el método de Gauss para la resolución de problemas de ecuaciones lineales

1. ACTIVIDAD 5
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA POR EL
MÉTODO DE GAUSS

2. Método de Gauss
Este método sirve para resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
Debemos conseguir que el sistema se convierta
en triangular. Después empezando por la última
ecuación podremos ir obteniendo la solución del
sistema.

3. Problema
Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer
día tomaron 1 café, 1 cortado y tres cafés con
leche y pagaron 7,90 €. El día siguiente tomaran
dos cafés, un cortado y un café con leche, por lo
que pagaron 5,30 €. El tercer día solo se
reunieron cuatro amigos y tomaron un café, dos
cortados y un café con leche, la cuenta ascendió
a 5,80 €. Calcular, utilizando el método de Gauss,
el precio del café, del cortado y del café con leche
.

4. Incógnitas del problema
X= precio del café
Y= precio del cortado
Z= precio del café con leche

5. Primera ecuación
El primer día tomaron 1 café, 1 cortado y tres
cafés con leche y pagaron 7,90 €.
X + Y + 3Z = 7'90

6. Segunda ecuación
El día siguiente tomaran dos cafés, un cortado y
un café con leche, por lo que pagaron 5,30 €.
2X + Y + Z = 5'30

7. Tercera ecuación
El tercer día solo se reunieron cuatro amigos y
tomaron un café, dos cortados y un café con
leche, la cuenta ascendió a 5,80 €.
X + 2Y + Z = 5'80

8. Sistema
X + Y + 3Z = 7'90
2X + Y + Z = 5'30
X + 2Y + Z = 5'80

9. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
2X + Y + Z = 5'30
X + 2Y + Z = 5'80
a la segunda ecuación le sumamos (-2)veces la primera ecuación:
2X +Y + Z = 5'30
- 2X – 2Y – 6Z = - 15'80
0X – Y – 5Z = - 10'50 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z= 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
X + 2Y + Z = 5'80

10. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
X + 2Y + Z = 5'80
a la tercera ecuación le sumamos (-1)veces la primera ecuación:
X + 2Y + Z = 5'80
–X – Y – 3Z = – 7'90
0X + Y – 2Z = – 2'10 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + Y – 2Z = 5'80

11. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + Y – 2Z = - 2'10
a la tercera ecuación le sumamos (1)veces la segunda ecuación:
0X + Y – 2Z = –2'10
0X – Y – 5Z = – 10'50
0X + 0Y – 7Z= – 12'60 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60

12. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la tercera ecuación podemos obtener el valor de la variable Z:
12 ' 60
- 7Z = - 12'60 Z= Z = 1'80
7

13. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la segunda ecuación podemos obtener el valor de la variable Y:
- Y – 5· 1'80 = - 10'50 - Y – 9 = - 10'50
- Y = -10'50 + 9 - Y = - 1'50 Y = 1'50

14. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la primera ecuación podemos obtener el valor de la variable X:
X + 1'50 + 3· 1'80 = 7'90 X + 1'50 + 5'40 = 7'90
X = 7'90 – 1'50 – 5'40 X=1

15. Solución del sistema
X=1
Y = 1'50
Z = 1'80