1. PCP и неаппроксимируемость
Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин
10 октября 2008 г.
1 / 18

2. Определение
Алгоритм называется C -приближенным, если при любых исходных
данных он находит допустимое решение со значением целевой
функции, отличающимся от оптимума не более чем в C раз.
Для задач максимизации используют обратную величину:
1
« C -приближенный алгоритм»
Например: «0, 878-приближенный алгоритм нахождения
максимального разреза в графе».
2 / 18

3. Сложность аппроксимации
Сложность точного решения оптимизационных задач ←
Сложность задач разрешения («Да/Нет?»)
Трудные задачи разрешения ← N PC
Сложность аппроксимации ← ?
Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε?
Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . .
2 4
На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и
изучения ее следствий.
3 / 18

4. Сложность аппроксимации
Сложность точного решения оптимизационных задач ←
Сложность задач разрешения («Да/Нет?»)
Трудные задачи разрешения ← N PC
Сложность аппроксимации ← ?
Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε?
Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . .
2 4
На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и
изучения ее следствий.
4 / 18

5. Сложность аппроксимации
Сложность точного решения оптимизационных задач ←
Сложность задач разрешения («Да/Нет?»)
Трудные задачи разрешения ← N PC
Сложность аппроксимации ← ?
Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε?
Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . .
2 4
На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и
изучения ее следствий.
5 / 18

6. Сложность аппроксимации
Сложность точного решения оптимизационных задач ←
Сложность задач разрешения («Да/Нет?»)
Трудные задачи разрешения ← N PC
Сложность аппроксимации ← ?
Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε?
Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . .
2 4
На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и
изучения ее следствий.
6 / 18

7. Аппроксимация «MAX-SAT»
Задача
Максимальная выполнимость/MAX-SAT.
Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n
переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число
выполненных скобок.
Задача
«MAX-SAT (ε)».
Задача ε-разрешения для задачи «MAX-SAT». Известно, что для
данного ε > 0 либо доля невыполненных скобок в КНФ не меньше ε,
либо КНФ выполнима. Определить, какая ситуация имеет место.
7 / 18

8. PCP-система
Определение
Системой вероятностной проверки доказательств (верифицирующей
PCP-системой) для языка L называется ВМТ M с оракулом, для
которой выполняются следующие условия:
полнота (completeness): ∀x ∈ L существует оракул πx :
P[Mπx (x) = 1] = 1.
корректность (soundness): ∀x ∈ L и для любого оракула π:
/
1
P[Mπ (x) = 1] ≤ .
2
8 / 18

9. Класс PCP
Определение
Пусть r , q : N ⇒ N — неотрицательные целочисленные функции.
Класс сложности PCP(r (·), q(·)) состоит из языков, имеющих
верифицирующую PCP-систему, которая на входе x:
1 потребляет не более r (|x|) случайных бит;
2 делает не более q(|x|) запросов к оракулу.
Для множеств целочисленных функций R, Q определим
PCP(R, Q) ≡ PCP(r (·), q(·)).
r ∈R,q∈Q
9 / 18

10. Задача
«MAX-3SAT(ε)».
Частный случай задачи «MAX-SAT (ε)», в которой в каждой
скобке-дизъюнкции не более трех переменных.
1
Для любого ли ε > 0 существует 1−ε –приближенный
полиномиальный алгоритм для задачи «MAX-3SAT(ε)»?
Можно ли, при построении PCP-системы для
задачи «MAX-3SAT(ε)», вероятностно выбирать одну
дизъюнкцию, проверять с помощью оракула ее выполнимость,
и в случае, когда она выполнена, чтобы вероятность
невыполнимости всей формулы уменьшилась на константу?
10 / 18

11. Определение
Усиливающая сводимость (amplifying reduction) по сведению
произвольного языка L ∈ N P к языку 3SAT (∈ N PC) для заданной
константы 0 < ε < 1 есть полиномиально вычислимая функция
φ = f (x), преобразующая входное слово x в экземпляр (формулу φ)
задачи 3SAT для которой
x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT ,
x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT ,
/ /
причем если φ ∈ 3SAT , то доля невыполненных (ложных) дизъюнкций
/
будет не меньше ε.
11 / 18

12. Теорема
N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐⇒ Есть усиливающая сводимость для 3SAT .
Доказательство.
⇒: ∃PCP(log , O(1))-система для L ∈ N P, покажем
∃AR : x ∈ L → φ ∈ 3SAT . Для x:
полиномиальный набор случайных строк r1 , . . . , rm i .
i i
∀ri : π1 , . . . , πt — ответы оракула.
Cтроим формулу ψi (решение верификатора на r1 , . . . , rm i ) от t
переменных π1 , . . . , πt : различных дизъюнкций ≤ 2t .
i i
Преобразуем КНФ ψi в 3-КНФ φi : число 3-дизъюнкций ≤ t · 2t .
φ ≡ ∧m φi
i=1
12 / 18

13. N P ⊆ PCP(log , O(1)) =⇒
Есть усиливающая сводимость для 3SAT .
i i
x ∈ L ⇒ ∃π, ∀i π1 , . . . , πt убеждают проверяющую ВМТ ⇒
i , . . . , π i (+значения вспомогательных переменных) выполняющий
π1 t
набор для φ ⇒ φ ∈ 3SAT .
x ∈ L ⇒ ∀π для половины r1 , . . . , rm i M «бракует» x ⇒ невыполнимо
/
не менее половины φi ⇒ число невыполненных дизъюнкций ≥ m . 2
Доля невыполненных дизъюнкций:
m
2 1
= =ε
m·t · 2t t · 2t
13 / 18

14. N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость
⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим
PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово).
1 φ = f (φ)
2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ
ε
3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?»,
ε
4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций:
«0» — бракуем,«1» — принимаем.
φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить
выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»).
φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем
ε
ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше
1 1 1
(1 − ε) ε ≤ ≤ .
e 2
Т.е. выполнено и «soundness»-условие.
14 / 18

15. N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость
⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим
PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово).
1 φ = f (φ)
2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ
ε
3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?»,
ε
4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций:
«0» — бракуем,«1» — принимаем.
φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить
выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»).
φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем
ε
ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше
1 1 1
(1 − ε) ε ≤ ≤ .
e 2
Т.е. выполнено и «soundness»-условие.
15 / 18

16. Теорема
Задача «MAX-3SAT(ε)» («правда ли, что есть присваивание, при
котором данная 3КНФ-формула φ имеет долю невыполненных
конъюнкций не более ε?») N P-трудна.
Доказательство.
Возьмем 3-КНФ φ и через ε-УС → φε .
?
Решив задачу «MAX-3SAT(ε)» для φε , мы решаем «φ ∈ 3SAT ».
Таким образом, для 3SAT доказано, что аппроксимация ее
с произвольным ε не менее трудная задача, чем ее точное решение.
16 / 18

17. Карта памяти лекции
17 / 18

18. Интернет поддержка курса
http://discopal.ispras.ru/
Вопросы?
18 / 18