 -31k2
(k1k2)A= 2k1k2 k1k2
3k1k2 -31k2
Es verdad k1 (k2A)= (k1k2) A
28. K (A-2B+C) = kA-2kB+kC
Es verdad k(A-2B+C)= kA-2kB+kC

24. En los problemas 29 a 34 sean:
1 2 1 3 1 0 1 2 -1
A = 0 -1 B = 4 -1 C= 1 2 D= 1 0 2
7 0
Calcule si es posible, las matrices indicadas
29. 3A + DT
30. (B - C)T
31. 2BT - 3CT
32. 2B + BT
33. CT – D
Es imposible Hacer

25. 34. (D - 2AT)T
35. Exprese la ecuación matricial
3 -4 2
X 2 -Y 7 = 3 4
Como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo
Su equivalente en ecuación:
3x+4y = 6
2x-7y = 12
Multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -3 y obtenemos
6x+8y = 12
-6x+ 21y = -36
Y ahora resolvemos la ecuación y despejamos Y:
29y = -24
y = - 24/29

26. Despejamos X:
3x = 6(-24/29) = 270/29
X = 90/29
La respuesta es: x = (90/29), y= -24/29
X = 3,10; Y= - 0,83
36. En forma inversa a la que utilizo en el problema 35, escriba el sistema
2x-4y= 16
5x+7y=-3
Como una ecuación matricial
En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales
37.
3 x - 3 -2 = 4 6
y 4 -2
3x + 6 = 24
3x = 18
x=6
3y – 12 = -8
3y = 4
y = 4/3
Respuesta: x = 6; y = 4/3

27. 38.
3 x - 4 7 = -x
2 -y 2y
3x – 28 = -x
4x = 28
x=7
6 + 4y = 2y
2y = -6
y = -3
Respuesta: x = 7, y = -3
39.
2 x -10
4 +2 y = -24
6 4z 14
2 + 2x = -10
2x = -12
x = -6
4 + 2y = -24
2y = -28
y=-14

28. 6 + 8z = 14
8z = 8
z=1
Respuesta x=-6, y=-14, z=1
40.
2 -1 0 10
x 0 +2 0 +y 2 = 6
2 6 -5 2x+12-5y
2x-2 = 10
2y 6
2x+12-5y 2x + 12 - 5y
2x – 2 = 10
2x = 12
x=6
2y = 6
y=3
2x + 12 - 5y = 2x + 12 - 5y.
Se Resuelve por la formula general y se coge las respuestas positivas X y Y.
Entones
x=6, y=3
41. Producción: Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y
magnetos en dos plantas, I y II. La matriz X representa la producción de las plantas
para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para
el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos
plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son:
I II I II
DIS 30 50 DIS 15 25
X= BUJ 800 720 Y= BUJ 960 800
MAG 25 30 MAG 10 5

29. L a respuesta es: 45 75
1760 1520
35 35
42. Ventas Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía
de juguetes para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para
las mismas ciudades en el año 2005, donde A y B están dadas por
A= Acción 400 350 150 B = Acción 380 330 150
Educativo 450 280 850 Educativo 460 320 750
Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas que consiguió en el
año 2005, ¿Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?
2B - A
2 380 330 220 - 400 350 150
460 320 750 450 280 850
= 2(380) 2(330) 2(220) - 400 350 150
2(460) 2(320) 2(750) 450 280 850
= 760 660 440 - 400 350 150
920 640 1500 450 280 850
L a respuesta es 360 310 290
470 360 650

30. 43. Suponga que el precio de los productos A, B y C está dado, en ese orden, por el
vector de precios
P = p1 p2 p3
Si los precios se incrementan en 10%, el vector de los nuevos precios puede obtenerse al
multiplicar P, ¿Por qué escalar?
44. Demuestre que (A - B)T = AT- BT. (Una pista: Utilice la definición de sustracción y
las propiedades de la operación de transposición).
(A - B)T= [A + (-1) B]T Definición de sustracción
= At + [(-1) B]T Transpuesta y suma
= AT+ (-1) BT Transpuesta y multiplicación del escalar
= AT – BT Definición de sustracción
En los problemas 45 a 47 calcule las matrices dadas si
A = 3 -4 5 B = 1 4 2 C = -1 1 3
-2 1 6 4 1 2 2 6 -6
45. 4A + 3B
12 -16 20 + 3 12 6
-8 4 24 12 3 6
= 15 -4 26
4 7 30

31. 46. -3(A + 2B) + C
2B = 2 8 4 A + 2B = 5 4 9 -3(A + 2B) = -15 -12 -27
8 2 4 6 3 10 -18 -9 -30
-3(A + 2B) + C = -16 -11 -24
-16 -3 -36
47. 2(3C-A)+2B
3C - A = -3 3 9 + -3 4 -5 = 0 7 4
6 18 -18 2 -1 -6 8 17 -24
2(3C - A) = 0 14 8
16 34 -48
2B = 2 8 4
8 2 4
2(3C - A) + 2B = 2 22 12
24 36 -44
Programas Utilizados:
Algebrator 6.0
Universal Math Solver v7.0.0.5
Sismas
Paginas Utilizadas:
1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php

32. PROBLEMAS 6.3
1 3 2 0 -2 3
Si A = - 2 1 -1 B = - 2 4 -2 y AB = C
0 4 3 3 1 -1
C
Encuentre cada uno de los elementos siguientes:
1. C11 = -12
2. C23 = -7
3. C32 = 19
4. C33 = -11
5. C31 = 1
6. C12 = 4
Si A es de 2x3, B de 3x1, C de 2x5, D de 4x3, E de 3x2 y F de 2x3, encuentre el tamaño
y número de entradas en cada uno de los siguientes ejercicios.
7. AE = 2x2; 4
8. DE = 4x2; 8
9. EC = 3x5; 15
10. DB = 4x1; 4
11. FB = 2x1; 2
12. BC = 3x5; 15
13. EET B = 3x1; 3
14. E (AE) = 3x2; 6
15. E (FB) = 3x1; 3
16. (F+A) B = 2x1; 2

33. Encuentre la matriz identidad que tiene el orden siguiente:
17. 4
I=
18. 6
I=
Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36

36. -2 1
26. 1 -4 0 1
5 0
No es definida, matriz 1x2 y matriz 3x2

40. En los problemas 37 a 44 calcule las matrices requeridas si
1 -2 -2 3 0 -1 1 1 0 0 3 0 0
A= 0 3 B= 1 -4 1 C= 0 3 D= 0 1 1 E= 0 6 0
2 4 1 2 1 0 0 3
1/3 0 0 1 0 0
F= 0 1/6 0 I= 0 1 0
0 0 1/2 0 0 1
37. D – 1/3 EI
38. DD
39. 3A – 2 BC

41. 40. B (D+E)
41. 3I – 2/3 FE

42. 42. FE (D-I)
43. (DC) A

43. 44. A (BC)
En los problemas 45 a 58, calcule la matriz requerida si existe, dado que.
1 -1 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 0 0
A= 0 0 1 B= 2 -1 0 C= 2 -1 I= 0 1 0 O= 0 0 0
0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0
45. A2
1 -1 0 1 -1 0
0 0 1 0 0 1
Imposible
46. ATA

44. 47. B3
48. A (BT)2 C

45. 49. (AIC) T
50. AT (2CT)
51. (BAT) T

46. 52. (2B) T
53. (AT CT B)0
54. (2I) 2 -2I2

47. 55. A (I-0)
56. IT O
57. (AB) (AB) T

48. 58. B2 -3B+2I
En los problemas 59 a 61, represente el sistema dado por medio de la multiplicación
de matrices.
3x – y = 9
59. 2x - 9y = 5
3x + y + z = 2
60. x–y+z =4
5x – y + 2z = 12

49. 2r-s+3t=9
61. 5r-s+2t=5
3r-2s+2t=11
62. Mensajes secretos, los mensajes secretos pueden encriptarse por medio de un código o
una matriz de codificación. Suponga que tiene el código siguiente:
a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
1 3
Sea E = 2 4 la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje tomando
cada dos letras para crear una matriz de 2x1 y luego multiplicar cada matriz por E. utilice
este código para encriptar este mensaje. “the/ falcon/ has/ landed”. (el/ halcón/ ha/
aterrizado) de je las diagonales para separar las palabras.
=

50. 44, 72, 23/ 34, 37, 50, 48, 66, 38/ 60, 58, 78/ 15, 28, 26, 44, 17, 26.

51. 63. Inventario.- Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición.
Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150, y el de cada loro es de $35,
por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de la
tienda de mascotas.
64. Acciones.- Un agente de bolsa vendió a una cliente 200 acciones de tipo A, 300 tipo B,
500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C, D son $100, $150, $200 y
$300respectivamente. Escriba un vector columna que represente el previo por acción de
cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matices, encuentre el costo total de las
acciones.

52. 65. Costo de construcción.- Suponga que el contratista del ejemplo que debe construir
siete casas con estilo rustico, tres con estilo moderno, y cinco con estilo moderno. Con el
uso de la multiplicación de matrices, calcule el costo total de la materia prima.
$828.950,00
66. Costos.- suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de la compra.
Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente.
Compra Transporte
3500 50 Acero
1500 50 Madera
C= 1000 100 Vidrio
250 10 Pintura
3500 0 Mano de Obra
(a) A partir del cálculo RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los
costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.

53. (b) Encuentre la matriz QRC, cuya primera entrada proporcione el precio de compra
total, y cuya segunda entrada dé el costo total de transporte.

54. (c) Sea Z = 1/1 calcule QRCZ, que proporcione el costo total de materiales y
transporte para todas las casas que serán construidas.
QRC (C, T) = 2´957.500 61180
67. Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6.
(a) Calcule la cantidad que cada industria y cada consumidor debe pagar por los
bienes que reciben.

55. 68. Si AB=BA demuestre que (A+B) (A-B)= A2 – B2
69. Demuestre que si
1 2 2 -3
A= 1 2 y B= -1 3/2
Entonces AB=O. Observe que como ni A ni B son matriz cero, la regla algebraica para los
números reales “si ab=0, entonces alguno de a y b es cero “no se cumple para las matrices.
También puede demostrarse que la ley de cancelación tampoco es cierta para las matrices:
es decir, si AB=AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C.

56. 70. Sean D1 y D2 dos matrices diagonales de 3x3. Calcule D1, D2 = D2 D1 y demuestre
que
(a) Tomando D1, D2 como D2 D1 son matrices diagonales
(b) D1 y D2 conmutan, lo que significa que D1, D2= D2, D1
De la parte (a), D1D2 = D2D1. Así, D1 y Conmutar D2. [De hecho, todos los n × n
diagonal
Matrices conmutan.]
En el problema 71 a 74 calcule las matrices requeridas dados que:
3.2 -4.1 5.1 1.1 4.8 -1.2 1.5
A= -2.6 1.2 6.8 B= -2.3 3.2 C= 2.4 6.2
4.6 -1.4

57. 71. A (2B)
2.2 9.6
3.2 -4.1 5.1 -4.6 6.4
-2.6 1.2 6.8 9.2 -2.8
72. -3.1 (CA)
3.2 -4.1 5.1 -1.2 1.5
-3.1 -2.6 1.2 6.8 2.4 6.2
-3.1
23.99 -20.83 -12.65
26,16 7.43 -168,63

58. 73. 3CA (-B)
3 (-B)
3
15.53 218.4
-775.125 2272.188

59. 74. C3
-1.2 1.5
2.4 6.2
Programas Utilizados:
Universal Math Solver v7.0.0.5
Algebrator 6.0
Sismas
Paginas Utilizadas:
1. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

60. PROBLEMAS 6.4
Determine si la matriz de los problemas 1 a 6 es reducida o no.
1 3
1.
5 0
La primera entrada distinta de cero en la fila 2 no es la derecha de la primera entrada
diferente de cero en la fila 1, por lo tanto, no se reduce.
1 0 0 3
2.
0 0 1 2
Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad especial
1 0 0
3. 0 1 0
0 0 1
Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad
1 1
0 1
4.
0 0
0 0
En la fila 2, el primer cero de entrada no se encuentra en la columna 2, pero no todas las otras
entradas en la columna 2 son ceros, por lo tanto, no se reduce.
0 0 0 0
0 1 0 0
5.
0 0 1 0
0 0 0 0
La primera fila se compone enteramente de ceros y no es debajo de cada fila que contiene un
elemento distinto de cero, por lo tanto, no se reduce.

61. 0 0 1
1 0 3
6.-
0 1 5
0 0 0
La primera entrada distinta de cero de la fila 2 está a la izquierda de la primera entrada distinta de
cero de la fila 1, por lo tanto, no se reduce.
Reduzca la matriz dada en los problemas 7 a 12
1 3
7.
4 0
0 3 0 2
8.
1 5 0 2
2 4 6
9. 1 2 3
1 2 3

62. 2 3
1 6
10.
4 8
1 7
2 0 3 1
1 4 2 2
11.
1 3 1 4
0 2 1 0

63. 0 0 2
2 0 3
12.
0 1 0
0 4 1

64. Resuelva los sistemas de los problemas 13 a 26 mediante el método de reducción
13. 2x - 7y = 50
x + 3y = 10
Asi, ;
14. x - 3y = -11
4x + 3y = 9
Asi
15. 3x + y = 4
12x + 4y = 2
La última fila indica 0 = 1, que nunca es verdad, así que no hay solución.

65. 16. x + 2y - 3z = 0
-2x - 4y + 6z = 1
La última fila indica que 0 = 1, lo cual nunca es cierto. No hay una solución.
17. x + 2y + z - 4 =0
3x + 2z - 5 = 0
queda
Por lo tanto,
donde r es cualquier número real.

66. 18. x + 3y + 2z - 1 = 0
x + y + 5z - 10 = 0
Por lo tanto,
donde r es cualquier número real.
19. x1 - 3x2 = 0
2x1 + 2x2 = 3
5x1 - x2 = 1
17
A partir de la tercera fila, 0 que nunca es verdad, así que no existe solución.
4

67. 20. x1 + 4x2 = 9
3x1 - x2 = 6
x1 - x2 = 2
La última fila indica que 0 = 1, que nunca es verdad. No existe una solución.
21. x - y -3z = -5
2x - y -4z = -8
x + y -z = -1
Por lo tanto,

68. 22. x + y -z = 7
2x - 3y - 2z = 4
x - y - 5z = 23
Por lo tanto,
23.
Por lo tanto,

69. 24.
Por lo tanto, , donde r es un número real
25.
Por los tanto, donde r es cualquier número.

70. 26.
Por lo tanto,
Resuelva los problemas 27 a 33 con el uso de la reducción de matrices
27.
Sea x = impuesto federal; y = impuestos estatales.
Entonces x = 0,25 (312000 - y); y = 0.10 (312 000 - x).
De manera equivalente,

71. Por lo tanto x = 72.000; y = 24.000, por lo que el impuesto federal es de $ 72.000 y el
impuesto estatal es de $ 24.000.
28.
Por lo tanto x = 2.500; y = 2000, así que 2.500 unidades de A y 2.000 unidades de B debe
ser vendido.
29.
Sea x = número de unidades de A producida, y = número de unidades de B producido, y
z = número de unidades de C producido, entonces
no. de unidades: x + y + z = 11.000
Costo total: 4x + 5y + 7z + 17.000 = 80.000
Beneficio total: x + 2y + 3z = 25.000

72. De manera equivalente
Por lo tanto x = 2000, y = 4000, y z = 5000, por lo que 2000 unidades de A, 4000 unidades
de B y 5000 unidades de C debe ser producido.
30.
Sea x = número de escritorios que se producirán en la planta de la Costa Este y el número
de mesas y = a producir en la Costa Oeste de la planta.
Entonces x + y = 800 y = 90x 20.000 95Y + 18.000.
De manera equivalente
Así, la orden de producción es de 400 unidades de la central costa este y 400 unidades en la
planta de la Costa Oeste.

73. 31. Vitaminas Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10
unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre
tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3
unidades de D y 5 de vitamina E; la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades, respectivamente; la
marca Z tiene una unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.
Sea x = número de píldoras de la marca X, y = número de píldoras de marca Y, y Z =
número de píldoras de marca Z
Teniendo en cuenta los requisitos que la unidad le da al sistema
Donde,

74. Las únicas soluciones para el problema son
z=4 z=5 z=6 z=7
x=3 x=2 x=1 x=0
y=0 y=1 y=2 y=3
Sus costos respectivos (en centavos) son 15, 23, 31, y 39.
a. Las combinaciones posibles son 3 de X, 4 de Z; 2 de X, de Y 1, 5 de Z; 1 de X, de Y 2, 6
de Z; 3 de Y, 7 de Z.
b. La combinación de 3 X 4 de Z cuesta 15 centavos de dólar al día.
c. La combinación menos costosa es de 3 X, 4 de Z; la más cara es de 3 Y, 7 de Z.
32.
La maquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas.
Encuentre cuantas unidades de cada articulo deben producirse para utilixar todo el tiempo
disponible de las máquinas.
Sean x, y, y z son los números de unidades de A, B, y C, respectivamente.

75. Por lo tanto, 98 unidades de A, 76 unidades de B, y 60 unidades de C debe ser producido.
33.
a.- Sea s, d, y g representan el número de unidades de S, D, y G, respectivamente.
Entonces:

76. Por lo tanto
s = 5 - r, d = 8 - r, y g = r,
donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Las seis posibles combinaciones están dadas por:
b.- Cómo calcular el costo de cada combinación, nos encontramos con que son 4700, 4600,
4500, 4400, 4300, y 4200 dólares, respectivamente. Comprar 3 unidades de lujo y 5
unidades de Gold Star (s = 0, d = 3, g = 5) minimiza el costo.

77. Programas Utilizados:
Derive 6
Universal Math Solver v7.0.0.5
Sismas
Paginas utilizadas:
1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html

78. PROBLEMAS 6.5
En los problemas 1 al 8 resuelva los sistemas por reduccion de matrices
1. w + x - y - 9z = -3
2 w + 3x + 2y + 15z = 12
2w + x + 2y + 5z = 8
Siendo:
w = -1+7r
x = 2-5r
y = 4-7r
z = r (donde r es cualquier número real)

79. 2. 2w + x + 10 y + 15z = -5
w - 5x + 2y + 15z = -10
w + x + 6y + 12z = 9
Siendo:
51 147
w = r-
2 2
21 27
x = r
4 4
57 199
y = r
8 8
z = r (donde r es cualquier número real)

80. 3. 3w - x - 3 y - z = -2
2w - 2x - 6y - 6z = -4
2w - x - 3y - 2z = -2
3w + x + 3y + 7 z = 2
Siendo:
w = -s
x = -3r - 4s + 2
y = r
z = s (donde r y s son números reales)

81. 4. w + x + 5z = 1
w 6y + 2z = 1
w - 3x + 4y - 7z = 1
x - y + 3z = 0
Siendo:
w = -r – 2s +1
x = r - 3s
y = r
z = s (donde r y s son números reales)

82. 5. w + x + 3y - z = 2
2w + x + 5y - 2z = 0
2w - x + 3y - 2z = -8
3w + 2x+ 8y - 3z = 2
w + 2y - z = -2
Siendo:
w = -2r + s – 2
x = -r + 4
y = r
z = s (donde r y s son números reales)

83. 6. w + x + y + 2z = 4
2w + x + 2y + 2z = 7
w + 2x + y + 4z = 5
3w - 2x + 3y - 4z = 5
4w - 3x + 4y - 6z = 9
Siendo:
w = -r + 3
x = -2s + 1
y = r
z = s (donde r y s son números reales)

84. 7. 4x1 - 3x2 + 5x3 - 10x4 + 11x5 = -8
2x1 + x2 + 5x3 + 3x5 = 6
Siendo:
x1 = -2r + s - 2t
x2 = - r – 2s + t + 4
x3 = r
x4 = s
x5 = t (donde r, s y t son números reales).

85. 8. x1 + 3x3 + x4 + 4x5 = 1
x2 + x3 - 2x4 = 0
2x1 - 2x2 + 3x3 + 10x4 + 15x5 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + 2x5 = -2
Siendo:
72 33
x1 = r
7 7
18 17
x2 = r
7 7
20 15
x3 = r
7 7
19 16
x4 = r
7 7
x5 = r ( donde r es un número real).

86. Para los problemas 9 a 14, determine si el sistema tiene un número infinita de soluciones o
sólo la solución tribial. No resuelva los sistemas
9. 1,06x + 2,3y - 0,05z = 0
1,055x - 0,6y + 0,09z = 0
El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <3), por lo que hay una infinidad
de soluciones.
10. 3w + 5x - 4y + 2z = 0
7w - 2x + 9y + 3z = 0
El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <4), por lo que hay una infinidad
de soluciones.
11. 3x - 4y = 0
x + 5y = 0
4x - y = 0
A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 2. Así k = n, por lo que el sistema tiene
sólo la solución trivial.
12. 2x + 3y + 12z = 0
3x - 2y + 5z = 0
4x + y + 14z = 0
A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene
infinitas soluciones.

87. 13. x + y + z = 0
x - z = 0
x - 2y - 5z = 0
A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene
infinitas soluciones.
14. 3x + 2y - 2z = 0
2x + 2y - 2z = 0
- 4y + 5z = 0
A tiene k = 3 filas distintas de cero. Número de incógnitas es n = 3. Así k = n, por lo que el sistema
tiene sólo la solución trivial.
Resuelva cada uno de los siguientes sistemas
15.
x=0
y=0
16.
=
x = 5/2r
y=r

88. 17.
x = -6/5r
y = 8/15r
z=r
18.
=
x=0
y=0
19.
x=0
y=0

89. 20.
x = 0, y = 0, z = 0
21.
x=r
y = -2r
z=r
22.
x=r
y = -2r
z=r

90. 23.
w = -2r
x = -3r
y=r
z=r

91. 24.
w = -r-5s
x = -r-2s
y=r
z=s
Programas Utilizados:
Derive 6
Sismas
Paginas Utilizadas:
1. http://www.resolvermatrices.com.ar/
2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-algebra.php
3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

92. PROBLEMA 6.6
En los problemas 1 a 18, si la matriz dada es invertible, encuentre su inversa
1.
RESPUESTA
2.
NO ES INVERSA
3.
NO ES INVERSA

93. 4.
RESPUESTA
5.
R
6.

94. RESPUESTA
7.
NO ES INVERSA

95. 8.
NO ES INVERSA
9.
NO ES INVERSA
10.
11.

96. NO ES INVERSA
12.
R
13.
RESPUESTA

97. 14.
RESPUESTA
15.
RESPUESTA

98. 16.
RESPUESTA
17.
RESPUESTA

99. 18.
RESPUESTA
19. Resuelva AX=B si
A-1 yB
20. Resuelva AX =B si
A-1. Y B=

100. Para los problemas 21 a 34, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible,
resuelva el sistema mediante la inversa. Si no es así, resuelva el sistema por el
método de reducción
1.
2.
23.

101. 24.
25.
No es inversa se le hace por el método de reducción
X=-3r+1
Y= r
26.
No es inversa se le realiza por el método de reducción
No tiene solución

102. 27.

103. 28.
X=5
Y=
Z=-
29.

104. 30.

105. 31.
No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción
32.
No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción
33.

106. 34.

108. En los problemas 35 y 36 encuentre (I -A)-1 para la matriz A dada.
35. A =
RESPUESTA
36. A =
RESPUESTA
37. Producción de automóviles Resuelva los problemas siguientes con el uso de la
inversa de la matriz implicada
a) una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere
una hora de mano de obra para pintarlo y una hora más para pulirlo; El modelo
B requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos .Por
cada hora que la línea de ensamblado funciona, existen 100 horas de mano de
obra disponibles para pintura y 80 horas para pulido ¿Cuántos automóviles de
cada modelo pueden terminarse cada hora si se utiliza todas las horas de mano
de obra?

109. b) Supongamos que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2,
mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2 .La fabrica
puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2 cada hora ¿Cuántos
automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes
disponibles?
a) MODELO A MODELO B DISPONIBILIDAD
Mano de obra pintarlo 1h 1h 100 h
Mano de obra pulirlo 1h 1h 80h
X= Nº automóviles de modelo A terminar de pintar
Y= Nº automóviles de modelo B al terminar el pulido
X + y =100
x + y=80
= =
=
X=40
Y=60 RESPUESTA
b) MODELO A MODELO B DISPONIBLE
Tipo 1 10 7 800
Tipo 2 14 10 1130
10x + 7y = 800
14x + 10y=1130

110. X=45
Y=50 RESPUESTA
38. Si A = donde a, b, c 0, demuestra que
A-1=
39. (a) Si A y B son matrices invertibles con el mismo orden, demuestre que
(AB)-1 =B-1 A-1 “Una pista: demuestre que (B-1 A -1)(AB)=I
Y utilice el hecho de que la inversa es única” (b) Si
A -1 = y B-1=

111. Encuentre (AB)-1
Desde una matriz invertible tiene exactamente una inversa, B-1 A-1 es la inversa de AB
b.
40. S i A es invertible, puede demostrarse que (AT)-1= (A-1) T
A=
41. Se dice que una matriz P es ortogonal si P-1 = P T ¿La matriz
P= ?
Si es ortogonal

112. 42. Mensaje secreto Un amigo le ha enviado un mensaje secreto que consiste en
3 matrices reglón de números como sigue
R1 = [33 87 70] R2= [57 133 20] R3= [38 90 33]
Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para
codificar el mensaje):
A=
Para descifrar el mensaje proceda de la manera siguiente
a) Calcule los tres productos matriciales R1A-1, R2A-1 Y R3A-1
b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los números del 1 al 26,
remplace los números en estas tres matrices por letras y determine el mensaje
No hay solución

113. 43. Inversión .-Un grupo de inversionistas decide invertir $500.0000 en las acciones
de tres compañías .La compañía D vende en $60 cada acción y de la cual se espera un
rendimiento 16% anual .La compañía E vende en $80 cada acción y se espera que su
rendimiento alcance el 12%anual .El precio de las acciones de la compañía F
ascienden $30 y su rendimiento esperado es de 9% anual .El grupo planea comprar
cuatro veces más acciones de la compañía F que de la E .Si la meta del grupo es
13.68% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar los
inversionista ?
COMPAÑÍA D COMPAÑÍA E COMPAÑÍA F
60 80 30
16% 12% 9%
60X + 80Y +3Z =50.000
0.16 (60x) + 0.12 (80y) + 0.09 (30z) = 0.1368 (60x+80y+30z)
Z=4y
6x+8y+3z=50.000
9.6x+9.6y+2.7z=8.208x+10.944y+4.104z
1.392x-1.344y-1.404z=0
1.392x-1.344y-1.404z=0
116x – 112y-117z =0
4y- z =0
6x+ 8y+ 3z =50.000
116x-112y-117z=0
4y-z=0

114. 1116R1+R
-- R2= -
R3
R2+R3 R2+R3
R3
- R3 +R1
-R3+R1
R2 +R1

115. RESPUESTA
44. INVERSION.-Los inversionistas del problema 43 deciden probar con una nueva
estrategia de inversión con las mismas compañías .Desean comprar el doble de
acciones de la compañía F que la compañía E, y tiene la meta de 14.52% de
rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar?
60x +80y+30z=500.0000
9.6x+9.6y+2.7z=8712x+11.616y+4.356z
0.888x-2016y-1.656z=0
888x-2016y-1656z=0
111x-252y-207z=0
2y-z=0
6x+8y+3z=50.000
111x-252y-207z=0
2y-z=0
R1

116. -111R1 +R2
R2+R3
- R2 +R1
RESPUESTA

117. Utilice la calculadora graficadora en los problemas 45 y 46 para (a) encontrar A -
1, exprese sus entradas en forma decimal, redondee a dos decimales b) Exprese
las entradas de A-1 en forma fraccionaria, si su calculadora tiene esa capacidad
(precaución para el inciso (b) utilice la matriz A-1 de la calculadora para
convertir las entradas a forma fraccionario: no utilice la matriz de valores
redondeados
45. A = 46. A =
a) a)
b) b)
47. Si A = , encuentre (I -A)-1, donde i es la matriz identidad
de orden 3 .Redondee las entradas a los dos decimales
(I - A)-1
Respuesta

118. En los problemas 48 y 49 utilice una calculadora gráficadora para resolver el
sistema con el uso de la inversa de la matriz de coeficientes
48.
X=4.78
Y=-1.33
Z=-2.70
49.
W=14.44
X=0.03
Y=-0.80
Z=10.33

119. Programas Utilizados:
Derive 6
Algebrator 6.0
Matlab
Paginas Utilizadas:
1. http://www.resolvermatrices.com.ar/
2. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
3. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
4. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

120. PROGRAMAS UTILIZADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO
ALGEBRATOR
Link de descarga:
http://www.mediafire.com/?nyna7iyvvm4n8m3
Videos Tutoriales:
http://es.softmath.com/tutoriales/suma-de-matrices/suma-de-matrices.html
http://es.softmath.com/tutoriales/inversa-de-una-matriz/inversa-de-una-matriz.html
http://es.softmath.com/tutorial.html
DERIVE 6

121. Link de descarga con crack incluido:
http://www.tusoporte.net/2011/09/derive-61-espanol.html
Video Tutoriales:
http://www.youtube.com/watch?v=tD22tgrGxVk
UNIVERSAL MATH SOLVER
Link de descarga con parche incluido:
http://uploading.com/files/214851ed/universal.math.solver.v7.0.0.5.full.zip/
Video tutoriales:
http://www.youtube.com/watch?v=Xeu5ipJ3zZE
http://www.youtube.com/watch?v=yXxDUQ4gWxk&feature=relmfu

122. SISMA
Link de descarga:
https://rapidshare.com/#!download|614p1|3171688481|SISMA.rar|3345|0|0
Video Tutorial:
http://www.youtube.com/watch?v=oJVmKhYXXWA&feature=related

123. MATLAB
Link de descarga:
http://depositfiles.com/files/pvczk0edx
Video Tutoriales:
http://www.youtube.com/watch?v=adoAIiA8118
http://www.youtube.com/watch?v=elEIhoLnJr0&feature=related

124. PAGINAS UTILIZADAS PARA REALIZAR EL TRABAJO
http://www.resolvermatrices.com.ar/
http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/algebra_combinatorics/matrix/matrix_ad
d_sub_mul.php

125. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

126. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix