Các hướng tư duy và phương pháp giải trong hình oxy

GI I ðÁP TOÁN C P 3 – THI ð I H C
CÁC BÀI TOÁN TRONG
TAM GIÁC, T GIÁC
CÁC BÀI TOÁN V
ðƯ NG TH NG
CÁC BÀI TOÁN V
ðƯ NG TRÒN
CÁC BÀI TOÁN V ELIP
CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I
TRONG HÌNH H C OXY
Biên so n: Thanh Tùng
*) Tóm t t lý thuy t ñ y ñ theo m t trình t logic và có h th ng.
*) ðưa ra các hư ng tư duy và phương pháp gi i khái quát cho t ng l p bài toán.
*) Có bài toán m u minh h a ñi kèm.
*) Ph n bài t p áp d ng có g i ý.
*) L i gi i chi ti t cho t ng bài toán c th
(tham kh o thêm trên http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ).
BÀI TOÁN TÌM ðI M
H À N I 0 3 / 2 0 1 3

2
CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I HÌNH H C OXY
A. KI N TH C CƠ B N

4
B. CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðI M
ð hi u rõ hơn cho 4 hư ng tư duy tương ng v i 4 TH c a Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ði m” th y s
dùng 6 bài thi ð i H c năm 2012 v a qua ñ minh h a.
1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao cho
CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
và ñư ng th ng AN có phương trình 2 3 0x y− − = . Tìm t a ñ ñi m A.
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 8C x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E), bi t r ng (E) có
ñ dài tr c l n b ng 8 và (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông.
3) (B – 2012:CB). Cho ñư ng tròn 2 2
1( ) : 4C x y+ = , 2 2
2( ) : 12 18 0C x y x+ − + = và ñư ng th ng : 4 0d x y− − = .
Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c 2( )C , ti p xúc v i d và c t 1( )C t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho AB
vuông góc v i d.
4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có phương
trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A thu c Ox.
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ = và
4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
M − . Tìm t a ñ các ñ nh c a hình ch nh t ABCD.
6) (D – 2012 :NC). Cho ñư ng th ng : 2 3 0d x y− + = . Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c d , c t tr c Ox
t i A và B, c t tr c Oy t i C và D sao cho AB = CD = 2.

5
1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao cho
CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
Cách 1
Phân tích: :
+) Ta có { }A AN AM= ∩ nên Theo hư ng tư duy 1 (TH1) ta ph i ñi l p thêm phương trình AM
+) Bi t M nhưng chưa bi t A (chính là ñáp s ta c n tìm) nên ta ph i ñi tìm thêm vtpt ho c vtcp
+) Bài toán không có y u t song song, vuông góc ñ tìm vtpt ho c vtcp nên ta ph i khai thác yt ñ nh lư ng
+) Y u t ñ nh lư ng: cos MAN∠ = ( )cos ,AM ANn n
uuuur uuur
AMn⇒
uuuur
⇒ phương trình AM → t a ñ ñi m A
Gi i:
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
ND NC MB MC⇒ = = = = ( vì ABCD là hình vuông và 2CN ND= )
Và áp d ng Pitago ta ñư c:
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
Trong AMN∆ ta có: cos MAN∠
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
G i ( ; )AMn a b=
uuuur
là vtpt c a AM và ta có (2; 1)ANn = −
uuur
cos⇒ MAN∠ = ( )cos ,AM ANn n
uuuur uuur
2 2 2 2 2
2 2 2 2
322
2(2 ) 5( ) 3 8 3 0 (3 )( 3 ) 0
32 . 2 1
a ba b
a b a b a ab b a b a b
a ba b
= −− 
⇔ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔  =+ + 
+) V i 3a b= − ch n 1; 3a b= = − (1; 3)AMn⇒ = −
uuuur
⇒ phương trình
11 1
: 3 0
2 2
AM x y
   
− − − =   
   
hay : 3 4 0AM x y− − = . Vì { }A AN AM= ∩ nên ta gi i h :
2 3 0 1
(1; 1)
3 4 0 1
x y x
A
x y y
− − = = 
⇔ ⇒ − 
− − = = − 
+) V i 3a b= ch n 3; 1a b= = (3;1)AMn⇒ =
uuuur
⇒ phương trình
11 1
:3 0
2 2
AM x y
   
− + − =   
   
hay :3 17 0AM x y+ − = . Vì { }A AN AM= ∩ nên ta gi i h :
2 3 0 4
(4;5)
3 17 0 5
x y x
A
x y y
− − = = 
⇔ ⇒ 
+ − = = 
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A

6
Cách 2:
Phân tích: A AN∈ nên Theo hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i ( )A t AN∈ ta c n thi t l p 1 phương trình ( ) 0f t =
(còn d ki n
11 1
;
2 2
M
 
 
 
là trung ñi m c a BC ta chưa s d ng – s giúp ta làm ñi u này) ?t A→ = →
Gi i:
+) G i H là hình chi u c a M lên AN
2 2
11 1
2. 3
3 52 2
( , )
22 1
MH d M AN
− −
⇒ = = =
+
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
⇒ MAN∠ = 0
45 MAH⇒ ∆ c n t i H
3 5 3 10
2 2.
2 2
AM MH⇒ = = = (*)
+) G i ( ;2 3)A t t AN− ∈ và 2 45
2
AM = (theo (*))
⇔
2 2
2 1 (1; 1)11 7 45
2 5 4 0
4 (4;5)2 2 2
t A
t t t t
t A
= −    
− + − = ⇔ − + = ⇔ ⇒     =     
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A
Cách 3:
Phân tích: A AN∈ và
11 1
;
2 2
M
 
 
 
c ñ nh . N u AM h const= = ( ta s tìm cách ñi tính AM ).
Nên Theo hư ng tư duy 3 (TH3) : { } ( )A AN C= ∩ v i ( )C là ñư ng tròn tâm M bán kính R h=

7
Gi i: +) G i H là hình chi u c a M lên AN
2 2
11 1
2. 3
3 52 2
( , )
22 1
MH d M AN
− −
⇒ = = =
+
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
⇒ MAN∠ = 0
45 MAH⇒ ∆ c n t i H
3 5 3 10
2 2.
2 2
AM MH⇒ = = =
V y
3 10
2
AM = ⇒ A n m trên ñư ng tròn có phương trình:
2 2
11 1 45
2 2 2
x y
   
− + − =   
   
Mà : 2 3 0A AN x y∈ − − = Nên ta xét h :
2 2
11 1 45
1
2 2 2
1
2 3 0
xx y
y
x y
    =− + − =    ⇔    
= − − − =
ho c
4
5
x
y
=

=
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A
Cách 4: (Các em có th tham kh o thêm cách gi i c a B Giáo D c nhưng vì cách gi i này theo th y không ñư c
“t nhiên” nên th y không trình bày ñây)
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 8C x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E), bi t r ng (E) có
ñ dài tr c l n b ng 8 và (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông.
Phân tích:
+) Phương trình ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = như v y ta c n tìm ;a b +) (E) có ñ dài tr c l n b ng 8 2 8 4a a⇒ = ⇒ =
+) Theo Hư ng tư duy 4 (TH4) ta g i ( ; )A x y ( 0x > ) là m t giao ñi m c a (E) và ( )C : 2 2
( ) 8A C x y∈ ⇒ + =
và d ki n (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông giúp ta thi t l p thêm phương
trình: y x= (4 ñ nh n m trên hai ñư ng phân giác thu c góc ph n tư th nh t và th hai – nhưng vì ta ch n ñi m
( ; )A x y ( 0x > ) thu c góc ph n tư th nh t)⇒ t a ñ ñi m A +) Mà ( )A E b∈ ⇒ → phương trình (E).
Gi i: G i phương trình chính t c c a elip ( )E có d ng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
+) (E) có ñ dài tr c l n b ng 8 2 8 4a a⇒ = ⇒ =
+) G i ( ; )A x y ( 0x > ) là m t giao ñi m c a (E) và ( )C .Ta có: 2 2
( ) 8A C x y∈ ⇒ + = (1)
M t khác: (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông ⇒ y x= (2)
T (1) và (2) 2
2 8 2x x⇒ = ⇒ = (vì 0x > ) 2 (2;2)y A⇒ = ⇒
+) Mà ( )A E∈
2 2
2
2 2
2 2 16
1
4 3
b
b
⇒ + = ⇒ = . V y phương trình chính t c c a elip (E) là:
2 2
1
1616
3
x y
+ =

8
3) (B – 2012:CB). Cho ñư ng tròn 2 2
1( ) : 4C x y+ = , 2 2
2( ) : 12 18 0C x y x+ − + = và ñư ng th ng : 4 0d x y− − = .
Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c 2( )C , ti p xúc v i d và c t 1( )C t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho AB
vuông góc v i d.
Phân tích:
Mu n vi t phương trình ñư ng tròn ta c n:
+) Xác ñ nh tâm I (dùng Thu t Toán Tìm ði m) . Khi ñó theo Hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i 1( )I t II∈
(Trư c ñó ta ñi l p phương trình 1II ñi qua 1I vuông góc v i AB (tính ch t ñư ng n i tâm) hay song song v i d )
Và d ki n 2( )I C∈ giúp ta thi t l p ñư c phương trình : ( ) 0 ?f t t= → = → t a ñ ñi m I
( Ta có th làm theo Hư ng tư duy 3 (TH3) v i { } 1 2( )I II C= ∩ → t a ñ I - cách trình bày khác c a TH2)
+) Xác ñ nh bán kính: R nh ( , )R d I d=
Gi i:
G i I là tâm ñư ng tròn ( )C c n vi t phương trình. Ta có 2 2
1( ) : 4C x y+ = ⇒ tâm c a 1( )C là 1(0;0)I
Vì
1
1
II AB
II
AB d
⊥
⇒
⊥
// d ⇒ phương trình 1II : 0x y− = .
G i 1( ; )I t t II∈ mà 2( )I C∈ 2 2
12 18 0t t t⇒ + − + = 2
6 9 0 3t t t⇔ − + = ⇔ = (3;3)I⇒
Mà ( )C ti p xúc v i d ⇒
2 2
3 3 4
( , ) 2 2
1 1
R d I d
− +
= = =
+
. V y phương trình( )C là: 2 2
( 3) ( 3) 8x y− + − =
4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có phương
trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A thu c Ox.
Phân tích: +) Phương trình ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( 0)a b> > như v y ta c n tìm ;a b
+) Theo Hư ng tư duy 2 (TH2) vì (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D và A Ox∈ nên g i ( ;0)A a Ox∈ và (0; )B b Oy∈
+) Khai thác d ki n: AC = 2BD 1( , ) 0f a b→ = (1)
+) Khai thác d ki n: ñư ng tròn 2 2
4x y+ = ti p xúc v i các c nh c a hình thoi 2 ( , ) 0f a b→ = (2)
T (1) và (2) 2
?a→ = và 2
?b = → phương trình (E).

9
Gi i: G i phương trình chính t c c a elip ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( v i 0a b> > )
Vì (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D và A Ox∈ nên không m t tính t ng quát gi s : ( ;0)A a và (0; )B b .
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD 2 4 2OA OB OA OB⇔ = ⇔ = 2a b⇔ = (vì 0a b> > ) hay (2 ;0)A b , (0; )B b
G i H là hình chi u c a O lên AB
2OH R⇒ = = ( vì ñư ng tròn 2 2
4x y+ = ti p xúc v i các c nh c a hình thoi)
Xét tam giác OAB ta có: 2 2 2
1 1 1
OH OA OB
= + hay 2
2 2
1 1 1
5
4 4
b
b b
= + ⇔ = 2 2
4 20a b⇒ = =
V y phương trình chính t c c a elip ( )E là:
2 2
1
20 5
x y
+ =
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ =
và 4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
Cách 1:
Phân tích: +) Theo Hư ng tư duy 1 (TH1) : { }A AC AD= ∩ → t a ñ ñi m A
+) Theo Hư ng tư duy 2 (TH2) : D AD∈ , B AB∈ nên ta g i 1 2( ), ( )D t B t (trư c ñó ta ñi l p pt AB )
+) G i { }I AC BD= ∩ ( I là trung ñi m c a AC và BD ) 1 2( , )I t t⇒ mà 1 1 2( , ) 0I AC f t t∈ ⇒ = (1)
Vì ,MB MD
uuur uuuur
cùng phương 2 1 2( , ) 0f t t⇒ = (2)
+) T (1) và (2)
1
2
?
?
t
t
=
⇒ ⇒
=
t a ñ c a , ,B D I và C
Gi i: Vì { }A AC AD= ∩ nên xét h :
3 0
4 0
x y
x y
+ =

− + =
3
1
x
y
= −
⇔ ⇒
=
( 3;1)A −
AB ñi qua A và vuông góc v i AD nên AB có phương trình:
3 1
2 0
1 1
x y
x y
+ −
= ⇔ + + =
−
G i 1 1( ; 2)B t t AB− − ∈ và 2 2( ; 4)D t t AD+ ∈ ( 1 2; 3t t ≠ − ) 2 1 2 1 2
;
2 2
t t t t
I
+ − + 
⇒  
 
: là trung ñi m c a BD
Mà 2 1 2 1
2 1 1 2
2
3. 0 2 3 0 2 3
2 2
t t t t
I AC t t t t
+ − +
∈ ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = + (*)
Có: 1 1 2 2
1 10
; 3 2 ; 2 6
3 3
MB t t t t
   
= + − − = + − −   
   
uuur
(theo (*)) và 2 2
1
; 3
3
MD t t
 
= + + 
 
uuuur
M t khác , ,B D M th ng hàng⇒ ,MB MD
uuur uuuur
cùng phương 2 2
2
2 2
6 10 2 6
2 1
3 1 3
t t
t
t t
+ − −
⇒ = = − ⇔ = −
+ +
1 1t⇒ =
⇒ (1; 3), ( 1;3)B D− − và (0;0)I ⇒ (3; 1)C − ( vì I là trung ñi m c a AC )

10
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ =
và 4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
Cách 2:
Phân tích: +) Theo Hư ng tư duy 1 (TH1) : { }A AC AD= ∩ → t a ñ ñi m A
+) Do trong bài toán có nhi u tính ch t ñ i x ng nên ta nghĩ t i vi c tìm các ñi m ph liên quan. C th :
+) Ta tìm ñi m N ñ i x ng v i M qua ñư ng trung tr c d c a AD b ng cách vi t pt 'd ñi qua M song
song v i AD và { } 'N d AC= ∩ ⇒ pt trung tr c d c a AD ⇒ t a ñ trung ñi m ,I J c a AC và AD
⇒ t a ñ , ,C D B
Gi i: Vì { }A AC AD= ∩ nên xét h :
3 0
4 0
x y
x y
+ =

− + =
3
1
x
y
= −
⇔ ⇒
=
( 3;1)A −
Phương trình c a 'd ñi qua M song song AD có d ng:
1
( 1) 0 3 3 4 0
3
x y x y+ − − = ⇔ − + =
G i { } 'N d AC= ∩ nên ta xét h :
13 0 1
1;13 3 4 0 33
xx y
N
yx y
= −+ =   
⇔ ⇒ −   =− + =   
G i d là ñư ng trung tr c c a AD c t , ,MN AC AD l n lư t t i , ,H I J
⇒ , ,H I J l n lư t là trung ñi m , ,MN AC AD
5 5
;
4 4
H
 
⇒ − 
 
⇒ pt c a d :
5 5
0 0
4 4
x y x y
   
+ + − = ⇔ + =   
   
Ta có: }{I d AC= ∩ nên ta xét h : ( )
0 0
0;0
3 0 0
x y x
I
x y y
+ = = 
⇔ ⇒ 
+ = = 
⇒ (3; 1)C − ( I là trung ñi m c a AC )
và }{J d AD= ∩ nên ta xét h : ( )
0 2
2;2
4 0 2
x y x
J
x y y
+ = = − 
⇔ ⇒ − 
− + = = 
⇒ ( 1;3)D − ( J là trung ñi m c a AD )
⇒ (1; 3)B − ( I là trung ñi m c a BD )
6) (D – 2012 :NC). Cho ñư ng th ng : 2 3 0d x y− + = . Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c d , c t tr c Ox
t i A và B, c t tr c Oy t i C và D sao cho AB = CD = 2.

11
Phân tích: Mu n vi t phương trình ñư ng tròn ta c n:
+) Xác ñ nh tâm I (dùng Thu t Toán Tìm ði m) . Khi ñó theo Hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i ( )I t d∈
Và d ki n AB CD= giúp ta thi t l p ñư c phương trình : ( ) 0 ?f t t= → = → t a ñ ñi m I
+) Xác ñ nh bán kính: R nh 2 2 2 2
R IA IH HA= = + v i ( , )IH d I Ox= và 1
2
AB
HA = =
Gi i:
+) G i I là tâm ñư ng tròn c n l p và g i ( ;2 3)I t t d+ ∈
+) Ta có AB CD=
2 3 3 ( 3; 3)
( , ) ( , ) 2 3
2 3 1 ( 1;1)
t t t I
d I Ox d I Oy t t
t t t I
+ = = − − −  
⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ⇒  + = − = − −  
+) V i ( 3; 3)I − − ( , ) 3 3IH d I Ox⇒ = = − = và ta có:
2
1
2 2
AB
AH = = = 2 2 2 2
10R IA IH HA⇒ = = + =
V y phương trình ñư ng tròn: 2 2
( 3) ( 3) 10x y+ + + = .
+) V i ( 1;1)I − ( , ) 1 1IH d I Ox⇒ = = = và ta có:
2
1
2 2
AB
AH = = = 2 2 2 2
2R IA IH HA⇒ = = + =
V y phương trình ñư ng tròn: 2 2
( 1) ( 1) 2x y+ + − = .
CHÚ Ý: Trư c khi vào ph n BÀI TOÁN 2 chúng ta có m t s quy ư c sau:
+) ( )M t ∈∆ : ta ràng bu c ñi m M theo m t n là t.
+) 1 2( , )M t t : ñi m M có t a ñ ph thu c vào hai n 1t và 2t .
+) 1 2( ; )M t t : ñi m M có t a ñ :
1
2
M
M
x t
y t
=

=
BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N BÀI TOÁN 1
D ng 1: Các bài toán trong tam giác, t giác
Lo i 1: Các bài toán v ð nh Tính
Lo i 1.1: Các bài toán v ñư ng trung tuy n, ñư ng cao, trung tr c
Bài 1: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và 2 trung tuy n BM, CN. Vi t phương trình các c nh c a ABC∆ .
Cách gi i:
Bài t p áp d ng (Các em hãy d a vào ý tư ng Bài 1 ñ gi i các ví d sau)
Ví d 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM: 8x – y – 3 = 0,
CN: 14x – 13y – 9 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh B, C. (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM và CN l n lư t là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC. (ðs: 16ABCS∆ = (ñvdt))

12
Ví d 3: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G(-2;0) bi t phương trình các c nh AB, AC theo th t là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0. Vi t phương trình BC. (ðs: x – 2y – 1 = 0 ; v i B( 3; 2)− − , C(1;0) )
Ví d 4: Cho hai ñư ng th ng 1d : x – y + 1 = 0, 2d : 2x + y – 1 = 0 và ñi m P(2; 1). Vi t phương trình
ñư ng th ng 3d qua P và c t 1d , 2d l n lư t t i A và B sao cho P là trung ñi m c a AB. (ðs: 4x – y – 7 = 0)
Ví d 5: Cho tam giác ABC có trung ñi m c a AB là I(1; 3), trung ñi m AC là J(-3; 0). ði m A thu c Oy và
ñư ng BC qua g c t a ñ O. Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC. (ðs: A
9
0;
2
 
 
 
, B
3
2;
2
 
 
 
,
9
6;
2
 
− − 
 
)
( Các em tham kh o ph n gi i m u qua các Ví d 2, Ví d 3, Ví d 5 )
Ví d 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM và CN l n lư t là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC.
Gi i:
+) G i B
3
;
6
t
t
+ 
∈ 
 
BM . Do N là trung ñi m c a AB
1
2 2
9
2 12
A B
N
A B
N
x x t
x
y y t
x
+ +
= =
⇒ 
+ − = =

⇒ N
1 9
;
2 12
t t+ − 
 
 
Mà N∈CN
1 9
5. 6. 1 0 3
2 12
t t
t
+ −
⇒ − − = ⇔ = − ⇒ B ( 3;0)−
+) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ ABC là nghi m c a h :
1
6 3 0
2
5 6 1 0
3
x
x y
x y y
=
− + = 
⇔ 
− − = = 
⇒ G
2
1;
3
 
 
 
3 3 1 3 5
3 2 2 0 4
C G A B
C G A B
x x x x
y y y y
= − − = − + =
⇒ 
= − − = + − =
⇒ C (5;4) .V y phương trình BC:
3
2 3 0
8 4
x y
x y
+
= ⇔ − + =
G i H là chân ñư ng cao k t A xu ng BC ⇒ AH =
2 2
1 2.( 2) 3 8
( ; )
51 2
d A BC
− − +
= =
+
Ta có: BC = 2 2
8 4 4 5+ =
1 1 8
. . .4 5 16
2 2 5
ABCS AH BC∆⇒ = = = (ñvdt)
Ví d 3: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G(-2;0) bi t phương trình các c nh AB, AC theo th t là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0. Vi t phương trình BC
Gi i:

13
+) T a ñ ñi m A là nghi m c a h :
4 14 0
2 5 2 0
x y
x y
+ + =

+ − =
4
2
x
y
= −
⇔ 
=
⇒ A( 4;2)−
+) G i B 1 1( ; 4 14)t t− − ∈AB và C 2 2(5 1; 2 )t t+ − ∈AC
+) Vì G là tr ng ∆ ABC nên ta có:
3
3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y y
+ + =

+ + =
1 2 1 2 1
1 2 1 2 2
4 5 1 6 5 3 3
2 4 14 2 0 2 6 0
t t t t t
t t t t t
− + + + = − + = − = −  
⇒ ⇔ ⇔  
− − − = + = − =  
⇒
B(-3;-2)
C(1;0)



V y phương trình BC:
3 2
4 2
x y+ +
= ⇔ 2 1 0x y− − =
Ví d 5: Cho tam giác ABC có trung ñi m c a AB là I(1; 3), trung ñi m AC là J(-3; 0). ði m A thu c Oy và
ñư ng BC qua g c t a ñ O. Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC.
Gi i:
G i A(0; ) Oya ∈
B(2;6 a)
C( 6; a)
−
⇒ 
− −
( Vì I(1; 3), J(-3; 0) l n lư t là trung ñi m c a AB và AC)
Ta có:
OB (2;6 a)
OC ( 6; a)
 = −

= − −
uuur
uuur Mà BC ñi qua g c t a ñ O hay O,B,C th ng hàng
2 6 9
6 2
a
a
a
−
⇒ = ⇔ =
− −
⇒ A
9
0;
2
 
 
 
, B
3
2;
2
 
 
 
, C
9
6;
2
 
− − 
 
Bài 2: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và 2 ñư ng cao BH và CK. Vi t phương trình các c nh.
Cách gi i: +) Vi t phương trình AB, AC v i
AB CK
AC BH
n u
n u
 =

=
uuur uuur
uuur uuur +) Tìm B, C v i
{ }
{ }
B AB BH
C AC CK
=

=
I
I
Ví d 1: Cho tam giác ABC bi t ñ nh A(1; –3); phương trình hai ñư ng cao xu t phát t B và C l n lư t là
x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0. Vi t phương trình c nh BC. (ðs: 3x – 2y – 8 = 0)
Ví d 2 (A – 2004): Cho hai ñi m A (0; 2) và B( 3− ; 1− ). Tìm t a ñ tr c tâm và t a ñ tâm ñư ng tròn ngo i ti p
c a tam giác OAB. (ðs: H( 3; 1)− , ( 3;1)I − )

14
Bài 3: Cho ñ nh A và hai ñư ng trung tr c 1 2,d d c a c nh AB và AC (ho c BC).Vi t phương trình các c nh.
TH1 TH2
Cách gi i: TH1: B, C l n lư t ñ i x ng v i A qua 1d và 2d
B
C

⇒ 

TH2: +) B ñ i x ng v i A qua 1d ⇒B
+) C ñ i x ng v i B qua 2d ⇒ C
Ví d 1: Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2) và hai ñư ng trung tr c c a c nh AB và AC l n lư t là x – 2y – 2 = 0
và x – y + 5 = 0. Vi t phương trình trung tuy n AM c a tam giác ABC. (ðs: y = 2)
Ví d 2 : Cho tam giác ABC có ñi m M(0; 3) thu c ño n AC; hai ñư ng trung tr c c a c nh AB và AC l n lư t có
phương trình là x – 2y – 2 = 0 và x – y + 5 = 0. Vi t phương trình c nh BC c a tam giác ABC bi t AC = 4AM.
(ðs: 4x + 3y – 6 = 0)
Bài 4: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và ñư ng cao BH, trung tuy n CM. L p phương trình các c nh.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñư ng cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñư ng trung tuy n
CM: 8x – y – 3 = 0. Tìm t a ñ ñ nh B, C. (ðs: B(4; –1), C(1; 5))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có phương trình c a trung tuy n AM và ñư ng cao BH l n lư t là: 2x + y – 3 = 0;
2x – y – 4 = 0. ði m
1 5
;
2 2
N
 
− 
 
thu c ño n BC và ñ nh C thu c ñư ng th ng d: x + y – 3 = 0. Vi t phương trình
ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC bi t BC không song song v i hai tr c t a ñ . (ðs:
2 2
3 1 5
2 2 2
x y
   
− + + =   
   
)
Ví d 3: Cho tam giác ABC có ñ nh A(2;1) , ñư ng cao qua ñ nh B có phương trình là : x – 3y – 7 = 0 và ñư ng trung
tuy n qua ñ nh C có phương trình : x + y + 1 = 0.Xác ñ nh t a ñ c a B và C. (ðs: ( 2; 3), (4; 5)B C− − − )
Ví d 4: Cho tam giác ABC cân t i ñ nh A có tr ng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 
 
, phương trình ñư ng th ng BC là x – 2y – 4 = 0 và
ñư ng th ng BG là 7x – 4y – 8 = 0.Tìm t a ñ các ñ nh A,B,C. (ðs:
16 19 52 8
; , (0; 2), ;
9 9 9 9
A B C
   
− −   
   
)
Ví d 5:Cho tam giác ABC có ñ nh A thu c ñư ng th ng d : x – 4y – 2 = 0 , c nh BC song song v i ñư ng th ng d.
Phương trình ñư ng cao BH : x + y + 3 = 0 và trung ñi m c a c nh AC là M(1;1). Tìm t a ñ các ñ nh A,B,C.
(ðs:
2 2 18 3 8 8
; , ; , ;
3 3 5 5 3 3
A B C
     
− − −     
     
)

15
Bài 5: Bi t ñ nh A và trung tuy n CC’, ñư ng trung tr c c a c nh BC. Tìm t a ñ B, C.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC bi t A(5; 13). Phương trình ñư ng trung tr c c nh BC, ñư ng trung tuy n CC’
(C’ thu c AB) l n lư t là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 1 = 0. Vi t phương trình c nh BC. (ðs: x – y + 2 = 0)
Ví d 2 : Cho tam giác ABC có ñư ng trung tr c c a c nh BC c t ñương th ng ñi qua AB t i ñi m (1;2)M và
song song v i ñư ng th ng 2 2013 0x y− + = bi t 2AB MA=
uuur uuur
và ñư ng trung tuy n xu t phát t ñ nh C có
phương trình 11 7 11 0x y+ + = . Tìm t a ñ 3 ñ nh c a tam giác ABC. (ðs:
2 11
(0;1), ( 2; 1), ;
5 5
A B C
 
− − − 
 
)
Bài 6: Bi t trung ñi m M c a AB và trung tuy n AN, ñư ng cao BH. Vi t phương trình các c nh c a ∆ ABC.
Cách gi i:
Ví d 1: Tam giác ABC có ñư ng trung tuy n AN : x – y + 1 = 0, ñư ng cao BH : x + 2y – 1= 0, ño n AB có trung
ñi m M(1; 1). Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC. (ðs: AB: x = 1; AC: 2x – y = 0; BC: 3x – y – 3 = 0)
Ví d 2: Cho tam giác ABC có ñi m M(0; 3) là trung ñi m c a AB. Phương trình trung tuy n AN: 2x – y – 2 = 0,
ñư ng cao BH: x – 3y + 14 = 0.Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC (ðs: 2 2
( 3) ( 3) 50x y+ + + = )

16
Bài 7: Bi t ñ nh A (ho c ñư ng cao xu t phát t A ñi qua ñi m N và tr ng tâm G thu c m t ñư ng th ng…)
c a tam giác ABC và trung tuy n BM, ñư ng cao BH. Vi t phương trình các c nh.
TH1 TH2
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC bi t ñ nh A(1; – 1), ñư ng cao và trung tuy n cùng xu t phát t B l n lư t có phương
trình: x + 2y – 3 = 0 và x + 3y – 5 = 0 . Vi t phương trình BC. (ðs: x – 4y + 9 = 0)
Ví d 2: Cho tam giác ABC bi t ñư ng cao BH và trung tuy n BM l n lư t có phương trình: 4x + 3y + 2 = 0; x – 1 =
0. Tính di n tích tam giác ABC bi t r ng tr ng tâm G c a tam giác thu c ñư ng th ng d: 2x + 3y – 1 = 0 và ñư ng cao
xu t phát t ñ nh A có hoành ñ âm ñi qua ñi m N(3; –3). (ðs: 5ABCS∆ = (ñvdt))
Ví d 3 (D – 2009): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñi m c a c nh AB. ðư ng trung tuy n và ñư ng cao qua
ñ nh A l n lư t có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng AC.
(ðs: 3x – 4y + 5 = 0)
Ví d 4 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC∠ = 900
. Bi t M(1; -1) là trung ñi m c nh BC và G
2
;0
3
 
 
 
là tr ng tâm c a tam giác ABC. Tìm t a ñ các ñ nh A, B, C. (ðs: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; – 2))
Ví d 5 (A – 2009): Cho hình ch nh t ABCD có ñi m I(6; 2) là giao ñi m c a hai ñư ng chéo AC và BD. ði m
M(1; 5) thu c ñư ng th ng AB và trung ñi m E c a c nh CD thu c ñư ng th ng ∆ : x + y – 5 = 0. Vi t phương trình
ñư ng th ng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Bài 8: S d ng ñi u ki n vuông góc (trư ng h p riêng c a Bài 19) ñ gi i bài toán.
Cách gi i:
*) G i t a ñ các ñi m (n u chưa bi t) liên quan t i y u t vuông góc theo m t n nh vào:
+) ñi m thu c ñư ng th ng.
+) ñi m có m i liên h v i ñi m khác: trung ñi m, tr ng tâm, th a mãn h th c véctơ…

17
*) “C t nghĩa” ñi u ki n vuông góc:
0
. 0
. 0
. 0
90 . 0
a b
a b
AB MN AB MN
n n
a b
u u
AMB MA MB
 ⊥ ⇔ =

 = 
⊥ ⇒ 
= 

∠ = ⇔ =
uuur uuuur
uur uur
uur uur
uuur uuur
( ) 0 ?f t t⇒ = ⇒ = ⇒ t a ñ các ñi m
Ví d 1 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñ nh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) v i m ≠ 0. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a
tam giác ABC theo m. Xác ñ nh m ñ tam giác GAB vuông t i G. (ðs: (1; ), 3 6
3
m
G m = ± )
Ví d 2 (D – 2008): Cho (P): 2
16y x= và ñi m A(1; 4). Hai ñi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ñ ng trên (P) sao
cho BAC∠ = 0
90 . Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh. (ðs: ñi m c ñ nh I(17; –4))
Ví d 3 (A – 2009): Cho hình ch nh t ABCD có ñi m I(6; 2) là giao ñi m c a hai ñư ng chéo AC và BD. ði m
M(1; 5) thu c ñư ng th ng AB và trung ñi m E c a c nh CD thu c ñư ng th ng ∆ : x + y – 5 = 0. Vi t phương trình
ñư ng th ng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Ví d 4: Cho ñi m M(3; 3), vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua I(2; 1) c t Ox, Oy l n lư t t i A và B sao cho tam
giác AMB vuông t i M. (ðs: x + 2y – 4 = 0 và x + y – 3 = 0).
CHÚ Ý:
Qua các bài toán trên liên quan t i y u t trung tuy n và ñư ng cao, ñư ng trung tr c các em có th rút ra ñư c m t
vài ñi u như sau (tuy ñơn gi n nhưng hư ng tư duy này s giúp chúng ta gi i quy t t t nh ng bài toán d ng trên):
+) N u M là trung ñi m c a AB
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
+ =
⇒ 
+ =
: nghĩa là khi có d ki n này s giúp chúng ta thi t l p ñư c 2
phương trình
+) AH là ñư ng cao c a BC: giúp chúng ta bi t ñư c phương c a ñư ng này n u bi t ñư ng kia.
+) d là trung tr c c a BC: nghĩa là B ñ i x ng v i C qua d.
Lo i 1.2: Các bài toán v ñư ng phân giác trong
Bài 9: Bi t ñ nh A và hai ñư ng phân giác trong BB’ và CC’. L p phương trình BC.
Cách gi i:
+) Tìm 1A ñ i x ng v i A qua BB’ 1A BC⇒ ∈ (1) +) Tìm 2A ñ i x ng v i A qua CC’ 2A BC⇒ ∈ (2)
+) T (1) và (2) ⇒ phương trình BC (chính là phương trình 1 2A A )
Ví d 1: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 1), phương trình ñư ng phân giác trong góc B,
góc C l n lư t là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0. L p phương trình c nh BC. (ðs:x + 23y + 46 = 0)
Ví d 2: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ñư ng phân giác trong góc B, góc C l n
lư t là BD: 6x + 8y – 17 = 0; CE: x – 2y + 3 = 0, ñi m M
17
1;
7
 
− 
 
và N
1
1;
3
 
 
 
l n lư t thu c c nh AB, AC. Tìm t a
ñ các ñ nh c a tam giác ABC. (ðs:A(0; – 1), B
7
;3
6
 
− 
 
, C(3; 3))

18
Bài 10: Bi t ñ nh A và trung tuy n BM, phân giác trong BD. Vi t phương trình các c nh.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; 4), ñư ng phân giác trong và trung tuy n xu t phát t ñ nh B l n lư t có
phương trình x – y + 1 = 0 và 2x + 3y – 4 = 0. Tìm t a ñ ñ nh C. (ðs:C(–1; 6))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2), ñư ng phân giác trong và trung tuy n xu t phát t ñ nh B l n lư t có
phương trình 2x + y – 1 = 0 và 2x + 3y – 3 = 0. Tìm t a ñi m D là chân ñư ng phân giác trong c a góc B xu ng AC.
( ðs: D( 5;11)− )
Bài 11: Bi t ñ nh A và trung tuy n BM, phân giác trong CD. Vi t phương trình các canh.
Cách gi i:
Ví d 1: Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2), ñư ng trung tuy n BM: 2x + y + 1 = 0 và phân
giác trong CD: x + y – 1 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng BC (ðs: 4x + 3y + 4 = 0).
Ví d 2: Cho tam giác ABC có chân ñư ng trung tuy n k t B xu ng AC là M(1; – 1), ñư ng phân giác trong c a
góc C là x + y – 2 = 0. Vi t phương trình c nh AC bi t ñi m N(–7; 7) thu c c nh BC. (ðs: 5x + 3y – 2 = 0)
Ví d 3 (D – 2011 ): Cho tam giác ABC có ñ nh B(– 4; 1), tr ng tâm G(1; 1) và ñư ng th ng ch a phân giác trong
c a góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh A và C. (ðs: (4;3), (3; 1)A C − )

19
Bài 12: Bi t ñ nh A và ñư ng cao BH, phân giác trong BD. Vi t phương trình các c nh tam giác.
Cách gi i:
Ví d : Tam giác ABC có A(-3;1), ñư ng cao BH, phân giác trong BD l n lư t có phương trình: x + 7y + 32 = 0 và
x + 3y + 12 = 0. Tìm t a ñ ñi m C. (ðs: C(–4; – 6) )
Bài 13: Bi t ñ nh A và ñư ng cao BH, phân giác trong CD. Vi t phương trình các c nh tam giác.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có C(–2; 3). ðư ng cao c a tam giác k t ñ nh A và ñư ng phân giác trong c a góc B
l n lư t là: 3x – 2y – 25 = 0; x – y = 0. Vi t phương trình c nh AC c a tam giác. (ðs: 8x + 7y – 5 = 0)
Ví d 2 (B – 2008): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy xác ñ nh t a ñ ñ nh C c a tam giác ABC bi t r ng hình
chi u vuông góc c a C trên ñư ng th ng AB là ñi m H(– 1; – 1), ñư ng phân giác trong c a góc A có phương trình
x – y + 2 = 0 và ñư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. (ðs:
10 3
;
3 4
C
 
− 
 
)
CHÚ Ý:
Như v y qua các bài toán liên quan ñ n ñư ng phân giác trong c a tam giác các em s nh n th y ta luôn tìm thêm
ñi m ñ i x ng v i ñi m ñã bi t t a ñ trên c nh k c a góc ch a phân giác qua phân giác ñó , và ñi m ñó s thu c
c nh k còn l i (ñây là ñ c ñi m luôn ñư c khai thác khi có bài toán ch a phân giác)

20
Lo i 2: Các bài toán v ð nh Lư ng
Bài 14: Bi t ñ nh A ho c tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c m t ñư ng th ng d cho trư c.
Bi t t a ñ ñ nh B, C và di n tích tam giác ABC( ho c di n tích c a 1 trong 3 tam giác ABG, BCG, CAG) . Tìm
t a ñ ñ nh A.(N u bi t thêm trung tuy n AM thì thay d ki n bi t t a ñ B, C b i bi t ñư ng th ng BC và câu h i là
tìm t a ñ ñ nh B, C)
TH1 TH2
Cách gi i:
(trư ng h p riêng c a Bài 16)
Ví d 1 (B – 2004): Cho hai ñi m A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñi m C thu c ñư ng th ng x – 2y – 1 = 0 sao cho kho ng
cách t C ñ n ñư ng th ng AB b ng 6. ( ðs: (7;3)C ho c
43 27
;
11 11
C
 
− − 
 
)
Ví d 2: Cho tam giác ABC v i A(2; –1), B(1; –2), tr ng tâm G c a tam giác n m trên ñư ng th ng x + y – 2 = 0.
Tìm t a ñ ñ nh C bi t tam giác ABC có di n tích là 13,5. (ðs: C(15; –9) ho c C(–12;18))
Ví d 3: Cho tam giác ABC v i A(1; 1), B(–2; 5), tr ng tâm G thu c ñư ng th ng 1∆ : 2x + 3y – 1 = 0, ñ nh C thu c
ñư ng th ng 2∆ : x + y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC. (ðs: 6ABCS∆ = (ñvdt))
CHÚ Ý: Tam giác ABC có G là tr ng tâm thì:
1
3
ABG BCG CAG ABCS S S S∆ ∆ ∆ ∆= = =

21
Bài 15: Bi t ñ nh A và phương trình ñư ng th ng BC và hình chi u H c a A xu ng BC chia theo BH kHC=
uuur uuur
và bi t
di n tích tam giác ABC (ho c bi t ñ dài ño n BC). Tìm t a ñ B, C.
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC có ñ nh A(2; – 2) và phương trình ñư ng th ng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chi u H c a
A xu ng BC th a mãn 6HC BH= −
uuur uuur
. Tìm t a ñ các ñi m B và C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 7,5 .
(ðs: B(1; 1), C(5; 4))
Ví d 2 (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có ñ nh A(–1;4) và các ñ nh B,C thu c ñư ng th ng
∆: x – y – 4 = 0. Xác ñ nh to ñ các ñi m B và C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 18.
( ðs:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
Ví d 3 (B – 2002): Cho hình ch nh t ABCD có tâm I
1
;0
2
 
 
 
, phương trình ñư ng th ng AB là x – 2y + 2 = 0 và
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
Bài 16:
TH1: Bi t ñ nh A và phương trình ñư ng th ng BC, ñư ng th ng d ñi qua ñi m H thu c BC th a mãn BH kHC=
uuur uuur
và bi t di n tích tam giác ABC (ho c bi t ñ dài ño n BC). Tìm t a ñ B, C.
TH2: Bi t phương trình AC và bi t phương trình ñi qua A căt BC t i H (bi t A), bi t B ( ho c C) và th a mãn
BH.BC = k. Tìm ñ nh còn l i.
BH.BC = k
TH1 TH2

22
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 1), c nh BC có phương trình 3x – 4y + 6 = 0. ðư ng th ng d c t ño n BC t i
ñi m H sao cho HC = 3BH. Xác ñ nh t a ñ ñi m B, C bi t ñư ng th ng d có phương trình x – 4y + 8 = 0 và tam giác
ABC có di n tích b ng 1,5. (ðs: B(2; 3), C(-2; 0) )
Ví d 2 (B – 2011): Cho hai ñư ng th ng ∆ : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm t a ñ ñi m N thu c ñư ng th ng
d sao cho ñư ng th ng ON c t ñư ng th ng ∆ t i ñi m M th a mãn OM.ON = 8. (ðs: (0; 2)N − ho c
6 2
;
5 5
N
 
 
 
Bài 17: Bi t t a ñ ñi m A, ñư ng phân giác trong c a góc B và cho bi t ñ l n góc B và di n tích tam giác ABC.
Tìm t a ñ B,C
Cách gi i:
Bài t p áp d ng (Các em hãy d a vào ý tư ng Bài 17 ñ gi i ví d sau)

23
Ví d (B – 2010): Cho tam giác ABC vuông t i A có ñ nh C(– 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y – 5 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC b ng 24 và ñ nh A có hoành ñ dương.
Bài 18: Tam giác ABC cân t i A, bi t AB và BC n m l n lư t trên 2 ñư ng th ng 1 2,d d . Bi t M 0 0( ; )x y ∈ AC. Tìm
t a ñ các ñ nh.
Cách gi i:
C2:
+) Tìm 1 2{ }B d d= I
+) Vi t phương trình 3d qua M song song v i 2d
+) Tìm 1 3{ }N d d= I ⇒ phương trình trung tr c 4d c a MN 4 1{ }A d d⇒ = I
+) Vi t phương trình AM 2{C} AM d⇒ = I
NH N XÉT: C2 hay hơn C1
Ví d 1: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình hai c nh BC, AB l n lư t là: x – 3y – 1 = 0 và x – y – 5 = 0.
ðư ng th ng AC ñi qua M(–4; 1). Tìm t a ñ ñ nh C. (ðs:
8 1
;
5 5
C
 
 
 
).
Ví d 2: Trong m t ph ng Oxy, hãy xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC vuông cân t i A. Bi t r ng c nh
huy n n m trên ñư ng th ng d: x + 7y – 31 = 0, ñi m N(7; 7) thu c ñư ng th ng AC, ñi m M(2; –3) thu c AB và
n m ngoài ño n AB. (ðs: ( 1;1), ( 4;5), (3;4)A B C− − )
Ví d 3: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình AB, BC l n lư t là y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0. Tính di n tích

24
tam giác ABC bi t AC ñi qua ñi m M(–1; 2) (ðs: 8ABCS∆ = ).
Ví d 4 (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có ñ nh A(6; 6); ñư ng th ng ñi qua trung ñi m c a các c nh
AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh B và C, bi t ñi m E(1; - 3) n m trên ñư ng cao ñi qua
ñ nh C c a tam giác ñã cho. (ðs: (0; 4), ( 4;0)B C− − ho c ( 6;2), (2; 6)B C− − )
Ví d 5 (B – 2007): Cho ñi m A(2; 2) và các ñư ng th ng 1d : x + y – 2 = 0, 2d : x + y – 8 = 0. Tìm t a ñ các ñi m
B và C l n lư t thu c 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân t i A. (ðs: ( 1;3), (3;5)B C− ho c (3; 1), (5;3)B C− )
Ví d 6 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có ñ nh B
1
;1
2
 
 
 
. ðư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i các
c nh BC, CA, AB tương ng t i các ñi m D, E, F. Cho D(3; 1) và ñư ng th ng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm t a
ñ ñ nh A, bi t A có tung ñ dương. ( ðs:
13
3;
3
A
 
 
 
)
Bài 19: Các ñi m liên h v i nhau b i m t n và m t ñi u ki n v ñ nh lư ng
Cách gi i:
+) Khai thác d ki n bài toán ñ chuy n các ñi m v 1 n t (nh thu t toán tìm ñi m)
+) Thi t l p phương trình: ( ) 0 ?f t t= ⇒ = ⇒ các ñi m c n tìm.
CHÚ Ý: Bài 8 là trư ng h p ñ c bi t c a Bài 19 khi ñi u ki n ñ nh lư ng là ñi u ki n góc 0
90 (vuông góc).
Ví d 1: Cho tam giác ABC vuông t i A. Hai ñi m A, B thu c tr c hoành. Phương trình c nh BC là 4x + 3y – 16 = 0.
Xác ñ nh t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC, bi t bán kính ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC b ng 1.
(ðs: G
4
2;
3
 
 
 
ho c G
4
6;
3
 
− 
 
)
Ví d 2 (A – 2002): Cho tam giác ABC vuông t i A, phương trình ñư ng th ng BC là 3x y 3 0− − = , các ñ nh A và B
thu c tr c hoành và bán kính ñư ng tròn n i ti p b ng 2. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC.
(ðs:
7 4 3 6 2 3
;
3 3
G
 + +
  
 
ho c
4 3 1 6 2 3
;
3 3
G
 − − − −
  
 
)
Ví d 3 (D – 2008): Cho (P): 2
16y x= và ñi m A(1; 4). Hai ñi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ñ ng trên (P) sao
cho góc 0
90BAC∠ = . Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh. (ðs: ñi m c ñ nh I(17; –4))
Ví d 4 (A – 2006): Cho các ñư ng th ng: 1d : x + y + 3 = 0, 2d : x – y – 4 = 0, 3d : x – 2y = 0. Tìm t a ñ ñi m M
n m trên ñư ng th ng 3d sao cho kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng 1d b ng hai l n kho ng cách t M ñ n ñư ng
th ng 2d . (ðs: ( 22; 11)M − − ho c (2;1)M )
Ví d 5 (B – 2005): Cho hai ñi m A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i
ñi m A và kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng 5.
(ðs: 2 2
( ):( 2) ( 1) 1C x y− + − = ho c 2 2
( ):( 2) ( 7) 49C x y− + − = )
Ví d 6 (A – 2005): Cho hai ñư ng th ng d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0 tìm t a ñ các ñ nh c a hình vuông
ABCD bi t r ng ñ nh A thu c d1 , ñ nh C thu c d2 và các ñ nh B, D thu c tr c hoành.
(ðs: (1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)A B C D− ho c (1;1), (2;0), (1; 1), (0;0)A B C D− )
Ví d 7 (D – 2006): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 2 2 1 0C x y x y+ − − + = và ñư ng th ng d: x – y + 3 = 0. Tìm t a ñ
ñi m M n m trên d sao cho ñư ng tròn tâm M, có bán kính g p ñôi bán kính ñư ng tròn (C), ti p xúc ngoài v i ñư ng
tròn (C). ( ðs: (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
Ví d 8 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñ nh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) v i m ≠ 0. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a

25
tam giác ABC theo m. Xác ñ nh m ñ tam giác GAB vuông t i G. (ðs: (1; ), 3 6
3
m
G m = ± )
1
;0
2
 
 
 
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
D ng 2: Các bài toán v ñư ng th ng
Lo i 1: ði qua m t ñi m và th a mãn m t y u t ñ nh lư ng
Cách gi i chung:
C1:
+) G i phương trình ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có h s góc k có d ng:
0 0( )y k x x y= − + hay 0 0 0kx y y kx− + − = ( ∆ )
+) Sau ñó “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng ñ thi t l p phương trình: ( ) 0 ?f k k= ⇒ = ⇒ phương trình ∆ .
C2:
+) G i phương trình ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có vtpt ( ; )n a b=
r
( 2 2
0a b+ ≠ ) có d ng:
0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = hay 0 0 0ax by ax by+ − − = ( ∆ )
+) Sau ñó “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng ñ thi t l p phương trình: ( , ) 0f a b a kb= → = (*)
+) T (*) ch n
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình ∆
CHÚ Ý: Chúng ta ñã s d ng cách này trong Bài 18
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m M(1; 4) và N(6; 2). L p phương trình ñư ng th ng ∆ qua M sao
cho kho ng cách t N t i ∆ b ng 5. (ðs: 21 20 59 0x y− + = và x = 1).
Ví d 2: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m A(1; 2) và B(5; –1). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M(3; 5)
và cách ñ u A và B. (ðs: 3x + 4y – 29 = 0 và x = 3)
Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(1; 2). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M c t Ox, Oy l n lư t t i hai
ñiêm A, B sao cho OAB là tam giác vuông cân. (ðs: x + y – 3 = 0 và x – y + 1 = 0)
Ví d 4: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(4; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M sao cho nó t o v i hai tr c
t a ñ m t tam giác có di n tích b ng 3. (ðs: 3 2 6 0x y− − = và 3x – 8y + 12 = 0).
Ví d 5: Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) và C(-1; 0). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi
qua C và chia tam giác thành hai ph n b ng nhau, ph n ch a ñi m A có di n tích g p ñôi ph n ch a ñi m B.
(ðs: 6x – 5y + 6 = 0).
Ví d 6: Trong m t ph ng Oxy, cho ba ñi m A( - 1; 2), B(5; 4) và M(2; 5). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua M
và cách ñ u hai ñi m A và B (ðs: 5x – 3y + 13 = 0 và x = 2)
Ví d 7: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(9; 4). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M, c t hai tia Ox và tia Oy t i
A và B sao cho:
1) tam giác OAB có di n tích nh nh t. (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)
2) OB + OC nh nh t. (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)
Ví d 8 : Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có c nh AB n m trên ñư ng th ng x – 2y + 5 = 0 và ba ñi m
M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) l n lư t thu c các c nh BC, CD và AD. Vi t phương trình c nh AD.
(ðs: 2 3 0x y+ − = ho c 11 2 39 0x y− + = )

26
CHÚ Ý:
+) N u bài toán ñ c p t i các ñi m A(a; 0) và B(0; b) là các giao ñi m v i hai tr c t a ñ các em có th vi t
phương trình ñư ng th ng theo ño n ch n ñi qua AB: 1
x y
a b
+ =
+) N u A(a; 0) , B(0; b) thì OA = a và OB = b
Lo i 2: C t ñư ng tròn, Elip (xem D ng 3, D ng 4)
D ng 3: Các bài toán v ñư ng tròn
Lo i 1: Vi t phương trình ñư ng tròn và xác ñ nh các y u t c a ñư ng tròn
Bài 1: Thi t l p phương trình ñư ng tròn
Cách gi i chung:
C2: +) G i phương trình ñư ng tròn có d ng 2 2
0x y ax by c+ + + + =
+) Tìm a, b, c nh “c t nghĩa” d ki n bài toán
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Vi t phương trình ñư ng tròn:
1) ñư ng kính AB v i A(3; 1) và (B(2; – 2).
2) Có tâm I(1; – 2) và ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + y – 2 = 0.
3) Có bán kính b ng 5, tâm thu c tr c hoành và ñi qua A(2; 4).
4) Có tâm I(2; – 1) và ti p xúc ngoài v i ñư ng tròn: 2 2
( 5) ( 3) 9x y− + − =
5) có tâm n m trên ñư ng th ng ∆ và ti p xúc v i hai tr c t a ñ Ox, Oy.
6) qua A(–2; –1), B(–1; 4) và C(4; 3) (ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC).
7) qua A(0; 2), B(–1; 1) và có tâm n m trên ñư ng th ng 2x + 3y = 0.
8) qua A(5; 3) và ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + 3y + 2 = 0 t i ñi m T(1; –1).
9) N i ti p tam giác OAB bi t A(3; 0) và B(0; 4).
Ví d 2(A – 2007): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) và C(4; – 2). G i H
là chân ñư ng cao k t B; M và N l n lư t là trung ñi m c a các c nh AB và BC. Vi t phương trình ñư ng tròn ñi
qua các ñi m H, M, N. ( ðs: 2 2 2
2 0x y z x y+ + − + − = )
Ví d 3(B – 2010 – NC): Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(2; 3 ) và (E):
2 2
1
3 2
x y
+ = . G i 1F và 2F là các
tiêu ñi m c a (E) ( 1F có hoành ñ âm); M là giao ñi m có tung ñ dương c a ñương th ng 1AF v i (E); N là ñi m ñ i
x ng c a 2F qua M. Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác 2ANF . (ðs:
2
2 2 3 4
( 1)
3 3
x y
 
− + − =  
 
)

27
Bài 2: Xác ñ nh tâm và bán kính. L p phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn
Cách gi i chung:
*) Xác ñ nh tâm và bán kính
trong ñó
2 2
0
2 2
a b
c
   
+ − >   
   
: ði u ki n t n t i ñư ng tròn.
C2: S d ng h ng ñ ng th c (tách ghép) ñưa ñư ng tròn v d ng:
trong ñó 0h > : ði u ki n t n t i ñư ng tròn.
*) L p phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn
C1: N u bi t ti p ñi m M ⇒ phương trình ti p tuy n d c a (C) t i M nh n IM
uuur
làm véc tơ pháp tuy n.
C2: N u không bi t ti p ñi m thì dùng ñi u ki n : ∆ là ti p tuy n c a (C) ( , )d I R⇔ ∆ =
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho ñư ng tròn (C): 2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
1) Tìm tâm và bán kính c a (C).
2) Cho A(3; – 1). Ch ng minh A là ñi m n m trong ñư ng tròn. Vi t phương trình ñư ng th ng qua A và c t (C)
theo m t dây cung có ñ dài nh nh t.
3) Cho d: 3x – 4y = 0. Ch ng minh d c t (C) t i hai ñi m phân bi t M, N và sau ñó tính MN.
Ví d 2(Các bài toán cơ b n: Vi t phương trình ti p tuy n t i m t ñi m cho trư c, có phương cho trư c và qua 1
ñi m cho trư c) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn:
1) 2 2
( 3) ( 1) 25x y− + + = t i ñi m có hoành ñ b ng – 1
2) 2 2
4 2 5 0x y x y+ + − − = t i ñi m ñư ng tròn c t tr c Ox.
3) 2 2
2x y+ = có h s góc b ng 1.
4) 2 2
2 24 0x y y+ − − = bi t ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng 3x – 4y + 2012 = 0.
5) có tâm I(2; 1), bán kính R = 3 và ñi qua ñi m A(–1; 2).
Lo i 2: S tương giao
Lo i 2.1: S tương giao gi a ñư ng th ng và ñư ng tròn

28
Bài 1: Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M 0 0( ; )x y c t ñư ng tròn (C) t i A, B sao cho AB = l.
Cách gi i
+) G i ( ; )n a b∆ = ⇒
uur
phương trình ∆ : 0 0 0 0( ) ( ) 0 : ( ) 0a x x b y y ax by ax by− + − = ⇔ ∆ + − + =
+) T (*) ta ch n :
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình ∆ ( N u mu n tìm c th A, B ta gi i h :
( )C
∆


)
Ví d 1: Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 6 4 12 0C x y x y+ − + − = . Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M(1; 3) c t (C)
theo dây cung AB có ñ dài b ng 2 . (ðs: x – y + 2 = 0 và x + 41y – 124 = 0)
Ví d 2 (A – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và ñư ng th ng ∆ : 2 3 0x my m+ − + = ,
v i m là tham s th c. G i I là tâm c a ñư ng tròn (C). Tìm m ñ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho
di n tích tam giác IAB l n nh t. (ðs: 0m = ho c
8
15
m = )
( ðs:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
Ví d 4(D – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) :( 1) 1C x y− + = . G i I là tâm c a (C). Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c
(C) sao cho IOM∠ = 0
90 . ( ðs:
3 3
;
2 2
M
 
  
 
ho c
3 3
;
2 2
M
 
−  
 
)
( ) : 4 2 15 0C x y x y+ − + − = . G i I là tâm ñư ng tròn (C). Vi t phương trình ñư ng
thăng ∆ qua M(1; –3) c t (C) t i A, B sao cho tam giác IAB có di n tích b ng 8 và c nh AB là c nh l n nh t.
(ðs: 4x + 3y + 5 = 0 và y + 3 = 0)
( ) :( 1) ( 2) 4C x y− + − = và ñi m M(2; 1). Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ qua M c t
(C) t i 2 ñi m A, B sao cho
1) Dây cung AB l n nh t. (ðs: x + y – 3 = 0)
2) Dây cung AB ng n nh t. (ðs: x – y – 1 = 0)
Ví d 7: Cho ñư ng tròn (C) : 2 2
1x y+ = .ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i 2 ñi m A,B sao cho 2AB = .
Vi t phương trình ñư ng th ng AB. ( ðs: 1 0x y+ + = ho c 1 0x y+ − = )

29
Bài 2: Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ bi t 0 0( ; )n a b∆ =
uur
(ho c ph i tìm nh quan h song song ho c vuông góc) c t
ñư ng tròn (C) t i 2 ñi m phân bi t A, B và th a mãn m t ñi u ki n v ñ nh lư ng.
Cách gi i:
+) Phương trình ∆ có 0 0( ; )n a b∆ =
uur
: 0 0 0a x b y m+ + = 0
0
a x m
y
b
− −
⇒ = (*) (n u 0
0
0
m
b x
a
−
= ⇒ = )
+) Thay (*) vào phương trình ñư ng tròn (C) 2
0ax bx c⇒ + + = (2*) (phương trình ch a tham s m)
+) G i 1 1 2 2 1 2( ; ), ( ; ) ,A x y B x y x x⇒ là nghi m c a phương trình (2*). N u 1 2,x x bi u di n theo m :
Ví d 1(D – 2011 – NC): Cho ñi m A(1; 0) và ñư ng tròn (C): 2 2
2 4 5 0x y x y+ − + − = . Vi t phương trình ñư ng
th ng ∆ c t (C) t i hai ñi m M và N sao cho tam giác AMN vuông cân t i A. (ðs: 1y = ho c 3y = − )
Ví d 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; –7), tr c tâm H(3; –1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I(–2;
0). Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hoành ñ dương. (ðs: ( 2 65;3)C − + )
( ) :( 2) ( 3) 10C x y− + − = . Xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a hình vuông ngo i ti p ñư ng
tròn, bi t c nh AB ñi qua ñi m ( 3; 2)M − − và ñ nh A có hoành ñ dương. ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7))
Bài 3: Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng ∆ và cách m t ñi m c ñ nh I m t kho ng không ñ i (MI = R)
Cách gi i : Có th hi u bài toán này theo 2 cách (b n ch t là m t)
C2: T a ñ ñi m M là nghi m c a h :
( )C
∆


( ñây (C) là ñư ng tròn tâm I bán kính R)
CHÚ Ý:
+)V i C1 chúng ta không c n quan tâm t i bài toán v s tương giao gi a ñư ng th ng và ñư ng tròn
(ñ c p C2) và gi i theo phương pháp ñ i s thông thư ng.
+) V i C2 ta th y rõ hơn b n ch t c a bài toán.
+) C1 và C2 là hai cách trình bày khác nhau c a cùng m t phương pháp th trong gi i h phương trình.
+) Có th chúng ta chưa nhìn th y luôn ñi m I . Khi ñó ñ bài thư ng cho bi t ñi m M nhìn ño n AB c ñ nh dư i m t
góc vuông (I lúc này là trung ñi m c a AB), và có th ph i thông qua m t vài khâu c t nghĩa v y u t ñ nh lư ng
thì ta m i có ñư c MI = R = const…
+) Ý tư ng c a Bài toán này xu t hi n r t nhi u trong các kì thi ð i H c các năm qua.

30
Ví d 1 (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao
cho CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
(ðs : (1; 1)A − ho c (4;5)A )
Ví d 2 (A – 2011 – CB ): Cho ñư ng th ng ∆: x + y + 2 = 0 và ñư ng tròn (C): 2 2
4 2 0x y x y+ − − = . G i I là tâm
c a (C), M là ñi m thu c ∆ . Qua M k các ti p tuy n MA và MB ñ n (C) (A và B là các ti p ñi m). Tìm t a ñ ñi m
M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10. (ðs : (2; 4)M − ho c ( 3;1)M − )
Ví d 3 (A – 2010 – CB): Cho hai ñư ng th ng 1 : 3 0d x y+ = và 2 : 3 0d x y− = . G i (T) là ñư ng tròn ti p xúc
v i 1d t i A, c t 2d t i hai ñi m B và C sao cho tam giác ABC vuông t i B. Vi t phương trình c a (T), bi t tam giác
ABC có di n tích b ng
3
2
và ñi m A có hoành ñ dương. (ðs :
2 2
1 3
1
22 3
x y
   
+ + + =  
  
)
Ví d 4 (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; –7), tr c tâm là H(3; –1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là
I(–2; 0). Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hoành ñ dương. (ðs : ( 2 65;3)C − + )
Ví d 5 (D – 2010 – NC): Cho ñi m A(0; 2) và ∆ là ñư ng th ng ñi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên
∆ . Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ , bi t kho ng cách t H ñ n tr c hoành b ng AH.
(ðs : ( 5 1) 2 5 2 0x y− − − = ho c ( 5 1) 2 5 2 0x y− + − = )
Ví d 6 (B – 2009 – CB ): Cho ñư ng tròn (C): (x – 2)2
+ y2
=
4
5
và hai ñư ng th ng ∆1: x – y = 0 và ∆2: x – 7y = 0.
Xác ñ nh to ñ tâm K và bán kính c a ñư ng tròn (C1); bi t ñư ng tròn (C1) ti p xúc v i các ñư ng th ng ∆1, ∆2 và
tâm K thu c ñư ng tròn (C). (ðs :
8 4
;
5 5
K
 
 
 
và bán kính
2 2
5
R = )
(ðs :
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
( ) : ( 1) ( 2) 9C x y− + + = và ñư ng th ng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñ trên d
có duy nh t m t ñi m P mà t ñó có th k ñư c hai ti p tuy n PA, PB t i (C) (A, B là các ti p ñi m) sao cho tam
giác PAB ñ u. (ðs : 19m = ho c 41m = − )
tròn (C). (ðs : (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
Ví d 10 (B – 2005): Cho hai ñi m A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i
ñi m A và kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng 5.
(ðs : 2 2
( 2) ( 1) 1x y− + − = ho c 2 2
( 2) ( 7) 49x y− + − = )
Ví d 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC = 900
. Bi t M(1; -1) là trung ñi m c nh BC và G
2
;0
3
 
 
 
là tr ng tâm c a tam giác ABC. Tìm t a ñ các ñ nh A, B, C. (ðs : (0;2), (4;0), ( 2; 2)A B C − − )
1
;0
2
 
 
 
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs : ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
Ví d 13: Cho tam giác ABC có tr c tâm là H(–1; 4), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I(–3; 0) và trung ñi m c a c nh
BC là M(0; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng AB, bi t B có hoành ñ dương. (ðs: 3x + 7y – 49 = 0)

31
Ví d 14: Cho ba ñi m I(1; 1), M(–2; 2) và N(2; –2). Tìm t a ñ các ñ nh c a hình vuông ABCD sao cho I là tâm c a
hình vuông, M thu c c nh AB, K thu c c nh CD và A có hoành ñ dương. (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1))
Ví d 15: Cho tam giác ABC có tr ng tâm là G
1 1
;
3 3
 
 
 
, tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I
2 4
;
5 5
 
− 
 
và trung ñi m
c a c nh BC là M(–1; 2). Vi t phương trình ñư ng th ng AC, bi t B có hoành ñ âm. (ðs: 3x + y – 6 = 0)
Ví d 16: Cho ñư ng tròn ( C ) : 2 2
8 6 21 0x y x y+ − + + = và ñư ng th ng d : x + y – 1 = 0.Xác ñ nh t a ñ các
ñ nh c a hình vuông ABCD ngo i ti p (C) bi t A thu c d và hoành ñ c a ñi m B l n hơn hoành ñ c a ñi m D)
(ðs : (6;5), (6; 1), (2;1), (2; 5)A B C D− − ho c (2;1), (6; 1), (6;5), (2; 5)A B C D− − )
Bài 4: Qua ñi m M 0 0( ; )x y n m ngoài ñư ng tròn (C) có tâm I bán kính R.
1) Vi t phương trình ti p tuy n 1 2,MT MT ñ n ñư ng tròn.
2) Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua 1 2,T T .
3) Tính di n tích t giác 1 2MT IT .
Cách gi i:
Cách vi t t ng quát v phương trình ti p tuy n:
TH1: N u bi t ti p ñi m T ⇒ ti p tuy n ∆ c a (C) ñi qua T nh n IT
uur
làm vtpt⇒ phương trình ∆
TH2: N u không bi t ti p ñi m thì dùng ñi u ki n : ∆ là ti p tuy n c a (C) ( , )d I R⇔ ∆ =
1) Như v y v i bài toán này ta s làm theo TH2 :
+) G i ∆ ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có vtpt ( ; )n a b=
r
( 2 2
0a b+ ≠ ) có d ng:
0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = hay 0 0 0ax by ax by+ − − = ( ∆ )
+) T (*) ch n
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình 1 2,∆ ∆ hay phương trình 1 2,MT MT
( m t trong hai phương trình (*) có th có: a = 0 ho c b = 0)
CHÚ Ý: Có th tìm c th t a ñ 1 2,T T nh gi i h :
( )C
∆


2) +) G i 0 0( ; )T x y là ti p ñi m c a ti p tuy n k t M ñ n (C)
( )
. 0
T C
MT IT
∈
⇒ 
=
uuur uur (*)
3) 1 2 1 1 1 1
1
2 2. . .
2
MT IT MT IS S MT IT MT R= = = v i 2 2
1MT MI R= −

32
Ví d 1(B – 2006): Cho ñư ng tròn: 2 2
( ) : 2 6 6 0C x y x y+ − − + = và ñi m M(– 3; 1). G i 1T và 2T là các ti p ñi m
c a các ti p tuy n k t M ñ n (C). Vi t phương trình ñư ng th ng 1T 2T . (ðs: 2 3 0x y+ − = )
Ví d 2: (A – 2011 – CB): Cho ñư ng th ng ∆: x + y + 2 = 0 và ñư ng tròn (C): 2 2
4 2 0x y x y+ − − = . G i I là tâm
c a (C), M là ñi m thu c ∆ . Qua M k các ti p tuy n MA và MB ñ n (C) (A và B là các ti p ñi m). Tìm t a ñ ñi m
M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10. (ðs : (2; 4)M − ho c ( 3;1)M − )
Bài 5:Cho ñư ng th ng ∆ , ñư ng tròn (C) có tâm I và hai ñi m ,M N n m ngoài ñư ng tròn.
1) Tìm ñi u ki n ñ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.
2) Tìm K thu c (C) sao cho di n tích tam giác KMN l n nh t, nh nh t.
3) Tìm P thu c ∆ sao cho qua P k hai ti p tuy n 1 2,PT PT sao cho di n tích tam giác 1 2ITT l n nh t.
TH1 TH2 TH3
Cách gi i :
Ví d 1 : Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 2 3 0C x x y− + − = . G i B, C là giao ñi m c a ñư ng th ng : 3 0x y∆ + − = . Hãy
tìm các ñi m A trên ñư ng tròn (C) sao cho tam giác ABC có chu vi l n nh t. (ðs : (1 2; 2)A − − )
Ví d 2 : Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 4 6 12 0C x y x y+ − − + = có tâm I và ñư ng th ng : 4 0x y∆ + − = . Tìm trên
ñư ng th ng ∆ ñi m M sao cho ti p tuy n k t M ti p xúc v i (C) t i A, B mà tam giác IAB có di n tích l n nh t.
(ðs :
3 3 5 3 3 3 5 3
( ; ), ( ; )
2 2 2 2
M M
+ − − +
)
Ví d 3 : Cho ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC v i A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; 2 1− ) và ñư ng th ng

33
∆ : 4 4 0x y+ − = . Tìm trên ñư ng th ng ∆ ñi m M sao cho ti p tuy n c a (C) qua M ti p xúc v i C t i N sao cho
di n tích tam giác NAB l n nh t. (ðs :
6 4
(2; 4), ( ; )
5 5
M M− − )
Bài 6: Vi t phương trình ∆ qua 0 0( ; )M x y c t ñư ng tròn (C) có tâm I, bán kính R t i A, B sao cho MA kMB= .
Cách gi i :
C1 : +) ð t IH h=
2 2
2 2
MH IM h
HA HB R h
 = −
→ 
= = −
(*)
CHÚ Ý:
+) Cách gi i trên th y s d ng trư ng h p 1k > ( v i 1k < các em làm tương t )
+) Cách gi i trên th y s d ng 0 0( ; )M x y n m ngoài ñư ng tròn (C) ( 0 0( ; )M x y n m trong (C) các em làm tương t )
C2 :
+) Xét phương trình ∆ qua 0 0( ; )M x y có h s góc k có d ng : 0 0( )y k x x y= − +
+) Xác ñ nh phương trình hoành ñ giao ñi m c a ∆ và (C) : 2
( , , ) 0f x x k = (*)
+) Dùng vi – et cho (*) và k t h p MA kMB= ?k⇒ = ⇒phương trình ∆ .
Ví d 1 : Cho ñư ng tròn (C): 2 2
2 2 23 0x y x y+ − + − = , ñi m M(7; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ qua M
c t ñư ng tròn (C) t i A, B sao cho MA = 3MB. ( ðs : 3y = ho c 12 5 69 0x y− − = )
Ví d 2 : Cho ñi m A(-1 ; 14) và ñư ng tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính b ng 13. Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi
qua A c t (C) t i M, N mà kho ng cách t M ñ n AI b ng m t n a kho ng cách t N ñ n AI.
(ðs : x + y – 13 = 0 và 433x – 281y +4367 = 0)
Lo i 2.2: S tương giao gi a hai ñương tròn

34
TH1: 'R r II+ > TH2: 'R r II+ = TH3: 'R r II+ < TH4: 'R r II− =
Ngoài nhau Ti p xúc ngoài C t nhau t i hai ñi m Ti p xúc trong
CHÚ Ý: Còn trư ng h p ñ ng nhau. Nhưng trư ng h p này ít ñư c khai thác nên th y không ñ c p ñây.
Bài t p áp d ng
Ví d 1(D – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) :( 1) 1C x y− + = . G i I là tâm c a (C). Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c
(C) sao cho 0
30IOM∠ = . (ðs:
3 3
;
2 2
M
 
  
 
ho c
3 3
;
2 2
M
 
−  
 
)
Ví d 2(D – 2003): Cho ñư ng tròn (C) : (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 4 và ñư ng th ng d : x – y – 1 = 0.Vi t phương trình
ñư ng tròn (C’) ñ i x ng v i ñư ng tròn (C) qua ñư ng th ng d. Tìm t a ñ các giao ñi m c a (C) và (C’).
(ðs: 2 2
( 3) 4x y− + = (1;0), (3;2)A B )
tròn (C). (ðs: (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
1( ) : 6 4 7 0C x y x y+ − + − = c t ñư ng tròn 2 2
2( ) :( 6) ( 1) 50C x y+ + − = t i hai ñi m
M, N bi t M có hoành ñ dương. Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M l n lư t c t 1 2( ),( )C C t i các ñi m th
hai A, B sao cho M là trung ñi m c a AB. (ðs: 5x – 7y + 9 = 0)
Ví d 5: Cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn tâm I(6; 6) và ngo i ti p ñư ng tròn tâm K(4; 5), biêt ñ nh A(2; 3).
Vi t phương trình c nh BC. (ðs: 3x + 4y – 42 = 0)
Ví d 6: Cho ñư ng tròn (C) : 2 2
1x y+ = .ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i 2 ñi m A,B sao cho 2AB = .
Vi t phương trình ñư ng th ng AB. ( ðs: 1 0x y+ + = ho c 1 0x y+ − = )
D ng 4: Các bài toán v Elip
Lo i 1: Vi t phương trình Elip và xác ñ nh các y u t c a Elip
Cách gi i chung:
+) Gi s phương trình chính t c c a elip có d ng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( )E
Bài t p áp d ng
Ví d 1: L p phương trình chính t c c a elip (E) bi t:
1) Có ñ dài hai tr c là 6, 4.
2) Có m t ñ nh là (5; 0) và tiêu c là 6.
3) Có m t ñ nh là (0; 3) và ñi qua ñi m M(4; 1).

35
4) ði qua hai ñi m
3
1;
2
 
  
 
và
2
2;
2
 
−  
 
.
5) Có tiêu ñi m 2 (2;0)F và qua ñi m
5
2;
3
 
 
 
.
6) Có tiêu ñi m 2 (5;0)F và kho ng cách gi a hai ñ nh là 9.
7) Tiêu c là 4 và kho ng cách t m t ñ nh trên tr c nh ñ n tiêu ñi m b ng 5.
( ðs: 1)
2 2
1
9 4
x y
+ = 2)
2 2
1
25 16
x y
+ = 3)
2 2
1
18 9
x y
+ = 4)
2 2
1
4 1
x y
+ = 5)
2 2
1
9 5
x y
+ =
6)
2 2
1
181 81
4 4
x y
+ = 7)
2 2
1
25 21
x y
+ = ho c
2 2
1
49 45
x y
+ = ho c
2 2
1
9 5
x y
+ = )
Ví d 2(A – 2008): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy vi t phương trình chính t c c a elip (E) bi t r ng (E) có
tâm sai b ng
5
3
và hình ch nh t cơ s c a (E) có chu vi b ng 20. (ðs:
2 2
1
9 4
x y
+ = )
Ví d 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có
phương trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A
thu c Ox. (ðs:
2 2
1
20 5
x y
+ = )
Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho elip (E) có ñ dài tr c l n b ng 4 2 ,các ñ nh n m trên tr c nh và các tiêu
ñi m c a (E) cùng n m trên m t ñư ng tròn. L p phương trình chính t c c a (E).
Ví d 4: Cho elip (E) có ñ dài tr c l n b ng 6, tâm sai b ng m t ph n hai và kho ng cách t m t ñi m M c a (E) ñ n
tiêu ñi m 1F (có hoành ñ âm) b ng 7.
1) Tìm kho ng cách t M ñ n tiêu ñi m 2F 2) Vi t phương trình chính t c c a elip (E) và tìm t a ñ ñi m M.
Lo i 2: Tìm ñi m thu c Elip
+) T (1) và (2)
0
0
?
?
x
y
=
⇒ 
=
M⇒
CHÚ Ý : N u 0 0( ; ) ( )M x y E∈ ta có th khai thác thêm d ki n:
1 0
2 0
c
MF a x
a
c
MF a x
a

= +

 = −

Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho elip (E):
2 2
1
6 2
x y
+ =
1) Tìm t a ñ giao ñi m c a (E) và ñư ng th ng 3 2y x= − . 2)Tìm trên (E) ñi m M sao cho góc 0
1 2 90F MF∠ =
3) Tìm trên (E) ñi m N sao cho 1 2 6F N F N− = .
1)
3 7
( 3;1), ;
5 5
A B
 
−  
 
2) 1 2 3 4( 3;1), ( 3; 1), ( 3;1), ( 3; 1)M M M M− − − − 3)
3 5
;
2 4
N
 
  
 
ho c
3 5
;
2 4
N
 
−  
 

36
Ví d 2: Cho (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = có tiêu ñi m 1 2,F F
1) Cho a = 2, b = 1. Tìm ñi m M sao cho 1 22F M F M= . (ðs:
4 23
;
273 3
M
 
  
 
ho c
4 23
;
273 3
M
 
−  
 
)
2) Ch ng minh r ng v i m i ñi m M ta luôn có: 2 2 2
1 2.F M F M OM a b+ = +
Ví d 3(D – 2005): Cho ñi m C(2;0) và elíp (E):
2 2
1
4 1
x y
+ = . Tìm to ñ các ñi m A, B thu c (E), bi t r ng hai ñi m
A, B ñ i x ng v i nhau qua tr c hoành và tam giác ABC là tam giác ñ u.
(ðs:
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
A B
   
−      
   
ho c
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
A B
   
−      
   
)
Ví d 4 (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ = . Tìm ñi m A và B thu c (E), có hoành ñ dương sao cho tam
giác OAB cân t i O và có di n tích l n nh t. (ðs:
2 2
2; , 2;
2 2
A B
   
−      
   
or
2 2
2; , 2;
2 2
A B
   
−      
   
)
Ví d 5: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho elip (E) : 2 2
9 25 225x y+ = . Tìm t a ñ ñi m M thu c (E) sao cho tam
giác M 1 2F F vuông t i M.
Ví d 6: Cho elip (E) : 2 2
5 9 45x y+ = có tiêu ñi m 1 2,F F . M là m t ñi m b t kì trên (E) và bi u th c
1 2
1 2
1 1
f F M F M
F M F M
= + + +
1) Ch ng minh chu vi tam giác 1 2F MF không ñ i. Tìm M ñ di n tích tam giác 1 2F MF b ng 2.
2) Tìm M sao cho giá tr c a f l n nh t.
Ví d 7: Cho ñi m M di ñ ng elip: 2 2
9 16 144x y+ = và H, K l n lư t là hình chi u c a M lên hai tr c t a ñ . Tìm M
ñ di n tích OHMK l n nh t.
Lo i 3: S tương giao gi a ñư ng th ng và Elip
Cách gi i chung : S tương giao gi a ñư ng th ng : 0Ax By C∆ + + = và (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
+) Gi i h 2 2
2 2
0
1
Ax By C
x y
a b
+ + =


+ =

(I) b ng phương pháp th
( ði u ki n ñ ∆ là ti p tuy n c a (E) : 2 2 2 2 2
A a B b C+ = (ñư c sinh ra t (II) )).
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho elip (E): 2 2
4 9 36x y+ = và ñi m M(1; 1). L p phương trình ñư ng th ng qua M và c t (E) t i hai ñi m
1 2,M M sao cho 1 2MM MM= . (ðs: 4x + 9y – 13 = 0)
Ví d 2:Cho hai ñi m A ( 3;0)− , B ( 3;0)và ñư ng th ng d: 3 2( 3 1) 3 0x y− − + = . Tìm trên d ñi m M có
hoành ñ âm sao cho chu vi tam giác MAB b ng 4 2 3+ . (ðs:
3
1;
2
M
 
−  
 
)

37
Ví d 3 (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình
2 2
1
16 9
x y
+ = . Xét ñi m M chuy n ñ ng trên tia Ox và ñi m N
chuy n ñ ng trên tia Oy sao cho ñư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Xác ñ nh t a ñ ñi m M, N ñ ño n MN có
ñ dài nh nh t. Tính giá tr nh nh t ñó. (ðs: (2 7;0), (0; 21)M N và GTNN c a MN b ng 7)
Ví d 4 (B – 2010 – NC): Cho ñi m A(2; 3 ) và (E):
2 2
1
3 2
x y
+ = . G i 1F và 2F là các tiêu ñi m c a (E) ( 1F có
hoành ñ âm); M là giao ñi m có tung ñ dương c a ñương th ng 1AF v i (E); N là ñi m ñ i x ng c a 2F qua M. Vi t
phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác 2ANF . (ðs:
2
2 2 3 4
( 1)
3 3
x y
 
− + − =  
 
)
Ví d 5: Cho Elip (E) :
2 2
1
64 9
x y
+ = .Vi t phương trình ti p tuy n d c a (E) bi t d c t 2 tr c t a ñ Ox,Oy l n lư t t i
A,B sao cho AO = 2BO.
CHÚ Ý:
Khi trong bài toán v ñư ng tròn và Elip có y u t min, max chúng ta hay s d ng b t ñ ng th c Cauchy và
Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…)
C m ơn các em và các b n ñã ñ c t i li u !
M i ý ki n ñóng góp các em và các b n g i qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com
ho c ñ a ch : s 9 – Ngõ 880 – B ch ð ng – Hai Bà Trưng – Hà N i
ði n tho i : 043.9871450 ho c Dð: 0947141139
L i gi i các bài t p các em có th tham kh o trên web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3

Các hướng tư duy và phương pháp giải trong hình oxy

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (18)

Destaque

Destaque (14)

Semelhante a Các hướng tư duy và phương pháp giải trong hình oxy

Semelhante a Các hướng tư duy và phương pháp giải trong hình oxy (20)

Último

Último (20)

Các hướng tư duy và phương pháp giải trong hình oxy