2. TEMA PROPUESTO: Extracción de dos bolas de una bolsa con reemplazamiento.
Hemos aplicado el tema elegido a un hecho de la vida real, un caso que nos puede surgir en el día a
día, como es en una bolsa de M&M’s.
→ Elena se ha comprado una bolsa de M&M’s y se ha comido todos menos 10, le quedan 3 rojos,
4 azules, 2 verdes y 1 amarillo. Pablo y Jorge le han pedido uno y le han dicho que quieren que
sean de color verde pero ella les ha dicho que el que salga. Ellos se han preguntado qué
probabilidad había de que saliera de cada suceso.
INFORMACIÓN SOBRE PROBABILIDAD:
La ley de la Place
A mediados del siglo XVIII Francia se rige por una monarquía. Reina Luis XV sucesor y biznieto de Luis XIV
(el rey Sol). Bajo un régimen absolutista los Borbones han convertido al país en la gran potencia de Europa,
sustituyendo en este papel al desempeñado por España en siglos anteriores. El año 1789 marcó el inicio de
una etapa crucial para Francia y el mundo entero, la Revolución Francesa. Durante ese periodo los
matemáticos franceses dominaron completamente el panorama científico europeo y fueron responsables,
en gran parte, de las principales líneas de fuerza que acarrearán el auge matemático del siglo siguiente.
Las contribuciones matemáticas de Laplace son de primera importancia. Destacan sus investigaciones
sobre el cálculo de probabilidades. Laplace investigó diversos campos de la ciencia, dejando obras de gran
envergadura.
Matemáticas:
·Teoría Analítica de las Probabilidades (1812). Expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama
"geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el
estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771.
· Ensayo filosófico sobre el fundamento de las probabilidades (1814). Trata de dar a conocer los principios
y aplicaciones de la geometría del azar pero sin aparato matemático alguno.
Entre las aportaciones matemáticas más importantes caben citar:
· Ley de Laplace-Gauss. La ley de Laplace-Gauss también se conoce con el nombre de ley de Gauss. Pero de
hecho Laplace descubre esta ley en 1780 cuando Gauss (1777-1855) tiene tres años. También es muy
usada la denominación de Ley normal.
· Ecuación de Laplace. Desarrolla el concepto de potencial, una
función cuya derivada direccional en cada punto es igual a la
componente del campo de intensidad en la dirección dada.
“La probabilidad de un suceso elemental es igual al cociente entre
el número de casos favorables a ese suceso y ese número de casos
posibles”.
3. La ley de los Grandes Números
Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.
Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento
aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad cuando el
experimento se realiza muchas veces.
Una demostración teórica del teorema es laboriosa. Si alguien está interesado en una demostración tanto
de este teorema cómo del Teorema Central del Límite.
Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera
intuitiva a los resultados que establece el teorema.
El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego,
en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el
que la bola se detiene.
Si la mesa tiene 1 metro de longitud, el resultado del
experimento puede tomar cualquier valor comprendido
entre cero y uno.
Sabemos que el espacio muestral que resulta de este
experimento es un espacio muestral continuo. Para
simplificar la simulación, podemos considerar la
longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes
iguales.
Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En
este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos
ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable, es decir, de igual probabilidad.
La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1,
que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número
caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.
El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.
Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la
longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos,
veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.
Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente,
observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es
la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.
Este es el resultado que demuestra el teorema conocido como : Ley de los Grandes Números.
4. NÚMERO DE M&M’s
4 2 3 1
HIPÓTESIS: Creemos que teniendo en cuenta la teoría, antes de hacer la práctica, que debería salir más veces
los M&M’s azules, después los rojos, luego los verdes y por último los amarillos. Ya que la probabilidad es
directamente proporcional al número de M&M’s de cada color, es decir, cuantos más M&M’s de cada color
haya, más probabilidad de que salga.
ESPACIO MUESTRAL: {RR, RA, RV, RAm, AR, AA, AV, AAm, VR , VA, VV, VAm, AmR, AmA, AmV, AmAm}
ESPACIO ELEMENTAL: {RR}, {RA}, {RV}, {RAm}, {AR}, {AA}, {AV}, {AAm}, {VR} , {VA}, {VV}, {VAm}, {AmR}, {AmA},
{AmV}, {AmAm}
SUCESO COMPUESTO: {AA, RR, VV, AmAm} (los dos M&M’s iguales)
SUCESO SEGURO: {Dos M&M’s }
SUCESO IMPOSIBLE: {M&M’s que no sean rojos, azules, amarillos o verdes}
DIAGRAMA EN ÁRBOL DE SUCESOS DEL ESPACIO MUESTRAL:
R
A R
R R
V A
A
A V
Am V
V
Am Am
R
A
Am
V
Am
*LEYENDA:
R → Rojos
V → Verdes
A → Azules
Am → Amarillos
5. TABLA DE ESTUDIO REALIZADO
X₁ F₁ H₁ f₁ h₁
RR 9 9/100 = 0’09 = 9% 9 9/100 = 9%
RA 7 7/100 = 0’07 = 7% 16 16/100 = 16%
RAm 6 6/100 = 0’06 = 6% 22 22/100 = 22%
RV 8 8/100 = 0’08 = 8% 30 30/100 = 30%
AR 8 8/100 = 0’08 = 8% 38 38/100 = 38%
AA 14 14/100 = 0’14 = 14% 52 52/100 = 52%
AV 8 8/100 = 0’08 = 8% 60 60/100 = 60%
AAm 4 4/100 = 0’04 = 4% 64 64/100 = 64%
VR 7 7/100 = 0’07 = 7% 71 71/100 = 71%
VA 8 8/100 = 0’08 = 8% 79 79/100 = 79%
VV 5 5/100 = 0’05 = 5% 84 84/100 = 84%
VAm 3 3/100 = 0’03 = 3% 87 87/100 = 87%
AmR 3 3/100 = 0’03 = 3% 90 90/100 = 90%
AmA 7 7/100 = 0’07 = 7% 97 97/100 = 97%
AmV 2 2/100 = 0’02 = 2% 99 99/100 = 99%
AmAm 1 1/100 = 0’01 = 1% 100 100/100 = 100% = 1
TOTAL N = 100 N= 100/100 = 100% = 1
CONCLUSIÓN:
Nuestra hipótesis era cierta. Hemos hecho la probabilidad de cada suceso elemental de espacio muestral
según la ley de La Place y nos ha dado un porcentaje entre 0 y 100. Esta probabilidad no es condicionada, ya
que cada vez que cogíamos un M&M’s lo soltábamos para volver a sacar otro y después anotábamos el
resultado. Si hubiéramos hecho el mismo experimento pero sin reemplazamiento, hubiera sido condicionada
porque la probabilidad del suceso B depende de lo que haya salido en el suceso A.
La ley de los Grandes Números, resumiendo, nos dice que la probabilidad de un suceso tiende a la frecuencia
que tiene el suceso cuando el experimento se realiza un número muy elevado de veces. Es decir, que si
calculamos la probabilidad solo sacándolo una vez, debe estar relacionado con el resultado cuando dicha
práctica se realiza varias veces, en este caso 100 veces. Cada suceso elemental tiene 1/16 de probabilidad de
que salga, porque hay 16 posibilidades de resultado diferente. Y aquí se demuestra que sí que se verifica esta
ley de los Grandes Números:
1/16 = 0’0625 y los resultados de cada probabilidad
rondan ese número:
H₁
9/100 = 0’09 = 9% Como resultado de nuestro problema, Pablo y
7/100 = 0’07 = 7%
6/100 = 0’06 = 6% Jorge tienen un 5% de posibilidades de que les
8/100 = 0’08 = 8% salgan los dos verdes como ellos querían.
8/100 = 0’08 = 8%
14/100 = 0’14 = 14%
8/100 = 0’08 = 8%
4/100 = 0’04 = 4%
7/100 = 0’07 = 7%
8/100 = 0’08 = 8%
5/100 = 0’05 = 5%
3/100 = 0’03 = 3%
3/100 = 0’03 = 3%
7/100 = 0’07 = 7%
2/100 = 0’02 = 2%
1/100 = 0’01 = 1%
N= 100/100 = 100% = 1
