1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
A. Trayectorias Ortogonales:
La primera aplicación que veremos es la de resolver el problema de hallar las
trayectorias ortogonales.
Ejemplo: determine la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencias
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝒄 𝟐, donde c es una constante real.
Solución
1. Derivamos la curva respecto a x, 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
2. Despejamos la derivada,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
3. La ecuación diferencial de familias trayectorias es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑓(𝑥,𝑦)
4. Resolvemos esta ecuación para obtener la familia uniparamétrica de
trayectorias ortogonales
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
cuya solución es y = c x
Cuando las curvas se intersectan en un ángulo distinto de π/2, las trayectorias
se llaman isogonales, y la familia de curvas se encuentra con la ecuación diferencial
𝑦′ − 𝑘
1 + 𝑘𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 = 𝑡𝑎𝑛𝛽, 𝑦 𝛽 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑝𝑐𝑖ó𝑛
Práctica: determine la familia de curvas ortogonales a
a. La familia de curvas x2
+ y2
= 2Cx
b. La familia de curvas r = cos 2θ
c. La familia de curvas y = Kx3
d. La familia de curvas y = x + Ce-x
e. La familia de parábolas y = Kx2
f. La familia de hipérbolas xy = K
Definición: Dos curva L y M que se cortan en un punto (x , y)
son ortogonales entre sí, si las rectas tangentes trazadas en
dicho punto son ortogonales
2. B. Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
El problema de calentamiento en edificio depende de 3 preguntas
¿Cuánto tiempo tarda en cambiar la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio en verano (uso de aire acondicionado)?
¿Cómo varía la temperatura del edificio en invierno (uso de calefactor)?
Cómo respuesta podemos señalar que la temperatura T(t) depende del calor generado
por las personas H(t); el enfriamiento (calor) U(t); y la temperatura exterior M(t)
El modelo matemático de enfriamiento de Newton se basa en “ la razón de cambio de
la temperatura T de una sustancia es proporcional a la diferencia entre la
temperatura de la sustancia T y la temperatura del medio M”
Matemáticamente
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑀)
Ejemplo:
Si la temperatura del aire es de 20º y una sustancia se enfría de 100º a 60º en 30
minutos, calculemos en que instante la temperatura de la sustancia será de 40º.
Solución
1. Establecemos las condiciones del problema: T(0) = 100º; T(30) = 60º
2. Planteamos la ecuación diferencial y la resolvemos
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 20) cuya solución es T = 20 + Ce-kt
3. Aplicamos la condición inicial T(0)=100 para determinar que C = 80
4. La solución toma la forma T = 20 + 80e-kt
. Ahora aplicamos la segunda
condición para determinar el valor de k, es decir
20 + 80𝑒−30𝑘 = 60, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
ln(0.5)
−30
= 0.0231
5. Nuestro modelo es T = 20 + 80e-0.0231t
. Reemplazando T=40 , finalmente
obtenemos que 40 = 20 + 80𝑒−0.0231 𝑡, de donde 𝑡 =
ln(0.25)
−0.0231
= 60
6. Respuesta. La temperatura será de 40º al cabo de 60 minutos.
C. Aplicaciones a los circuitos eléctricos
El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem
(fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una
batería o generador, y una resistencia, la cual usa energía, tal como una bombilla
eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico.
3. Ejemplos los circuitos RL y RC
Experimentalmente las siguientes leyes de Kirchhoff se cumplen:
1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a
la corriente que pasa a través de la resistencia. Si E, es la caída de voltaje a
través de una resistencia e I es la corriente, Entonces ER = Rl donde R es la
constante de proporcionalidad llamada el coeficiente simplemente resistencia.
2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo
instantánea de cambio de la corriente. Si EL es la caída de voltaje a través del
inductor, entonces
dt
dI
LEL donde L es la constante de proporcionalidad
llamada simplemente la inductancia.
3. La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga
eléctrica instantánea en el condensador. Si EC es la caída de voltaje a través del
condensador y Q la carga instantánea, entonces
C
Q
Ec donde hemos tomado
l/C como la constante de proporcionalidad, C se conoce como el coeficiente de
capacitancia o simplemente capacitancia.
El siguiente es un enunciado de la ley de Kirchhoff:
La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico
es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem)
es igual a la suma de las caídas de voltaje.]
ER + EL = E de donde obtenemos la ecuación diferencial
para el circuito RL 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝐸
De forma análoga tenemos para los circuitos RC que
ER + EC = E de donde
RI + q/c = E pero como 𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
Finalmente obtenemos que 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
Ejemplo
Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una inductancia de 1 henrio, una resistencia
de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la corriente en el circuito para
cualquier tiempo t.
Solución
I = corriente (amperios)
L = Inductor (henrios)
C= Capacitor (faradios)
La q = carga (coulomb)
R = resistencia (ohms)
E= voltaje (voltios)
4. Datos: R = 80; E = 5; L= 1 I(0) = 0
Aplicando la ecuación diferencial para este modelo 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝐸, obtenemos que
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 80𝐼 = 5 Resolviendo la ecuación lineal
Se obtiene que 𝐼( 𝑡) =
1
16
+ 𝐶𝑒−80𝑡 Al aplicar la condición inicial I(0)= 0 se obtiene
que C = -1/16 La corriente en cualquier tiempo es 𝐼( 𝑡) =
1
16
(1 − 𝑒−80𝑡)
Ejemplo
Un circuito RC tiene una fem de 200 cost (voltios), una resistencia de 50 ohmios y una
capacitancia de 10-2
faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la
corriente en el circuito en el tiempo t.
Solución
Datos E=200 cost; R= 50 ; C= 10-2
; q(t)= 0
Aplicando la ecuación para el modelo RC 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡), tenemos que la
ecuación diferencial del problema es
50
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
10−2
𝑞 = 200 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 2 𝑞 = 4 𝑐𝑜𝑠𝑡 cuya solución es
𝑞( 𝑡) = cos2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐𝑒−2𝑡
al aplicar la condición inicial q(0)=0
Se tiene C= -1, de donde 𝑞( 𝑡) = cos2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑒−2𝑡
para hallar la corriente
I =
dq
dt
= −2sen2t + 2cos2t + 2e−2t
D. CRECIMIENTO (DECRECIMIENTO) DE POBLACIÓN
Sea P(t) la población presente en el instante t. La razón de crecimiento
depende del Número de nacimientos menos el número de muertes, es decir,
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐾[(𝑁( 𝑡) − 𝑀( 𝑡)]
En Biología se ha observado, que en cortos periodos de tiempo, la tasa de
crecimiento de algunas poblaciones (bacterias y animales pequeños) es directamente
proporcional a la población presente (número de muertes es nulo), o sea
5. x(t)
sustancia en el
compartimiento
𝑑( 𝑃)
𝑑𝑡
= 𝐾𝑃 que resuelta por variables separables nos da la
solución 𝑃( 𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡. Cuando K > 0, entonces hablamos de crecimiento; si k < 0,
entonces hablamos de decrecimiento.
Ejemplo:
Un cultivo tiene una cantidad inicial de 50 bacterias. Al cabo de una hora , la cantidad
de bacterias presentes es de 75. Determine el tiempo necesario para que la población
de bacterias se triplique.
Solución:
Los datos conocidos son P(0) = 50 ; P(60) = 75 . Hay que hallar P(t) = 150
1. Aplicando la primera condición en la solución 𝑃(0) = 𝐶 = 50
2. Nuestra respuesta es𝑃( 𝑡) = 50𝑒 𝑘𝑡, así que aplicando la segunda condición al
modelo, obtenemos 𝑃(60) = 50𝑒60𝑘 = 75. Si de aquí despejamos k, se tiene
que 𝑘 =
ln(3.5)
60
= 0.00676
3. Nuestro modelo tiene como respuesta final 𝑃( 𝑡) = 50𝑒.00676𝑡
4. Para hallar el tiempo necesario que la población se triplique hacemos 𝑃( 𝑡) =
50𝑒.00676𝑡 = 150.
Despejando t, 𝑡 =
ln(3)
0.00676
= 162.5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 , 42 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.
Desintegración radio activa
Se llama semi-vida T al tiempo requerido para que una sustancia se reduzca a la
mitad, es decir
𝑥0
2
= 𝑥0 𝑒−𝑘𝑡,𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑘 =
ln(2)
𝑇
Ejemplo:
Si la vida media de una sustancia reactiva es 32 días, determine el tiempo t en que 24
kilos se convierten en 3 kilos
Solución
P(0) = 24, como la vida media es 32, entonces 𝑘 =
ln(2)
32
= 0.02166
Como 𝑃( 𝑡) = 24𝑒−0.02166𝑡. Para P(t) = 3, obtenemos que 𝑡 =
ln(1)−ln(8)
−0.02166
= 96.00
Respuesta : el tiempo requerido es 96 días
E. Mezclas
Al mezclar dos fluidos, a veces se originan ecuaciones lineales de primer
orden. Si
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 , con
respecto al tiempo, entonces la ecuación diferencial de este modelo es
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
6. Razón de entrada Razón de salida
Donde la razón de salida =(
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
) (
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
) =
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
y la razón de salida
es
𝑥( 𝑡)
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎)
Ejemplo.
En un gran tanque con 1,000 litros de agua pura se comienza a verter una
solución salina a una razón constante de 6 lts/min. La solución del tanque se
mantiene revuelta y sale a razón de 6 lts/min. La concentración de la sal en la
solución que entra es de 0.1 kg/lts. Determine en que la concentración de sal
en la solución llegará a 0.05kg/lts
Solución
Datos: concentración de sal en el tanque
𝑥(𝑡)
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
=
𝑥(𝑡)
1000
Razón de entrada :(
6 𝑙𝑡𝑠
𝑚𝑖𝑛
) (
0.1 𝑘𝑔
𝑙𝑡𝑠
) = 0.6
𝑘𝑔
𝑚𝑖𝑛
Razón de salida: (
𝑥( 𝑡) 𝑘𝑔
1000 𝑙𝑡𝑠
)(
6 𝑙𝑡𝑠
𝑚𝑖𝑛
) =
3𝑥(𝑡)𝑘𝑔
500 𝑚𝑖𝑛
Planteando la ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0.6 −
3𝑥
500
, esta ecuación lineal tiene como solución
𝑥( 𝑡) = 100 + 𝐶𝑒−3𝑡/500
Aplicando la condición inicial x(0)=0, nos da que C= -100
La solución particular es 𝑥( 𝑡) = 100 − 100𝑒−3𝑡/500 . Para hallar x(t) = 0.05
𝑥(𝑡)
1000
= 0.01 (1 − 𝑒−
3𝑡
500 ) = 0.05 de donde t = 115.52 minutos
7. F.
Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en
nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni
objetos con dimensiones atómicas, no necesitamos mecánica cuántica o relativista.
Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en estos casos y por tanto
emprenderemos una discusión de estas leyes y sus aplicaciones.
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:
1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo
en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad
constante a menos que fuerzas externas actúen sobre él.
2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a
la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza.
3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta.
En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes
al notar que la aceleración puede expresarse como la primera derivada de la velocidad u
(esto es, du/dt) ó como la segunda derivada de un desplazamiento
2
2
.
dt
sd
m
dt
dv
m
amF
Ejemplo :una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de
la gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire
establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el
movimiento y resuélvala.
Diagrama de fuerza Tierra
8. Figura 3.1 Figura 3.2
Formulación matemática. En la formulación matemática de problemas de física (o
para tal propósito, cualquier problema) es útil dibujar diagramas cuando sea posible.
Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir las ideas de física en
ecuaciones matemáticas. Sea A (Figura 3.1) la posición de la masa n en el tiempo t =
0, y sea P la posición de
m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre
cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las
cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente
establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones
positivas y negativas. En el presente problema sea A el origen de nuestro sistema de
coordenadas y escojamos el eje x como la vertical
con “abajo” como la dirección positiva (y por consiguiente con “arriba” como la
dirección negativa). La velocidad instantánea en P es v = dx/dt
La aceleración instantánea en P es a = dv/dt ó a = d”x/dt’ . La fuerza neta actúa
verticalmente hacia abajo (considerada positiva como se muestra en el diagrama de
fuerzas de la Figura 3.2). Su magnitud es mg. Por la ley de Newton
g
dt
dv
mg
dt
dv
m decir,es,
Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que v = 0 cuando t = 0, la condición
inicial v(0)= 0
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2
Un paracaidista y por supuesto su paracaídas) cae desde el reposo. El peso
combinado del paracaidista y su paracaídas es W. El paracaídas tiene una fuerza
actuando sobre él (debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la
velocidad en cualquier instante durante la caída. Asumiendo que el paracaidista cae
verticalmente hacia abajo y que el paracaídas ya está abierto cuando el salto ocurre,
describa el movimiento resultante.
Formulación matemática.
Dibujamos, como de costumbre, un diagrama físico y de fuerzas (Figuras 3.5 y 3.6).
Asuma A como el origen y AB la dirección del eje x positivo. Las fuerzas actuantes
son: (a) el peso combinado W hacia abajo; (b) la fuerza de resistencia R del aire
actuando hacia arriba. La fuerza neta en la dirección positiva (hacia abajo) es W-R.
Puesto que la resistencia es proporcional a la velocidad tenemos
R α kv
9. donde k es la constante de proporcionalidad. Puesto que v es siempre positiva, no
necesitamos el signo de valor absoluto, y podemos escribir simplemente
R = kv. De donde la fuerza neta es W y obtenemos por la ley de Newton
ktW
dt
dv
g
W
, con condiciones iniciales v(0)=0 que conduce a una ecuación
separable cuya solución es
)1( / wkgt
e
k
W
v
También podemos determinar la distancia recorrida por el paracaidista como una
función del tiempo. )1( / wkgt
e
k
W
dt
dx
que al ser resuelta nos da que
2
/
)( Ce
kg
W
t
k
W
x wkgt
. Donde las condiciones iniciales son x=0, t= 0
