HLM階層線性模型基礎班-三星統計張偉豪

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HLM生存指南-理論與實務應用
張偉豪
三星統計服務有限公司執行長
SEM 亞洲一哥
版本:20150902
三星課程網

Outline
• HLM到底在做什麼?
• 故事從ANOVA開始
• What is Hierarchical Linear Modeling
• HLM的估計模型
• 進入HLM分析的世界
– HLM資料檔製作
– ICC, Reliability, rwg(j)
– 報表解讀
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HLM到底在做什麼?
• SPSS VS. HLM兩種資料型態
– 樣本獨立 (cross-section)
– 樣本不獨立 (longitudinal, panel data)
• 掛在嘴上的兩句話
– 巢狀結構
– 非巢狀結構
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• HLM就只是兩組迴歸分析而已!
– Disaggregate level regression (個體)
– Aggregate level regression (群體)
• 弄懂兩個重要的名詞
– 固定效果 (Fixed effect)
– 隨機效果 (Random effect)
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• 計算兩種變異
– 組內變異 (between variance)
– 組間變異 (within variance)
• 估計兩個參數
– 截距(平均數)(ANOVA)
– 斜率(干擾(調節)效果分析)
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• 只看兩張表格
– Estimation of Fix Effect
– Estimation of Variance Components
• 計算兩個重要指標
– ICC (1) (Intra Correlation Coefficient)
– Rwg(j) (Interrater agreement)
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• 自變數平減(Mean center)兩種方法
– Group mean center (組平減)
– Grand mean center (總平減)
• 內生變數(Y)變異數的分解
– 可解釋變異 (R2) (Level1 and Level 2)
– 不可解釋變異 (殘差)
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HLM是如何進行分析?
•個人層次執行迴歸分析
•檢查估計參數的變異數是否跨群組有差異
•使用群組變數去解釋個人層次估計參數的
變異數
•估計不同層級之間的主效果及交互作用
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故事從ANOVA開始
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μ1 μ2 μ3
μ=(μ1+μ2+μ3)/3

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group1 group2 group3 總平均
1 6 12 18
2 2 8 14
組平均 4 10 16 10
11
組間變異(τ00)=[(4-10)2+(10-10)2+(16-10)2]/3=24
組內變異(σ2)=[(6-4)2+(2-4)2+(12-10)2+(8-10)2+
(18-16)2+(14-16)2]/6=4
總變異=[(6-10)2+(2-10)2+(12-10)2+(8-10)2+
(18-10)2+(14-10)2]/6=28
組間變異佔總變異比例(ρ=τ00 /(τ00 +σ2 ))= 24/28≈86%
表示群組之間的差異可解釋全部變異約86%

What is HLM?
• 在研究領域中有許多的資料是巢狀結構
– 學生巢形(包含)於教授之下,教授巢形學校之下
– 病患巢形於醫生之下,醫生巢形於醫院之下
– 果樹巢形於果園之下,果園巢形於產地之下
– 員工巢形於公司之下,公司巢形於產業之下
– 兒童巢形於家庭之下,家庭巢形於社區之下
– 人民巢形於城市之下,城市巢形於國家之下
– 重複實驗巢形於個人之下
– 校外實習生巢形於公司經理之下
– 連續10年財務指標巢形於公司之下
• 重點是以上的個體樣本資料都不獨立
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What is HLM
•了解了吧! 但是到底 …
– Two levels HLM 模型分析是如何?
–從概念模型來看
• Step 1
–分別估計每個群體的迴歸方程式
–進行群組間的描述性分析 (intercept
and slopes的平均數及變異數)
• Step 2
–將步驟1求得的截距與斜率當作結果變數
與LEVEL2的變數進行迴歸分析
–從數學上來講,並不是真的分成兩個階段,但
這種講法有助於理解HLM是怎麼一回事

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What is HLM
Level 1: 每一群各
自的迴歸值(斜率)
Level 2:
•群組變數預測的截距變異數(每個樣本有不同的截距)
•群組變數預測的斜率變異數(每個樣本有不同的斜率)
Yij
Xij

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What is HLM
•有些人就是喜歡看方程式…
•多層次模型的二階段方法
– Level 1: 估計各群組組內的關係
– Level 2: 群組變數估計 level-1的參數,包括截距
與斜率 (intercepts & slopes)
Level 1: Yij = ß0j + ß1j Xij + rij
Level 2: ß0j =  00 +  01 (Groupj) + U0j
ß1j =  10 +  11 (Groupj) + U1j
{ j 小標表示參數跨群不同}

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What is HLM
•利用一個簡單的例子說明
– Individual variables (Level 1)
•學生學習成績(DV)
•學生參與程度(IV)
– Group variable (Level 2)
•老師教學技巧

What is HLM
• Hypotheses
–學生參與程度正向顯著影響學生學習成績
–老師教學技巧正向顯著影響學生學習成績在學
生參與程度控制的情形之下
•平均而言,老師的教學技巧愈好,學生的學習成績愈
好
–教學技巧調節學生參與學習成績之間的關係
•教學技巧較好時學生參與對學習成績的影響會大於
教學技巧較差時學生參與對學習成績的影響
•老師不同的教學技巧,學生參與學習成績會有不
同的斜率
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What is HLM
•整體而言,學生參與與學習成績呈現正相關 (跨群組的
平均迴歸值)
•教師有好的教學技巧,學習成績會高於較差的教學技巧
(平均截距 green/solid vs.red/dotted line)
•好的教學技巧會使得學生參與對學習成績優於較差教
學技巧 (平均斜率)
學
習
成
績
學生參與
好的教學技巧
差的教學技巧

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What is HLM
•再度給喜歡看方程式的人…
Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij
Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j
ß1j =  10 +  11 (教學技巧j) + U1j

HLM formal notation
• Yij=j群中第i個人的內生變數的值
• Β0j=level 1隨機截距
• Β1j=level 1隨機斜率
• Xij=level 1預測變數在j群中第i個人的值
• rij=level 1殘差變異數(可能含自變數)
• σ2
ij=level 1殘差變異數(截距模型的組內變異σ2
W)
• γ00=level 2隨機截距的總平均截距
• γ01=level 2隨機截距的斜率
• γ10=level 2隨機斜率的截距
• γ11=level 2隨機斜率的斜率
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HLM formal notation
• Wj=level 2預測變數的值
• μ0j=level 2隨機截距的殘差(可能含自變數)
• μ1j=level 2隨機斜率的殘差
• σ2
0j=level 2隨機截距的殘差
(截距模型的組間變異σ2
B)
• σ2
1j=level 2隨機斜率的殘差
• τ01=level 2隨機截距與斜率的共變異數
• ρ=ICC (Intraclass Correlation Coefficient)
= σ2
B/(σ2
W+ σ2
B)
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層級(Levels, classifications)及單位(units)
• 層級(學校,區域,組織)是由許多不獨立的
單位所組成(學生,社區居民,公司員工)
• classification and level兩個名詞可以互
換,但是level隱含有巢形結構的意義,而
classification沒有
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levels
• Level-1 變數:
–巢形於群組(group)下的變數,一般是個人
(或個人底下的重複測量的次數)
•依(結果)變數永遠都在第一層
• Level-2 變數:
–這些變數是位於較高層次的變數
• group level (老師的經驗,學校教材)
• individuals (重複量數實驗)

Two-level hierarchical structures
• 學生巢形於學校之下
• 每個學校隨機抽樣幾個學生
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Students St1 St2 St3 St1 St2 St1 St2 St3 St1 St2 St3 St4
Schools Sc1 Sc2 Sc3 Sc4 Schools
Students

資料類型
levels 應變數自變數
學生i 學校j 學生測驗分數Yij 學生前測分數Xij 學生性別Gij 學校類型Sj
1 1 75 56 M 公立
2 1 71 45 M 公立
3 1 91 72 F 公立
1 2 68 49 F 私立
2 2 37 36 M 私立
3 2 67 56 M 私立
1 3 82 76 F 公立
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1.男生成績是否比女生成績高一些?(截距)
2.性別效果是否跨學校不同?
3.男生與女生在學業進步是否不一樣? (斜率)
4.學校不同對學生學業進步是否不一樣?
5.某特定學校的影響效果是否與其它學校不一樣?
6.學生在私立學校進度是否比公立學校多?
這些答案要由HLM分析來解答

Repeated Measures data
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levels 應變數自變數
學生i 學校j 學生測驗分數Yij 學生前測分數Xij 學生性別Gij 學校類型Sj
1 1 75 56 M 公立
2 1 71 45 M 公立
3 1 91 72 F 公立
1 2 68 49 F 私立
2 2 37 36 M 私立
3 2 67 56 M 私立
1 3 82 76 F 公立
在上一例子中我們可以利用學生前測成績來預測現今
的學習成效
另外,資料中顯示1個學生有兩次的測驗成績,我們也可
以將之視為第1層,而學生為第2層,學校為第3層

重複量數結構圖示
P1 P2 P3 .....
O1 O2 O3 O4 O1 O2 O1 O2 O3
Person
Measurement
一行代表1個人
重複次數要以直的方式建檔
Person m1 m2 m2 Gender
1 75 85 95 F
2 82 91 * M
3 88 93 96 F
levels Response
measurement I Person J Heightij Genderj
0 1 75 F
1 1 85 F
2 1 95 F
0 2 82 M
1 2 91 M
0 3 88 F
1 3 93 F
2 3 96 F

虛擬的資料範例
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整合前(不考慮群組影響) 整合後(考慮群組影響)

不考慮群組影響迴歸分析
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Y= 5.333- .333X+ error

Y= 5.333- .333X+ error
30
This is an example of a disaggregated analysis
β0
β1

考慮群組影響迴歸分析
31
Y=8.00- 1.00X+ error

Y=8.00- 1.00X+ error
• X對Y有負向的影響,X每增加1單位,Y會下
降1個單位
32
β0
β1
This is an example of a aggregated analysis

如果分別考慮群組內的迴歸
33Yij = Yj +1.00(Xij − 𝑋j ) + rij

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Between group regressions
Total regression
Within group
regressions

Why Is Multilevel Analysis Needed?
• 巢形結構使得樣本資料不獨立
– 樣本相依違反了傳統的統計假設 (殘差獨立及
迴歸斜率同質)
– 相依資料導致統計估計偏誤
• 了解不同群間所造成的變異就變得很重要
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Sample size requirements
• Kreft (1996) proposes a general 30/30
rule, in which there are 30 groups and 30
observations per group.
• Hox (1998) suggests a minimum ratio of
50/20 rule, in order to test cross-level
interactions.
• Hox (1998) also suggests a minimum ratio
of 100/10 to test random effects.
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Hox,J.(1998). Multilevel modeling: When and why. In R.Mathar & M. Schader,
Classification, data analysis, and data highways. Berlin, Germany: Springer-Verlag.
Kreft, I.G.G. (1996). Are multilevel techniques necessary? An overview, including
simulation studies. Unpublished manuscript, California State University, Los Angeles, CA.

Variables in HLM Models
• 結果變數(Outcome variables, Y)
• 預測變數(Predictors, X)
– 控制變數(Control variables)
– 解釋變數(Explanatory variables)
• 群組層次預測變數
(Variables at higher levels, W)
– Global variables (只在二階存在的變數)
– Shared variables (由一階整合到二階)
– 脈絡變數(Contextual variables)
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HLM的估計模型
HLM常見的定義:
–隨機效果(Random coefficients/effects)
• Coefficients/effects 假設跨群組不同
–組內截距(截距變異數); 組內斜率(斜率變異數);
Level 2 殘差
–固定效果(Fixed effects)
•效果跨群組不變
– Level 2 截距(總平均), Level 2 斜率
Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與) + rij
Level 2: ß0j =  00 +  01(教學技巧) + U0j
ß1j =  10

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random and fixed effect
•固定效果:估計參數具有跨群組的不變性
– e.g., 截距及跨第二層的斜率
•隨機效果:估計參數會隨著群組不同而不同
– level-1 及 level-2 的誤差項
–模型中可以用其它的自變數來解釋這些變異的
存在
•學校是從眾多學校中隨機抽出,學生也是從
學校中隨機抽出,因此會有隨機效果
•性別及學校類型只有有限的分類,因此不會
有隨機效果

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HLM的估計模型
• HLM提供:
– Level-2 parameters (intercepts, slopes)
– Variance of Level-2 residuals
– Level 1 parameters (intercepts, slopes)
– Variance of Level-1 residuals
– Covariance of Level-2 residuals
• Statistical tests:
– t-test for parameter estimates (Level-2,
fixed effects)
– Chi-Square for variance components
(Level-2, random effects)

HLM的估計模型
• 簡單範例的假設
–學生參與程度正向影響學生學習成績
–老師教學技巧正向影響學生學習成績在學生參
與程度控制的情形下
•平均而言,教師教學技巧愈好,學生的學習成績會愈
好,在學生參與程度維持不變的情形下
–教學技巧調節學生參與學習成績的關係
•教學技巧好的老師其學生參與學習成績的影響會
大於教學技巧較差者
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HLM的估計模型
•必要條件
– 學習成績需具有一定的組內及組間變異
– level-1 的平均斜率要顯著不為0 (H1)
– level-1 截距變異數要有顯著差異 (H2)
– 截距變異數要與教學技巧顯著相關 (H2)
– level-1 斜率變異數要有顯著差異 (H3)
– 斜率變異數要與教學技巧顯著相關 (H3)

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HLM的估計模型
• 整體而言, 學生參與和學習成績為正相關(跨所有群組
的平均迴歸線)
• 整體而言, 好的教學技巧有比較好旳學習成績
(average intercept green/solid vs. mean
red/dotted line)
• 好的教學技巧的平均斜率比差的教學技巧要高
學
習
成
績
學生參與
High 教學技巧
Low 教學技巧

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HLM的估計模型
• One-way ANOVA - no Level-1 or Level-2
predictors (null)
Level 1: 學習成績ij = ß0j + rij
Level 2: ß0j =  00 + U0j
• where:
ß0j = 各(j)群平均學習成績
 00 = 所有學生的學習成績總平均
Var ( rij ) = 2 = 學習成績的組內變異
Var ( U0j ) = 學習成績的組間變異
Var (學習成績 ij ) = Var ( U0j + rij ) =  + 2
ICC1 =  / ( + 2 )

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HLM的估計模型
• Random coefficient regression model
–新增學生參與到 Level-1 model ( no Level-2 predictors)
Level 2: ß0j =  00 + U0j
ß1j =  10 + U1j
 00 = 截距的平均數(pooled) (t-test)
 10 = 斜率的平均數(pooled) (t-test; H1)
Var ( rij ) = 2 = Level-1 殘差變異數(組內變異) (H1)
Var ( U0j ) =   截距的變異數 (related H2)
Var (U1j ) = 斜率的變異數 (related H3)

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HLM的估計模型
• Intercepts-as-outcomes - model Level-2 intercept
(H2)
–增加教學技巧 to intercept model
Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j
ß1j =  10 + U1j
 00 = Level-2 截距 (t-test)
 01 = Level-2 斜率 (t-test; H2)
 10 = 斜率的平均(pooled) (t-test; H1)
Var ( rij ) = Level-1 residual variance
Var ( U0j ) =  = residual inter. var (H2)
Var (U1j ) = variance in slopes (related H3)

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• Slopes-as-outcomes - model Level-2 slope (H3)
– 增加教學技巧到斜率模型
Level 1:學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij
Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j
ß1j =  10 +  11 (教學技巧j ) + U1j
 00 = Level-2 intercept (t-test)
 01 = Level-2 slope (t-test; H2)
 10 = Level-2 intercept (t-test)
 11 = Level-2 slope (t-test; H3)
Var ( rij ) = Level-1 residual variance
Var ( U0j ) = residual intercepts variance
Var (U1j ) = residual slope var (H3)
HLM的估計模型

HLM分析流程
• 資料準備
• 空模型(NULL or 隨機ANOVA MODEL)
• 僅含Level 1的自變數(隨機ANCOVA MODEL)
• 僅含Level 2的自變數(固定效果模型)
– 自變數為類別變數.
• 僅含Level 2的自變數(隨機迴歸模型)
– 自變數為連續變數
• Level 1及Level 2同時包含自變數(完整模型)
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Preparing Data for HLM Analysis
• 資料檔以SPSS為例
• HLM在不同的LEVEL需要有不同的資料檔
• SPSS的準備工作
– 檢查資料
– 遺漏值處理(Level 1可以有遺漏值,Level 2不行)
– ID連結各層的資料
– ID號碼要排序
• 在HLM中產生MDM file
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SPSS的資料準備
• Level1 整合成 Level2 data
• 資料整合
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• Example
– 使用leve1 及level2的檔
– File
– Make new MDM file
– Stat package input
Creating a new MDM file
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Creating a MDM file
• 選擇HLM2OK
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Creating a MDM file
• Choose Variables
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Creating a MDM file
• 指定level 1分析變數及level 2變數
• SCHID一定要勾
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Creating a MDM file
56

Creating a MDM file
• Make MDM
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Creating a MDM file
• Check Stats Done
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Creating a MDM file
• 完成後會看到以下的畫面,準備進行分析
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TWO-LEVEL HLM MODEL
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LEVEL 1
Students
LEVEL 2
Schools

多層次模型示意圖
61
截距
Xij
Yij截距 Wj
γij
σ2
μ0j
β1j
γ00
γ10
μ1j
γ01
γ11
β0j
二階迴歸是對一階迴歸
係數做解釋，而不是對
依變項本身做解釋
Yij=γ00 + γ01Wj +γ10Xij + γ11WjXij
+ μ0j + μ1j + μ1jXij + γij

多層次模型的六大次模型
• 隨機效果單因子變異數分析
(one-way ANOVA with random effects )
• 隨機效果單因子共變數分析
(one-way ANCOVA with random effects)
• 隨機係數迴歸模型
(random coefficients regression model)
• 截距模型(intercept-as-outcomes regression )
• 脈絡模型(contextual model)
• 非隨機變化斜率模型
(a model with nonrandomly varying slopes)

HLM分析的六大次模型
階層一階層二
模型
無解釋變項有解釋變項階層一截距為結果變項階層一斜率為結果變項
隨機 ANOVA 0ij j ijY r  jj u0000  
隨機 ANCOVA 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 0j ju   1 10j 
隨機係數迴歸模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 0j ju   1 10 1j ju  
截距模型 0ij j ijY r  0 00 01 0j j jW u    
脈絡模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jX u     1 10j 
非隨機斜率模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jW u     1 10 11j jW   
完整模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jW u     1 10 11 1j j jW u    

隨機ANOVA模型
• 又稱為空模型
• 目的:計算ICC(1),了解資料是否適合進行
HLM
• 模型只有依變數不含任何自變數
64

隨機ANOVA模型
• LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
• LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋
• General model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
• 𝑽𝒂𝒓(𝒀𝒊𝒋) = 𝑽𝒂𝒓(𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋) = 𝝉 𝟎𝟎+𝝈 𝟐
• 組內相關係數ICC= 𝝆 = 𝝉 𝟎𝟎/𝝉 𝟎𝟎 + 𝝈 𝟐
• 低度組內相關: ICC<.059,
• 中度組內相關: 0.059<ICC<0.138
• 高度組內相關: ICC>0.138
65

隨機ANOVA模型
66
如果不設定μ0 等於求
全體平均數

隨機ANOVA模型
67
• Run Analysis Run the model shown

隨機ANOVA模型
68
• File View Output

Variance Components Analysis
• VCA 用來估計隨機殘差變異數的大小
– 尤其是當資料為不平衡設計時
– 必需使用迭代程序估計
(一般為ML estimation)
• VCA提供殘差變異數顯著性估計,當變異跨
單位存在或不存在時(卡方檢定)
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隨機ANOVA模型
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(卡方差異值)

Estimating Variance Components:
Unconditional Model
• Var(Yij) = Var(u0j) + Var(rij)
= τ0 + σ2
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Estimation Methods
• RML: 當群組(j)較少時,可以得到較佳的估計值
FML 具有兩點優勢:
– 計算容易
– FML估計迴歸係數及變異數成份的整體卡方值,
RML只有變異數成份檢定而已.
• 如果比較兩個巢狀模型離異值的差異檢定
應採用FML比較理想
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隨機ANCOVA模型
• LEVEL 1加入預測變數(X)
• 當X為類別變數時,斜率應設定為固定效果
𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
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隨機ANCOVA模型
• LEVEL 1加入”性別“預測變數(X)
74

Variance explained
• R2 at level 1
= 1 – (σ2
cond + τcond) / (σ2
uncond + τuncond)
= 1 – (.46 + .86) / (.64 + .88)
= 1- (1.32/1.52)=.1316 = 13.16%
• R2 at level 2 =1 – [(σ2cond / nh) + τcond] /
[(σ2
uncond / nh) + τuncond]
• nh = the harmonic mean of n for the level 2
units (k / [1/n1 + 1/n2 +…1/nk])
• 調和平均數可利用SPSS計算
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Variance explained
• Level 1 增加自變數後,殘差變異數改善的
比例
R2 = (τbaseline – τconditional) / τbaseline
= (.64 – 46)/.64
=.28 = 28%
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隨機係數的迴歸模型
• LEVEL 1加入預測變數(X)
• 當X為連續變數時,斜率應設定為隨機效果
𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
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78

Compare model fit using
deviance statistics
• 檢定模型改善是否顯著?
• Other settings Hypothesis Testing
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• LEVEL 1加入連續變數 (X)
• 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
80

Centering
• No centering (common practice in
single level regression)
• Centering around the group mean ( 𝑿j )
• Centering around the grand mean (M )
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截距模型
• LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
• LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋
• General Model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
• LEVEL 2加入預測變數
• LEVEL 2的預測變數影響的是LEVEL 1的截距
82

截距模型
• LEVEL 2加入老師的經驗
83

完整模型(截距及斜率模型)
• LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜷 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
• LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋
𝜷 𝟏𝒋 = 𝜸 𝟏𝟎 + 𝜸 𝟏𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋
• General Model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 +
𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸 𝟏𝟏 𝑾𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋
84

完整模型(截距及斜率模型)
85

HLM的統計估計方法
• Estimation Methods
– FML (Full Maximum Likelihood)
– RML (Restricted Maximum Likelihood)
– Empirical Bayes estimation
• Parameter estimation
– Coefficients and standard errors
– Variance Components
• Parameter reliability
• Centering
• Residual files
86

87
Multi-level constructs
•構面是研究發展及測試理論的組成元件
• Group-level constructs 是將群組當成整
體處理並分成以下二種型態 (Kozlowski &
Klein, 2000):
– Global constructs
– Shared constructs

88
Global Constructs
•相對客觀,容易觀察,描述群體特徵
•源自於群體層次
• Examples:
–老師教學經驗,學校型態或學校地點
•不具“有意義”的組內變異(within-group
variability)
•測量一般是直覺的

89
Shared Constructs
•群組特性是來自於群組成員的組合
•源自於群組成員的態度,認知或行為
•組內變異一般要很低,如此才能從個體層次
提升自群體層次
– rwg(j)為必須計算的指標
• Examples:
–組織氣侯,主觀規範,認知行為控制

What is rwg(j)?
• rwg(j)是目前使用最廣泛的interrater
agreement指標,特別是針對量表為李克特
量表
• rwg(j)因為無法符合常態分配,因此不適合估
計φ±2σ的信賴區間
• (j)代表的是構面量表的題數
90

91
Rule-Of-Thumb
•實務上一般認為 Rwg(j) >0.70 表示可以
接受個別的分數整合成群體分數,當然愈
高愈好
• Zohar (2000) cited rWG values in the .70’s
and mid .80’s as proof that judgments
“were sufficiently homogeneous for within
group aggregation”
Zohar, D.(2000). A group-level model of safety climate: testing the effect of
group climate on microaccidents in manufacturing jobs. Journal of Applied
Psychology, 85(4), 587-596.

How to calculate rwg(j)?
92
James L R, Demaree R G, Wolf G.(1993). Rwg: An Assessment of within-
Group Interrater Agreement. Journal of Applied Psychology.78, 306-309.

93
中心化議題再議
• HLM 要求您要對level-1 predictors進
行中心化
• 這是重要的決策
– 錯誤的選擇會導致您的測試理論模型與假設
結果不一致
– 錯誤的中心化選擇會導致虛假的跨層次干擾
效果
• level-2 變數預測 level-1 slope

94
Centering Decisions
• Level-1 parameters are used as
outcome variables at level-2
• Thus, one needs to understand the
meaning of these parameters
• Intercept: 當X為0時,Y的期望值
• Slope: X每增加1個單位,Y期望增加某些單
位
• Raw metric form: X等於0可能沒有意義

95
Centering Decisions
• 3 種選擇
– Raw metric (資料不做中心化)
– Grand mean
– Group mean
• Kreft et al. (1995): raw metric and
grand mean equivalent, group mean non-
equivalent
• Raw metric/Grand mean centering
– intercept var = adjusted between group
variance in Y
• Group mean centering
– intercept var = between group variance in
Y
[Kreft, I.G.G., de Leeuw, J., & Aiken, L.S. (1995). The effect of different forms of centering in
Hierarchical Linear Models. Multivariate Behavioral Research, 30, 1-21.]

96
Centering Decisions
• 重點是…
– Grand mean centering and/or raw
metric estimate incremental models
• Controls for variance in level-1 variables
prior to assessing level-2 variables
– Group mean centering
• Does NOT estimate incremental models
– Does not control for level-1 variance
before assessing level-1 variables
– Separately estimates with group
regression and between group
regression

97
Centering Decisions
• 當研究包含跨層次交互作用時中心化決
策就顯得非常重要
•考慮以下的模型:
Level 1: Yij = ß0j + ß1j (Xgrand) + rij
Level 2: ß0j =  00 + U0j
ß1j =  10
• ß1j群組斜率整合時並未提供不偏的估計
– It actually represents a mixture of both the
within and between group slope
– Thus, you might not get an accurate picture
of cross-level interactions

98
Centering Decisions
• Bryk & Raudenbush make the distinction
between cross-level interactions and
between-group interactions
– Cross-level: Group level predictor of level-1
slopes
– Group-level: Two group level predictors
interacting to predict the level-2 intercept

99
Centering Decisions
• Only group-mean centering enables the
investigation of both types of
interaction
• Illustration (Hofmann & Gavin, 1999,
J. of Management)
– Created two data sets
• Cross-level interaction, no between-group
interaction
• Between-group interaction, no cross-level
interaction

100
Centering Decision
• Incremental
– group adds incremental prediction over
and above individual variables
– grand mean centering
– group mean centering with means added
in level-2 intercept model

101
Centering Decision
• Mediational
– individual perceptions mediate relationship
between contextual factors and individual
outcomes
– grand mean centering
– group mean centering with means added
in level-2 intercept model

102
Centering Decisions
• Moderational
– group level variable moderates level-1
relationship
– group mean centering provides clean
estimate of within group slope
– separates between group from cross-level
interaction
– Practical: If running grand mean
centered, check final model group mean
centered

103
Centering Decisions
• Separate
– group mean centering produces separate
within and between group structural
models

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HLM階層線性模型基礎班-三星統計張偉豪

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